第7章 电磁波的辐射与散射1

题图 7-1 短对称振子
(
)
ηI 0 dz jk z cos θ − jk z cos θ sin θe − jkr ⋅ e +e 2λr ηI 0 (1 − z ` l )dz sin θe − jkr ⋅ 2 cos(k z cos θ ) = j 2λ r ηI 0 (1 − z l )dz sin θe − jkr ≈ j λr
Eθ = jη
π ⎛ 5×8 15 15 2 ⎞ − j 15 ⎜ ⎟ 1 − j − 2 ⎟e = j 377 π π ⎠ 2 × 300 × 10 ⎜ ⎝
= − j 2.513(21.80 + j 4.775)e − j12 = 56.1e − j 89.65 (V / m )
o o
Hϕ = j
λ << 1 ，上二式可作进一步近似，从而得
ˆ A = Ax + Ay = − x
µIa ka µIa ka ˆ 2 j sin θ sin ϕe − jkr + y 2 j sin θ cos ϕe − jkr 4πr 2 4πr 2
104
＝jka 2
µI ˆ sin ϕ + y ˆ cos ϕ )e − jkr sin θ (− x 4πr µI ˆjkA0 =ϕ sin θe − jkr , 4πr
7.5/ 7.2-4 短对称振子全长为 2l，kl<<1，其电流呈三角形分布： I（z）=I0（l-|z|）/l，I0 为最大电流（题图 7-1） 。 (a)导出其远区电场； (b)求其辐射电阻 Rr=2Pr/I20，它是相同长度电基本振子辐射电 阻 Rre 的多少倍？ [解] (a) dEθ = dE1 + dE 2
将
φ = −∇ ⋅ ∏ 和上式代入有源区 φ 的微分方程： ∇ 2φ − µε
− ∇ 2 (∇ ⋅ Π ) + µε
∂2 (∇ ⋅ Π ) = + ∇ ⋅ P ，仍有（2）式。 2 ε ∂t
(c)
E = −∇φ −
∂2Π ∂A = ∇(∇ ⋅ Π ) − µε 2 ∂t ∂t
利用 Π 的微分方程（1）式后，上式化为
a
⎞
r + sin θ sin ϕ ⎟ µIa − jk ⎜ ⎠ e ⎝ 2 4πr
故
ˆ Ax = A1 + A2 ≈ − x
µIa ⎞ ⎛ ka 2 j sin ⎜ sin θ sin ϕ ⎟e − jkr 4πr ⎠ ⎝ 2
ˆ 同理， Ay ≈ y
由于 ka = 2πa
µIa ⎞ ⎛ ka 2 j sin ⎜ sin θ cos ϕ ⎟e − jkr 4πr ⎠ ⎝ 2
⎛ 1 ⎞ − jkr kIl 1 ⎞ − jkr 40 ⎛ Il ⎛ 15 ⎞ − j ⎟ ⎜ ⎟ sin θ ⎜ 1+ = j = j 1+ e e ⎜1 − j ⎟e 15 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4πr 2πr ⎝ jkr ⎠ 6000 ⎝ jkr ⎠ π ⎠ ⎝
o o
π
= j 6.67 × 10 −3 (1 − j 4.775)e − j12 = 0.0325e − j 0.17 ( A / m )
= j
取
[
]
cos(k z cos θ ) ≈ 1
(k z << 1)
l⎛ ηI 0 sin θe − jkr ∫ ⎜1 − 0 λr ⎝
∴ Eθ = ∫ dEθ = j
0
l
ηI l z⎞ − jkr ⎟dz = j 0 sin θe l⎠ 2λr
2
可见，全长 2l 的短振子的辐射场犹如长为 l 的电基本振子。 (b) Pr = 令
⎛L⎞ Rre = 80π ⎜ ⎟ ⎝λ ⎠
2 2
式中 L = 2l
全长为 L 的电基本振子的辐射电阻为
可见， 短振子的辐射电阻是相同长度电基本振子的
1 倍。 4
7.6/ 7.3-1 若在小电流环中心沿极轴方向置一电偶极子，二者馈电电流同相且具有相同功率 （参看题图 7.3-1）( a )请导出其远区电场强度表示式，它是什么极化波？ ( b )写出 其归一化方向图函数，概画二主面方向图。
103
[解]
(a)由式(7.2-9)、(7.3-15)知，电偶极子与小电流环的远区电场强度分别为
ˆE = θ ˆj 60πI d l sin θe − jkr Ed = θ θ λr ˆEϕ = ϕ ˆ El = ϕ 120π 2 A0 I l sin θe − jkr rλ2
