高中数学余弦定理课件
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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
高中数学平面向量及其应用6.4.3第1课时余弦定理课件
∴cos C<0,
∴cos
+ -
C=
=
-
2
<0,
∴
t
>5.
又 t>0,∴t> .
∴t 的取值范围是( ,3).
在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角
形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三
边.
【变式训练】 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a
∵C=,∴△ABC
为等边三角形.
1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是
否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还
要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?
有无直角或钝角?
2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和
与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与
探究二
探究三
探究一 已知两边及一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 ,C=15°,求角 A.
(2)在△ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,求 a.
分析:(1)已知两边及其夹角,利用余弦定理求c,再用余弦定理
的推论求角A.
(2)已知两边及其中一边的对角,利用余弦定理b2=a2+c22accos B建立关于a的一元二次方程,解方程即可.
+ -
cos A= ,
+ -
+ -
,cos B=
,
3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,
∴cos
+ -
C=
=
-
2
<0,
∴
t
>5.
又 t>0,∴t> .
∴t 的取值范围是( ,3).
在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角
形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三
边.
【变式训练】 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a
∵C=,∴△ABC
为等边三角形.
1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是
否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还
要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?
有无直角或钝角?
2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和
与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与
探究二
探究三
探究一 已知两边及一角解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 ,C=15°,求角 A.
(2)在△ABC 中,已知 b=3,c=3 ,B=30°,求 a.
分析:(1)已知两边及其夹角,利用余弦定理求c,再用余弦定理
的推论求角A.
(2)已知两边及其中一边的对角,利用余弦定理b2=a2+c22accos B建立关于a的一元二次方程,解方程即可.
+ -
cos A= ,
+ -
+ -
,cos B=
,
3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学必修二课件：余弦定理
要点2 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 (1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形． 要点3 推论 在△ABC中(1)c2＝a2＋b2⇔C为__直_角___； (2)c2>a2＋b2⇔C为___钝_角___； (3)c2<a2＋b2⇔C为__锐__角___．
1．判断下列命题是否正确． (1)勾股定理是余弦定理的特例． (2)余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素． (3)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．
课后巩固
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－
3 5
，则三角形
的第三边长为( B )
A．52
B．2 13
C．16
D．4
解析 设第三边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，∴x＝2 13.
2．在△ABC中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么B等于( C )
A．30°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 2π 3 ， ∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0. ∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
5．在△ABC中，a2＋abb2c＋c2(coas A＋cobs B＋cocs C)＝____12____．
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
(2)推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____， cos C＝____2_a_b____．
(3)余弦定理的另一种常见变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos
B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
6.4.3余弦定理-人教版高中数学新教材必修第二册课件(共17张PPT)
判断三角形的形状
变式：在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的 形状．
若边化角 能解么？
通分整理得：＝0. 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴ a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理，知△ABC是直角三角形． 【点评】 “边角混问题”的处理策略是根据问题运用边 化角或角化边.
2、能够从余弦定理得到它的推论 3、掌握用余弦定理及推论解三角形
证明三角形全等的方法有哪些
ASA AAS SAS SSS
余弦定理是什么？怎样证明？
在三角形ABC中，已知两边AC=b,BC=a及其夹角
C,求第三边AB.
A
如图，设CB a,CA b, AB c, 那么
c a b
c
2
c c
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
C
b
a
Ac
B
已知三角形三边，由余弦 定理 能求三个角吗？请给出余弦定理的 变形式。
余弦定理变形式：
cosA b2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
判断三角形的形状
例3：在△ABC中，b CosA=a cosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB,
b b2 c2 a2 a a2 c2 b2
2bc
2ac
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b，
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
高中数学9.1.2余弦定理课件
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状
为 ()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到( a )3＋( b=)31,且c为最大的边,通过不等式的性
cc
质转化为 ( a )2＋(>b1)2,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
2
可得 s3in C-cos C= ,即2 －2( 1 cos C－ 3 sin C) 2，
2
2
所以cos(C+60°)=- 2.
2
由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)= , 2
2
故sin C=sin(C+60°－60°)
=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin 60°= 6 2 .
【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosAAC=2 AB2 BC2 1，
2AC AB
2
因为A∈(0,π),所以A= 2 .
3
(2)由(1)知A= 2,又BC=3,所以由余弦定理得:
3
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=AC2+AB2+AC·AB=9,
探究点二 利用余弦定理计算角
【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值
为 ()
A. 5 B. 3C. 3D. 7
18
4
2
8
2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
余弦定理-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、余弦定理
3，余弦定理与勾股定理的关系：
在△中,由余弦定理得 = + − ，若角 = °,
则 = ，于是 = + − · · = + ，
这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究一
思考：
三角形中边角关系很丰富，本节继续研究，如已知两边及其夹角，
怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三角呢？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究一
我们利用向量来研究：
如图，在△中，设 =a, =b, =c，根据向量的数量积，
可得 =•=(-)•(-)=2−2 • + 2
地，求边长时，使用余弦定理，求角时，使用余弦定理的变形；
(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时
要根据条件灵活选择；
(3)应用变形，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角；
(4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形
全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.
