力偶矩正负规定
哈工大建筑力学第3章(第2 3节) 力偶 力偶矩(2学时)
第三章力系简化的基础知识林国昌§3-2 力对点的矩A o o4力对物体具有转动效果，转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
5力对点的矩:力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，它是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂之积。
正负规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。
符号表示:)(F M O Fd=±力矩的单位：牛顿•米(N •m)1.在门位置上施力，门很容易转动2.从门位置依序至位置施力，转动越不易ABC转轴OO ＇OO’C B A 3-2 力对点的矩转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
7M O (F ) = ±2ΔOAB 面积=±Fd力对点的矩还可以用矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的2倍来表示，即：三角形ΔOAB 底边：力矢量F 三角形ΔOAB 的高：力臂d 力矩的单位：牛顿•米(N •m)注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
§3-3 力偶· 力偶矩林国昌103-3 力偶· 力偶矩一、力偶(F ,F ′)FF ′力偶实例由物理学可知：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为作用在该点的合力。
合力：是作用在同一点上的各力的矢量和。
13a)力偶没有合力；b)力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡；c)力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡。
力偶的性质1：力偶与力同属于机械作用的范畴，但又不同于力。
力与力偶分别是力学中的两个基本参量！3-3-1力偶•力偶的第一个性质143-3-1力偶•力偶的第二个性质力对物体具有转动效果，力使物体绕点转动的效果用力对点的矩来度量。
力偶对物体也有转动效果，力偶使物体转动的效果用力偶矩来度量。
力偶与力偶系
平面力 平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即 平面力偶矩可视为代数量，
M = ±Fd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理： 在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F´
F F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 保持力偶矩矢量不变， 力偶臂大小，其作用效果不变。 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶与力偶系例题 例题 1
受力分析: 受力分析:
1. AB杆为二力杆; 杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B 二处分别受有一 个方向虽然未知、 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶与力偶系例题 例题 1 讨 论
怎样确定B、C二处的约束力
第2章 2.2平面力偶系
1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
3、由平衡方程求解未知力。
目录
2.2.1力矩 2.2.2力偶 2.2.3平面力偶系的合成与平衡
单元学习目标
1、理解力对点之矩的概念； 2、掌握力矩的计算方法，学会应用合力矩定理； 3、理解力偶的概念，掌握其性质； 4、掌握平面力偶系的合成方法与平衡条件。
2.2.1 力矩
2、力矩的性质 1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有
关。力矩随矩心的位置变化而变化。 2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而
改变。 3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
2.2.1 力矩
3、合力矩定理
平面汇交力系的合力对该平面上任一点之矩等于各个 分力对该点之矩的代数和。
解法二：应用合力矩定理计算。
将力F在C点分解为两个正交的分力，由合力矩定理可得： MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=－Fxb+Fya =－Fbcosα ＋Fasinα =F(asinα -bcosα )
例3 如图所示，求力对A点之矩。
解：将力F沿坐标轴方向分解为两 个分力，由合力矩定理得：
M A Fxdx +Fyd y
将其推广到平面内n个力偶的情形 平面力偶系可以合成为一个力偶，即合力偶，其合力偶矩 等于各分力偶矩的代数和。 合力偶矩计算公式：
M M1 M2
Mn Mi
例4 某物体受三个共面力偶 的作用,试求其合力偶。 已知F1=9kN,d1=1m， F2=6kN,d2=0.5m， M3=-12kN·m
2.2 平面力偶系的计算
2.2.1力矩 1、力对点之矩的概念 力对刚体的作用效应——运动效应
项目二 平面力系 任务二 力矩与力偶
• M1=F1d1，M2=F2 d2
• 现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d， 根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条 件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等 效的两个力偶。(Fpl，F'p1)和(Fp2，F'p2)，FP1和 FP2的大小可由下列等式算出：
• 所以 F= M/2AC= 2.5/0.3kN= 8.33kN
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。 F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
力。偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
图2-15
• 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与 力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡 量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表 示。
• 人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力 矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋 势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的 矩可表示为
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§2–6 力偶及其性质
