1.1.2余弦定理课件
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1.1.2余弦定理课件人教新课标
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
课件7：1.1.2 余弦定理
2．在△ABC 中，求证 a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
证明：法一：(化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin
A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故由正弦定理得 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___，
a2＋c2－b2 cos B＝_____2_a_c____，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_____
[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，
2．在△ABC 中，已知 a＝9，b＝2 3，C＝150°，则 c 等于( )
A． 39
B．8 3
C．10 2
D．7 3
解析：选 D 由余弦定理得： c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150° ＝ 147 ＝7 3.
3．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则 A 的大小为( )
法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有 两解．
课件9：1.1.2 余弦定理
例 1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°.
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B．
∴2＝3＋c2－2 3·22c．
即 c2－ 6c＋1＝0，
解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2∠B＝2∠A 或 2∠B＋2∠A＝π， 即∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π2. 故△ABC 是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
规律方法 1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二 是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系 式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将 sin A＝
2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2 ＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
类型2 已知三边或三边关系解三角形 例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37， 求△ABC 的最大内角．
解：(1)由余弦定理得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝(2
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B．
∴2＝3＋c2－2 3·22c．
即 c2－ 6c＋1＝0，
解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2∠B＝2∠A 或 2∠B＋2∠A＝π， 即∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π2. 故△ABC 是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
规律方法 1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二 是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系 式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
[提示] 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将 sin A＝
2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2 ＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
类型2 已知三边或三边关系解三角形 例 2 (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37， 求△ABC 的最大内角．
解：(1)由余弦定理得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝(2
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)
1.1.2余弦定理
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
1.1.2 余弦定理.ppt
在△ABC中，由余弦定理得
cos A AB2 AC2 BC2 2AB AC
2 0.1047 365
因此∠A≈84.0°.
例4. 求证： 在△ABC中，
证明：由余弦定理，得
bcosC
ccos
B
b
a2
b2 2ab
c2
c
a2
c2 b2 2ac
a2
b2
c2 a 2a
=a2+b2－2abcosC. 同理可得
b2 =a2+c2－2accosB. a2 =b2+c2－2bccosA.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍。即
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
即 13k2 16k 3 0
从而
k 3 13
或k=1.
又因为 k 3 时，b<0，故舍去。
13
所以k=1，a= 13 ，b= 5 13 ，c=4.
2
（2）已知两式中消去2b，得
c a2 3 4
代入(1)式a2－a－2b－2c=0，得
b 1 (a2 2a 3) 1 (a 3)(a 1)
4
cos C
a2
b2
c2
a2
(a 3)(a2 4
a)
2ab
2a 1 (a 3)(a 1)
4
4a2 (a 3)(a 1) a 2a(a 3)(a 1)
高中数学优质课件 1.1.2余弦定理
答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两 种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形， 因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
课件6：1.1.2 余弦定理
解析：由正弦定理，可得 sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2. 代入 sinC＝2sinBcosA，得 c＝2b·b2＋2cb2c－a2.整理得 a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以 a2＋b2－c2＝ab，即 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12. 故 C＝π3.又 a＝b，所以△ABC 为等边三角形．
1 当 a＝6 时，由余弦定理 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝3 3×12＝323知本 1
题有两解．由正弦定理 sinC＝csibnB＝3 33×2＝ 23， ∴C＝60°或 120°， 当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋(3 3)2＝6， 当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a＝3.
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2 说方法·分类探究 类型一 已知两边和一角解三角形 【例 1】 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A. 思维启迪：思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求 角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，s(45°－30°)＝
知识点 2 余弦定理的推论 根据余弦定理，可以得到以下推论： cosA＝b2＋2cb2c－a2； cosB＝a2＋2ca2c－b2； cosC＝a2＋2ba2b－c2.
讲重点 对余弦定理推论的理解 (1)应用推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角． (2)定理及推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全 等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (3)余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C＝90°， 则 cosC＝0，于是 c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余 弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
课件10：1.1.2 余弦定理
则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
人教A版数学 ·必修5
【解析】由余弦定理，cos C＝a2＋2ba2b－c2， ∵c2－2aa2b－b2>0，∴cos C<0， ∵0°<C<180°，∴C>90°，∴△ABC 是钝角三角形． 【答案】C
1.1.2 余弦定理
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考纲定位
重难突破
1.了解余弦定理的推导过程， 重点：应用余弦定理 掌握余弦定理及其推论． 解三角形． 2.能利用余弦定理解三角形， 难点：余弦定理的综
并判断三角形的形状.
合应用.