2 2
二者辐射功率相同，即
S =
o o 1 1 ˆ ˆ0.0325e j 0.17o = r ˆ0.912e − j 89.48 w / m 2 E×H∗ = θ 56.1E − J 89.65 × φ 2 2
(
)
可见，几乎全是虚功率。
r = 100km
kr =
2π
λ
r=
2π π × 10 5 = × 10 4 >> 1, 远区 300 15
1 2 1 2 ⎛ A0 ⎞ ⎛l⎞ I d 80π 2 ⎜ ⎟ = I l 320π 4 ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝λ ⎠ ⎝λ ⎠ ⎛ I d l ⎞ ⎛ I l A0 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2π 2 ⎟ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ Idl
2 2
λ
= 2π
I l A0
λ2
故合成场为
60πI d l ˆj + ϕ ˆ E = Ed + El = θ sin θe − jkr λr
102
或：由 H 0 =
Il 2λr
2
得
Il
λ
= 2H 0 r
⎛ Il ⎞ 2 ∴ Pr = 40π 2 ⎜ ⎟ = 40π 2 (2 H 0 r ) = 40π 2 2 × 10 −3 × 10 4 ⎝λ⎠
2 2
(
)
2
= 1.58 × 10 5 w
E M r 2 (H 0η 0 r ) 10 −3 × 377 × 10 4 = = 或：由 D = = 1.58 × 10 5 w 60 D 60 D 60 × 1.5
A0 = a 2 A 只有横向分量，其远区场也只有横向分量，由式(7.3-4a)得 ˆηk 2 A0 E = − jω A = ϕ H = 1 I 4πr sin θe − jkr
ˆk 2 A I sin θe − jkr = −θ ˆ Eϕ ˆ × E = −θ r 0 4πr η η
2
2
7.4/ 7.2-3 在电基本振子最大辐射方向上远区 r=10km 处， 磁场强度振幅 H0=10-3A/m， 求该基 本振子在与最大方向夹角 45°的方向上相同 r 处的磁场强度和电场强度振幅，并 求总辐射功率。 [解]
H = H 0 F (θ ) = 10 −3 SIN 90 o − 45 o = 7.07 × 10 −4 A / m
(
)
E = Hη = 7.07 × 10 −4 × 377 = 0.267V / m π 2π π 1 1 2 2 Pr = ∫ ∫ H 0 η 0 sin 2 θ ⋅ r 2 sin θdθdϕ = H 0 η 0 r 2 ⋅ 2π ∫ sin 3 θdθ 0 0 2 0 2
=
4π 4π 2 2 × 10 −6 × 377 × 10 8 = 1.58 × 10 5 w H 0 η0 r 2 = 3 3
2
令
J =
∂P ∂t
（极化电流， P 的极化矢量） ，则得
100
µε
∂ 2 ∂3Π ∂P ∂2Π P 2 ∇ Π − µ 2ε 2 3 = − µ ， 即 ∇ Π − µε =− 2 ∂t ∂t ε ∂t ∂t
∂ρ ∂ ∇⋅P = − v ∂t ∂t
（2）
又，由电流连续性方程知，
∇⋅J =
得
ρ v = −∇ ⋅ P ρ ∂ 2φ =− v 得 2 ε ∂t
E == ∇(∇ ⋅ Π ) − ∇ 2 Π = ∇ × ∇ × Π
* 利用（2）式，得 E = ∇ × ∇ × Π −
P
ε
又，
H =
1
µ
∇ × A = ε∇ ×
∂Π ∂t
7.2/ 7.2-1 距频率为 500KHz 的电流元多远的地方， 其辐射场等于感应场？在距电流元一个波 长处，在垂直于电流元的方向上，辐射电场与感应电场相对振幅多大? [解] 辐射场等于感应场发生在 kr = 1 ，即
y=
a a 边和y = − 边在场点P(r ,θ ,ϕ ) 处产生的矢位分别为 2 2
题图 7-2
小方环
µ A1 = 4π
ˆ A2 ≈ x
r − sin θ sin ϕ ⎟ I − jkr1 µIa − jk ⎜ ⎝ 2 ⎠ ˆ ˆ − x e dy ≈ − x e ∫l1 r1 4πr
⎛ a ⎞
⎛
(V / m )