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
学习情境二 1.力矩 力偶
一刚体内任一点，但必须同时附加一力偶。附加
力偶矩的大小为：
m=mB(F) =±F·d
F
B。 A。
F F'
B。 A。
F' B。 m A。
F"
F =F' =F"
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二、力在直角坐标轴上的投影
X = ±F cosα Y = ±F sinα
小结：
一、力的形式：集中力P、均布荷载q、力偶m。 二、力对点之矩的计算： 1. 集中力P对点之矩： mo (F ) Fd 2. 均布荷载q对点之矩：mo (q) qld
20kN
10kN/m
2m
4m
2．图示力系对A点之矩的大小等于：[ ]
10kN
（A）10 kN .m （B）35 kN . m
10kN/m
1m
（C）45 kN .m （D）55 kN .m A
3m
B
3．一段梁上作用有均布荷载（如图示），荷载
集度q=2kN/m，则其对O点的矩为：[ ]
（A）4 kN .m （B）8 kN . m
推论：由力偶的上述特性，可以得出
推论 1. 力偶可以在其作用面内任意移转， 而不改变它对物体的作用。
推论2. 力偶可以变形。在保持力偶矩的 大小和转向不变的条件下，可以同时改变 力偶力的大小及力偶臂的长短，而不会改 变力偶对物体的作用。
第3节 力的平移定理
• 力的平移定理:作用在A点的力，均可平移到同
q
（C）16 kN .m （D）-16 kN .m
力偶矩的大小
平面力偶系平衡方程
M
o
(F ) 0
平面平行力系平衡方程
Fx 0 M A ( F ) 0 ；另外形式： Mo( F ) 0 M B ( F ) 0
思考：附加条件
二矩心连线不能平行于力的作用线
6.力偶表示方法：（1）在作用面内两个力表示；（2）用一
带箭头的弧线表示。箭头表示力偶的转向，M表示力
偶矩的大小。
平面力系
平面力偶系 作用面共面的力偶系称为平面力偶系。
F3
A
m3
m1
m2
F2
F1
d
F1
B
F2
F3
ห้องสมุดไป่ตู้
A
R
b
R
B
m1 F1d
m2 F2 d
m3 F3 d
平面力系
力的平移定理
作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体 上任意一点，但同时必须增加一个附加力偶， 该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。
平面力系
力向一点平移实例
M
－F
F F
Mx
F F My
平面力系
平面任意力系的简化 设平面任意力系如图所示
F1
A
F2
B
O
D
C
F1 M1 O
F3
M2
F2 F3
F4
F4
M A ( F ) 0 三矩式： M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
A、B、C不共线
其他形式：
Fx 0 二矩式： M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
2 力、力矩、力偶
一个物体受某力系作用而处于平衡，则此 力系称为平衡力系。
力系成为平衡力系而需要满足的条件称为 平衡条件。
性质四
二力平衡条件
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 |
方向相反 F1 = –F2 作用线共线， 作用于同一个物体上。 二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
F2
R F1 F2
F1
R F1 F2
F1
F2
平行四边形法则对于刚体、变形体均适用
推论：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。
图解法
数解法
力的分解 同样，根据平行四边形法则，可以将一个力分解为两个
M
M
M F F
M F
d F
d
F
d
F
F
d/
F
(a)
(b)
(c)
(d)
力偶的平衡
M
i 1 n i
0
二力杆
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 推论：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的效应。
因此，对刚体来说，力作用三要素为：大小，方向，作用线
性质一
力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的大小、方向与作 用点我们称之为力的三要素。
3、不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画， 不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分 析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用 力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。
工程力学第3章(力偶系)
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
力矩和力偶练习题单选题100道及答案解析
力矩和力偶练习题单选题100道及答案解析1. 关于力矩，下列说法正确的是（）A. 力越大，力矩越大B. 力臂越大，力矩越大C. 力和力臂的乘积越大，力矩越大D. 以上说法都不对答案：C解析：力矩等于力与力臂的乘积，力和力臂的乘积越大，力矩越大。
2. 力偶对物体的作用效果取决于（）A. 力偶矩的大小B. 力偶的转向C. 力偶作用面的方位D. 以上都是答案：D解析：力偶对物体的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位。
3. 一个力偶矩为10 N·m 的力偶在x 轴上的投影为（）A. 10 NB. 0C. 5 ND. 无法确定答案：B解析：力偶在任一轴上的投影等于零。
4. 力偶（）A. 可以用一个合力来平衡B. 可以用一个力来平衡C. 不能用一个合力来平衡D. 以上都不对答案：C解析：力偶不能用一个合力来平衡。
5. 若某力系对物体的作用效果与一个力偶相同，则该力系称为（）A. 平衡力系B. 力偶系C. 等效力系D. 以上都不对答案：B解析：若某力系对物体的作用效果与一个力偶相同，则该力系称为力偶系。
6. 力偶矩的单位是（）A. NB. N·mC. N/mD. m答案：B解析：力偶矩的单位是牛·米（N·m）。
7. 当力偶的两个力大小不变，而力偶臂增大时，力偶矩（）A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定答案：A解析：力偶矩等于力与力偶臂的乘积，力偶臂增大，力偶矩增大。
8. 力偶在其作用平面内任意移动时，它对物体的作用效果（）A. 改变B. 不变C. 有时改变，有时不变D. 以上都不对答案：B解析：力偶在其作用平面内任意移动时，它对物体的作用效果不变。
9. 下列关于力偶的说法错误的是（）A. 力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零B. 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，与矩心的位置无关C. 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用D. 力偶可以和一个力等效答案：D解析：力偶不能和一个力等效。
力偶矩的正负如何确定
力偶矩的正负如何确定
力矩、力偶矩的方向以逆时针为正，反之为负。
实际工作中，以所用分析方法专门规定正负为准，正负次要。
