方法技巧专题(10) 隐圆问题训练

方法技巧专题(十)隐圆问题训练

有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用和圆有关的一些知识进行求解.常见的隐圆模型有:定弦对定角;动点到定点的距离为定长;四点共圆等.

1.[2019·徐州一模]在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为()

A.6cm2

B.3cm2

C.(2+π)cm2

D.(6-π)cm2

2.如图F10-1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.

图F10-1

3.如图F10-2所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为.

图F10-2

4.如图F10-3,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段CB边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连结B'D,则B'D的最小值是.

图F10-3

5.如图F10-4,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC 边上一动点,则PA+PG的最小值为.

图F10-4

6.如图F10-5,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F 运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值为.

图F10-5

7.如图F10-6,在边长为3的等边三角形ABC中,动点D,E分别在BC,AC边上,且保持AE=CD,连结BE,AD,相交于点P,则CP的最小值为.

图F10-6

8.如图F10-7,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.

(1)使∠APB=30°的点P有个;

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;

(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?请说明理由.

图F10-7

9.[2018·广州]如图F10-8,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

(1)求∠A+∠C的度数;

(2)连结BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;

(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.

图F10-8

10.如图F10-9,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2),连结AC,BC.

(1)求抛物线解析式;

(2)线段BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点,求直线DE的解析式;

(3)若点P在抛物线的对称轴上,且∠CPB=∠CAB,求出所有满足条件的P点坐标.

图F10-9

【参考答案】

1.D[解析]如图所示:由题意,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出P到B点距离始终为1cm,则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A,B,C,D为圆心,1cm为半径的弧.

故所围成的图形的面积为:矩形面积-4个扇形面积=6-4×90π×12360=(6-π)(cm2).

2.88°[解析]如图,∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以点A为圆心,以AB的长为半径的圆上,

∴∠BAC=2∠BDC.

∵∠CBD=2∠BDC,∴∠BAC=∠CBD,∠CAD=2∠BAC,而∠BAC=44°,∴∠CAD=88°.

3.15[解析]以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交☉A于F,连结DF.

∵DC∥AB,∴DF=BC,

∴DF=CB=1,BF=2+2=4,

∵FB是☉A的直径,∴∠FDB=90°,

∴BD= 2- 2=15.

4.210-2[解析]点B'在以E为圆心,EA长为半径的圆上运动,当D,B',E共线时,此时B'D的值最小.

根据折叠的性质,得△EBF≌△EB'F,

∴EB'⊥B'F,EB'=EB.

∵E是AB边的中点,AB=4,∴AE=EB'=2.

∵AD=6,∴DE=62+22=210,

∴B'D=210-2.

5.4[解析]∵EF=2,点G为EF的中点,∴DG=1,∴G是以D为圆心,以1为半径的圆弧上的点.

作A关于BC的对称点A',连结A'D,交BC于P,交以D为圆心,以1为半径的圆于G,此时的PA+PG值最小,最小值为A'G的长.

∵AB=2,AD=3,∴AA'=4,∴A'D=5,∴A'G=A'D-DG=5-1=4.∴PA+PG的最小值为4.

6.5-1[解析]如图,∵动点F,E的速度相同,

∴DF=AE.

又∵正方形ABCD中,AB=2,

∴AD=AB,∠BAE=∠ADF=90°.

在△ABE和△DAF中,

= ,

∠ =∠

= ,,

∴△ABE≌△DAF.

∴∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠BEA=90°,

∴∠FAD+∠BEA=90°,

∴∠APB=90°.

∴点P在运动中保持∠APB=90°,

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧.

设AB的中点为G,连结DG交弧于点P,此时DP的长度最小,AG=BG=12AB=1.

在Rt△ADG中,DG= 2+ 2=12+22=5.

∵PG=AG=1,∴DP=DG-PG=5-1,即线段DP的最小值为5-1.

7.1[解析]∵CD=AE,∴BD=CE.