3
2
所以 = 2 + 2 − 2 ≥ 2
即bc ≤ 2 .
故 =
2
≤
2
2
·
3
2
=
− 2 ，
3 3
.
4
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P116练习
1， 3.
2，120.
3，3.696.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
课堂小结
一、余弦定理
6，面积公式的推广：
人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
高中教育数学必修第二册《2.6.1.1 余弦定理》教学课件
又 0°<B<180°，所以 B＝45°.
(3)由已知得，2b＝2c＝ 3a
于是可设 a＝2k(k>0)
则 b＝ 3k，c＝ 3k，
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 32k×2＋3 k×3k23－k 4k2＝6－6 4＝13.
答案：(1)D
(2)A
1 (3)3
题型二 判断三角形的形状——师生共研 例 3 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝ acos B＋bcos A，则△ABC 的形状为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
(2) 利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 得
S
四 边 形 ABCD
＝ S△ABD ＋ S△BCD
＝
1 2
AB·ADsin A ＋12BC·CDsin C，即可求得四边形 ABCD 的面积．
方法归纳 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三 角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公 式． 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个 角的正弦值可求．
由①②得 cos C＝12，故 C＝60°，BD＝ 7. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝12AB·DAsin A＋21BC·CDsin C ＝12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.
状元随笔 (1)根据内角 A，C 互补，利用余弦定理列出关于角 C
和 BD 的方程组，即可求出角 C 和 BD；
易错辨析 忽略构成三角形的条件出错 例 5 已知 2a＋1，a,2a－1 是钝角三角形的三边，则实数 a 的取 值范围为________．
解析：∵2a＋1，a,2a－1 是三角形的三边
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
新人教版高中数学必修2课件：6.4.3 第1课时 余弦定理
图④
当堂检测
1.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= 3+1,
b= 3-1,C=120°,则 c=(
A. 10
B. 6
)
C.3
D.2 3
答案 A
解析 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=( 3+1)2+( 3-1)2-2×( 3+1)×
( 3-1)cos 120°=10,解得 c= 10.故选 A.
2
2
22 +( 3+1) -( 6)
1
6的边所对的角为 θ,由余弦定理的推论,得 cos θ=
= 2,所
2×2×( 3+1)
以 θ=60°,故最大角与最小角之和为 180°-60°=120°.
探究三
利用余弦定理判断三角形形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形
以 a= 3.
(2)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°,即
a2-9a+18=0,解得 a=3 或 a=6.当 a=3 时,A=30°,C=120°;当 a=6 时,由余弦
定理的推论,得 cos A=
∴A=90°,∴C=60°.
B.a=4,b=5,c=6
C.a=4,b=6,c=7
D.a=3,b=3,c=5
答案 D
解析 对于D,由余弦定理的推论,得cos C=
2 + 2 -2 32 + 32 -52
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
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弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°， 则c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若 a2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦 成立．
[变式训练 5]
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分
→· → ＝BA →· → ＝1. 别为 a、b、c，若AB AC BC (1)求证：A＝B； (2)求边长 c 的值； → ＋AC → |＝ 6，求△ABC 的面积． (3)若|AB
→· → ＝BA →· →， 解析：(1)证明：∵AB AC BC ∴bccosA＝accosB，即 bcosA＝acosB. 由正弦定理得 sinBcosA＝sinAcosB， ∴sin(A－B)＝0， ∵－π<A－B<π， ∴A－B＝0，∴A＝B.
特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其
原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此 范围内同一个正弦值一般对应两个角，一 个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的 正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否 都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值 仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的 余弦值，可以避免分类讨论.
⑭勾股定理
⑮余弦定理
⑯知三求一
⑱另一边
在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的
标准是什么？ 在没有学习余弦定理之前，还会解三角形， 但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了， 不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要 依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择， 还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知 两边和一边的对角或已知两角及一边时，通 常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹
二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题： 1．已知三边，求⑪________. 2．已知两边和它们的夹角，求⑫
________和⑬________.
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下
四点： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具； (2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定 理是⑮________的特例； (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个 量，利用方程的观点，可以⑯________；
bc＝2 由 b＋c＝3解得 b＝2，c＝1 或 b＝1，c＝2.
当 b＝1 时，∵a＝ 3，∠A＝60° ，∴b<a，且∠A bsinA 1 为锐角， 由正弦定理， 得 sinB＝ ＝ ， ∴∠B＝30° . a 2 当 b＝2，c＝1 时，∵a＝ 3，∴b2＝a2＋c2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠B＝90° .