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[自主梳理]
文字 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去
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方法归纳 1．判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相 互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． 2．在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccos A， b2＋c2＝(b＋c)2－2bc 等等．
人教学 A版以数致学用·必修5
3．△ABC 中，2cos B·sin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】∵2cos B·sin A＝sin C，∴由正弦定理：2a·cos B＝c，由余弦定
理：2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形． 【答案】C
语言 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍
符号 语言
1.1.2 余弦定理ppt课件
解析：因为A＝120° ，b＝3，c＝5， 栏 目 所以根据余弦定理，得 链 2 2 2 a ＝b ＋c －2bccos A＝9＋25－2×3×5×cos 120°接 ＝49，所以a＝7. 答案：7
跟踪 训练 2．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求AC.
解析：由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 30° ， ∴AC2－2 3AC＋3＝0， ∴AC＝ 3.
栏 目 链 接
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题 的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角， 栏 再用正弦定理或余弦定理求出另一角， 最后用三角形的内角和定 目 链 理求第三角． 接
跟踪 训练
3．E、F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝( ) 16 2 3 3 A. B. C. D. 27 3 3 4
自测 自评
2．(2013· 上海卷)在△ABC中，角A、B、C所对边长 7 分别为a、b、c，若a＝5，c＝8，B＝60° ，则b＝________.
栏 目 链 接
自测 自评
3．△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为( A ) A．60° B．45° 或135° C．120° D．30°
栏 目 链 接
题型2
已知三边解三角形
例2 已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各内角度数．
栏 目 链 分析：由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c， 接
再由余弦定理求解各角．
解析：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k. 由余弦定理，有 b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2· 6k· 3＋1k ∴A＝45° . 2 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b 4k ＋ 3＋1 k －6k 1 cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2 2×2k 3＋1k ∴B＝60° . ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
课件16：1.1.2 余弦定理
已知 b＝c，a2＝2b2(1－sin A).则 A＝( )
3π
π
π
π
A. 4
B.3
C.4
D.6
【解析】 (1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得 a2－c2＝b2＋bc，即 a2＝c2＋b2＋bc. 根据余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12， 因为 A 为△ABC 的内角，所以 A＝120°.故选 C.
突破练 3 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin A ＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求 B； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解：(1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. 故 cos B＝ 22，因此 B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝b×ssiinn AB＝
2＋ 2
6＝1＋
3，ห้องสมุดไป่ตู้
c＝b×ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
表 c2＝__a_2＋___b_2－__2_a_b_c_o_s__C__
达 语
三角形中任何一边的平方等于 言 _其__他__两__边___的__平__方__的__和__减__ 叙 _去__这__两__边___与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍___ 述
b2＋c2－a2 cos A＝________2_b_c_____________
(2)由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A， 所以 2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)， 所以 sin A＝cos A，即 tan A＝1，又 0＜A＜π， 所以 A＝π4.故选 C.
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
课件12：1.1.2 余弦定理
∵cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2，sin15°＝sin(45°
－30°)＝
6－ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
19 C.20
D．－270
【答案】A 【解析】cosB＝a2＋2ca2c－b2＝58.
3．在△ABC 中，当 sin2A＋sin2B<sin2C 时，△ABC 的形状是 ()
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】 C 【解析】 由已知：a2＋b2<c2，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0，则 C 是 钝角，所以△ABC 是钝角三角形．
探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角时， 必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由于三 角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解三角 形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定 理．
思考题 1 在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则 AC＝________. 【解析】 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝ 3. 【答案】 3
1 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二 由 b<c，B＝30°，
b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
1
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×2＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.
课件15：1.1.2 余弦定理
课堂探究 探究1 已知两边及一角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°， 求角 A，C 和边 a.
解 解法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
2．在△ABC 中，已知 a＝2，则 bcosC＋ccosB 等于( ) A．1 B. 2 C．2 D．4
【解析】 bcosC＋ccosB＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·c2＋2aa2c－b2 ＝22aa2＝a＝2. 【答案】 C
3．在△ABC 中，若 a＝ 3＋1，b＝ 3－1，c＝ 10，则 △ABC 的最大角的度数为__1_2_0_°___．
拓展提升 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理、三角恒等变换 等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、 配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分， 否则可能会出现漏解．
跟踪训练3 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ ccosA)sinA，判断△ABC的形状．
解：利用边的关系判断， 由正弦定理，得ssiinnCB＝bc， 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssiinnCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c， ∴△ABC 为等边三角形．
条件探究 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦 值呢？
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从量化的角度来看，如何从B 已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1 题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： b2 c2 a2
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5：
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1 题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论： b2 c2 a2
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5：
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.