人教版 高中数学 选修2-2：本册综合测试试卷含答案

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本册综合测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－1

2i B ．－1＋1

2i C ．1＋1

2i

D ．1－1

2i

解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋1

2i . 答案 B

2．若f(x)＝e x

，则lim Δx →0

f (1－2Δx )－f (1)Δx

＝( ) A ．e B ．－e C ．2e

D ．－2e

解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e .

∴lim Δx →0

f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0

f (1－2Δx )－f (1)－2Δx

＝－2f ′(1)＝－2e .

答案 D

3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32

D ．33

解析 观察前几项知，5＝2＋3， 11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C

4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )

A ．等于0

B ．大于0

C ．小于0

D ．以上都有可能

答案 A

5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)

B ．[－3， 3 ]

C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)

D ．(－3， 3 )

解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，

若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a ≤ 3. 答案 B

6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋1

2n －11)

时，第一步应验证不等式( )

A ．1＋1

2<2 B ．1＋12＋1

3<2 C ．1＋12＋1

3<3

D ．1＋12＋13＋1

4<3

答案 B

7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0

C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0

D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

解析 由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.

答案 D

8．若S 1＝⎠⎛1

2x 2

d x ，S 2＝⎠⎛1

21

x d x ，S 3＝⎠

⎛1

2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大

小关系为( )

A ．S 1

B ．S 2

C ．S 2

D ．S 3

解析 S 1＝⎠⎛1

2x 2

d x ＝13x 3⎪⎪

⎪

2

1＝13

(23－13)＝73

， S 2＝⎠⎛1

21

x d x ＝ln x ⎪⎪

⎪

2

1＝ln 2，

S 3＝⎠⎛1

2e x

d x ＝

e x ⎪

⎪

⎪

21＝e 2

－e .

∵e 2－e >4，ln 2

3<3， ∴S 3>S 1>S 2. 答案 B

9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，5

6)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )

A .4918

B .4936

C .4972

D .49144

解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为

y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(7

12，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49

144.

答案 D

10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )

A ．1

B .52

C .92

D ．9

解析 如图所示

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x 2

－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)． ∴阴影部分的面积为

S ＝⎠⎛03

(x －x 2

＋2x)d x ＝⎠⎛0

3

(－x 2

＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)

⎪⎪⎪ 3

0＝－9＋272＝9

2.

答案 C

11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )

A ．a ，b 都能被5整除

B ．a ，b 都不能被5整除

C ．a ，b 有一个能被5整除

D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案 B

12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )

①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．

解析 因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，