−j 1 1 ˆ S = E×H∗ = θ j 2.51 × 10 − 4 5e 2 2
2π ×103 3
ˆ(− j )6.67 × 10 −7 e ×φ
j
2π ×103 3
ˆ8.38 × 10 −11 w / m 2 =r
(
)
沿 r 方向传输实功率 (b) Pr = 40π ⎜
2
⎛ Il ⎞ 2 ⎛ 40 ⎞ ⎟ = 40π ⎜ ⎟ = 7.02(w) ⎝λ⎠ ⎝ 300 ⎠
第7章
A = jωµε ∏
电磁波的辐射与散射
7.1/ 7.1-1 定义另一种位函数——赫兹电矢量如下：
φ = −∇ ⋅ ∏
(a)证明 ∏ 满足洛仑兹条件； (b)导出 ∏ 的微分方程； (c)导出 E 、 H 与 ∏ 的关系式。 [解] (a) 洛仑兹条件为： ∇ ⋅ A = − µε 因 A = jωµε ∏
λ=
c 3 × 10 8 = = 300m ， f 10 6
θ = 90 o
r=
r = 10m
kr =
2π
λ
2π π = 30 15
101
Er = η
⎛ 1 ⎞ − jkr Il ⎟d =0 cos θ ⎜ 1+ ⎜ jkr ⎟ 2πr ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 kIl − 2 2 sin θ ⎜ 1+ ⎜ jkr k r 4πr ⎝ ⎞ − jkr 1 1 Il ⎛ ⎟ ⎜ = jη − 2 2 1+ ⎟e ⎜ jkr k r 2λ r ⎝ ⎠ ⎞ − jkr ⎟ ⎟d ⎠
即 ∇ Π − µε
2
∂2Π =0 ∂t 2
2
（1）
或： A 与 Π 的关系代入无源区 φ 的微分方程： ∇
φ − µε
∂ 2φ =0 ∂t 2
得
− ∇ 2 (∇ ⋅ Π ) + µε
∂2 (∇ ⋅ Π ) = 0 ∂t 2
可见亦有（1）式。 对有源区，有
∂2 A ∇ A − µε 2 = − µJ ∂t
π
2π ×103 3
− j ×10 4 −j Il 5×8 −4 15 Eθ = jη e j e = 2 . 50 × 10 sin θe − jkr = j 377 2λr 2 × 300 × 10 5 2π − j ×103 E kIl ( A / m) Hϕ = j sin θe − jkr = θ = j 6.67 × 10 −7 e 3 2λr η
这是右旋圆极化波。 (b)
(
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (θ ) = sin θ
二主平面方向图分别与图 7.2-6(a)和(b)相同。
7.7/ 7.3-2 在 xy 面上置一小方环，每边长 a<< λ ，沿线电流 I=const.， 如题图 7-2 所示。 请导出其远区电场表示式及辐射电阻公式。 [解] 利用矢位法求解。小方环的每边都可看成一电流
∂φ ∂t
φ = −∇ ⋅ ∏ 故有
得证。
∇ ⋅ A = ∇ ⋅ µε
(b)
∂Π ∂ ∂φ = µε (∇ ⋅ Π ) = − µε ∂t ∂t ∂t
在洛仑兹条件下
对无源区有
∇ 2 A − µε
∂2 A =0 ∂t 2
将 A 与 Π 的关系代入上式，得
µε
∂ 2 ∂3Π ∇ Π − µ 2ε 2 3 = 0 ∂t ∂t
r=
c 3 × 10 8 λ = = = 95.5m 2π 2πf 2π × 500 × 10 3
E rad Eind
kIl 2 4πr = kr 2 = 4π ⋅ λ2 = 4π 2 = 39.5 = Il λ2 η0 4πkr 3
η0
7.3/ 7.2-2 电基本振子天线长 8m，频率为 106Hz，电流振幅 I=5A。试求垂直电基本振子轴的 方向上，距离 10m 和 100km 处的电场强度及其功率流密度。该电基本振子的总辐 射功率为多少？ [解] (a)
∫ ∫
0
2π
π
0
π 1 Eθ 2 πη ⎛ I 0 l ⎞ h⎛I l⎞ r sin θdθdϕ = ⎜ 0 ⎟ 2π ∫ sin 3θdθ = ⎜ ⎟ 0 2 η 2 ⎝ 2λ ⎠ 3 ⎝ λ ⎠
2
2
Pr = 2 Pr I0
2
1 2 I 0 Rr 2
得
2 2 2
Rr =
2πη ⎛ l ⎞ 2⎛ l ⎞ 2⎛ L ⎞ = ⎜ ⎟ = 80π ⎜ ⎟ = 20π ⎜ ⎟ ， 3 ⎝λ⎠ ⎝λ ⎠ ⎝λ⎠