[例3]
在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的形状．
解析：解法 1：由 a· cosA＝b· cosB 以及余弦定理得 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a· 2bc ＝b· 2ac ， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
在△ABC 中，如果 a ︰b ： ( 3＋1)，求这个三角形的最小角．
[例 1]
︰c＝
︰ 6
︰
解析： 在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据 已知条件判断最小边应为 a. ∵a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰( 3＋1)，
可设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 最小角为角 A，由余弦定理得 b2＋c2－a2 6＋ 3＋12－4 2 cosA＝ ＝ ＝2， 2bc 2 3＋1× 6 故 A＝45° .
[例4]
(数学与日常生活)如图，某市三个 新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同 建一个中心医院O，使得医院到三个小区 的距离相等，已知这三个小区之间的距离 分别为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝ 4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1°)
分析：实际问题的解决，应首先根据题意转
[变式训练 4]
如图，甲船在 A 处发现了乙船在北偏东
45° 与 A 的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/时的速度向 南偏东 75° 的方向航行，已知甲船速度是 20 3海里/时．问： 甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？
解析：设 t 小时后相遇，则 BC、AB 的长分别为 20t 与 20 3t.由图可知∠ACB＝120° . 由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos∠ACB， 1 即(20 3t) ＝10 ＋(20t) －2×10×20t×(－2)，
[变式训练3]
(2010·辽宁卷)在△ABC中，a， b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b ＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解析：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝ (2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 1 故 cosA＝－2，A＝120° . (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC. 1 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝ . 2 因为 0° <B<90° ，0° <C<90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
2
∵0° <∠A<180° ，∴∠A＝60° .
1 3 (2)由题意得 S＝ bcsinA＝ ， 2 2 1 3 即 bcsin60° ＝ ，∴bc＝2， 2 2 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－ 2bccos60° ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 由 a＝ 3及 bc ＝2 知(b＋c)2－6＝3， ∴b＋c＝3 或 b＋c＝－3(舍去)．
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰
答案： ①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍 ②b2＋c2－2bccosA ③c2＋a2－2cacosB b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 ⑤ 2bc ⑥ 2ca ⑨直 ⑩钝 ⑪各角 ⑫第三边
④a2＋b2－2abcosC a2＋b2－c2 ⑦ 2ab ⑧锐 ⑬其他两角 ⑰角
＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定 理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
21 2 即( 8 ) ＝9＋y2－3y，整理得： 15 9 (y－ )(y－ )＝0， 8 8 15 9 15 ∴y＝ 8 或 y＝8(舍去)，∴AD 的长为 8 .
角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n， ∴4sin
2B＋C
7 －(cos2A＋ )＝0， 2 2
2
7 ∴2[1－cos(B＋C)]－(2cos A－1)－2＝0，① 又 cos(B＋C)＝－cosA， ①式化简得 4cos2A－4cosA＋1＝0， 1 即(2cosA－1) ＝0，∴cosA＝2.
[变式训练 1] △ABC 中， 已知 a＝2， b＝ 3， c＝ 2 ＋1，求 A.
b2＋c2－a2 解析：cosA＝ 2bc 32＋ 2＋12－22 3 ＝ ＝3. 2× 3× 2＋1 3 ∴A＝arccos . 3
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦
定理或正弦定理求出其他两个角． [例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的 值．
2 2 2
1 1 解得 t＝2或－4(舍去)． 1 1 故 AB＝20 3× ＝10 3，BC＝20× ＝10. 2 2
AB BC 由正弦定理得 ＝ ， sin∠ACB sin∠BAC 3 10× 2 1 即 sin∠BAC＝ ＝ ， 10 3 2 ∴∠BAC＝30° ，所求角为 30° ＋45° ＝75° . ∴甲船应沿北偏东 75° 方向航行． 答：甲船应沿北偏东 75° 方向航行半小时后才能 与乙船相遇．
当a＝b时，△ABC为等腰三角形； 当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理
得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝ sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B ＝.
6＋ 2 解析：cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝ 8－4 3， ∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2. a c 由正弦定理得sinA＝sinC，
6－ 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA＝ c ＝ c ＝ ＝2， 6－ 2 1 ∵b>a，sinA＝ ，∴A＝30° . 2 ∴B＝180° －A－C＝135° .
→· → ＝1，∴bccosA＝1. (2)∵AB AC b2＋c2－a2 由余弦定理得 bc· 2bc ＝1， 即 b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)得 a＝b，∴c2＝2，∴c＝ 2.
→ ＋AC → |＝ 6， (3)∵|AB → |2＋|AC → |2＋2AB →· → ＝6. ∴|AB AC 即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. 3 3 2 ∴△ABC 为正三角形，∴S△ABC＝ 4 ×( 2) ＝ 2 .