弯矩的正负号以下边受拉为正，上边受拉为负；剪力是使构件截面有左起右落的趋势为正。
1什么是力偶矩
逆时针转动为正。
力偶矩全称为“力偶的力矩”，亦称“力偶的转矩”。
力偶是大小相等,方向相反.但不在同一直线上的一对平行力.，它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离（称力偶臂）的乘积，称作“力偶矩”.力偶的转动效应决定于力偶矩.力偶矩的单位即力矩单位.(M=FL) ,力偶矩与转动轴的位置无关。
说明:力偶的合力为零,因此它不会改变物体的平动状态.力偶的效果是改变物体的转动状态。
2力偶矩的正负
力偶可以理解为两对力来配对，配对条件是它们大小相等，方向相反。
力偶矩的正负号当然要与力矩的一致，即“顺时针为负，逆时针为正”规则。
在写矩平衡方程时，我们会选择一个参考正转向（如无明确声明，则默认逆时针为参考正转向）。
参考受力图，如
果力对矩心的转动作用与参考正转向一致则在方程中取正号，反之，当力对矩心的转动作用与参考正转向相反，该力的矩在平衡方程中取负号。
力矩与力偶
第2章力矩与力偶2.1力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就 是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢？现以扳手拧螺帽为例，如图 2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心 0转动。
力F 越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也 越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心0点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转 动中心0时，无论力F 多大也不能扳动螺帽， 只有当力 的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动 效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反 时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬 杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转 动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离 d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心 (简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点0之矩(简称力矩)，记作m °(F)。
计算公式可写为m °(F)二-F d式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m 或kNm 。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:(1)力F 对点0的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不 同，力矩随之不同;(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；⑶力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1分别计算图2.2中F ,、F 2对0点的力矩。
解 从图2 - 2中可知力F 1和F 2对0点的力臂是h 和|2。
(2.1)\P图2, 1故 m °(F)= ± F i l 1 = F i l 1 sin30° =49 X 0.1 X 0.5=2.45N.mm o(F)= ± F 2 l 2 = — F 2 l 2 = — 16.3 X0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与 力的作用点的距离，女口F 1的力臂是h ，不是11 。
力矩与力偶
第一节
一、 力矩的概念
力对点之矩
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。例如扳手旋转螺母。
B
F d A
O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号 mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两 倍表示，即 Mo(F)＝±2Δ ABC 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿 • 米（ N•m ） 或千牛顿•米（kN•m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的 位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线 移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等 于零。
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于 所有各分力对同一点之矩的代数和。 Mo(FR)＝ΣMo(F) 上式称为合力矩定理。合 力矩定理建立了合力对点之矩 与分力对同一点之矩的关系。 这个定理也适用于有合力的其 它力系。
例3－1
试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有： d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCxctg)sinα =(a- bctgα )sinα =asinα -bcosα
结论：
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的 力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这 就是平面力偶的等效条件。 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论： 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。 推论 2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
力偶矩的大小
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
z Mz(F)
Mz(F) = MO(Fxy)
=±Fxy h = ±2 △OAb
O
★ 力对轴的矩等于力在垂
h
直于该轴的平面上的投影对 x
轴与平面交点的矩。
F
Fz
B
b
A
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 正负号的规定：从轴的正向往负向看，逆时针的矩为正。 或者：以右手大拇指为轴的正向，力矩转向与弯曲四指所指方向 一致者为正。
2. 空间任意力系简化为一合力的情形 ·合力矩定理
● F′R≠ 0，MO=0
合力的作用线通过简化中心
● FR′≠ 0，MO ≠0 且 FR ⊥′ MO
Mo o FR
FR′′ d o FR o1 FR
FR
o1
MO(FR)= FRd=MO=∑ MO(Fi) MO(FR)= ∑ MO(Fi)
Mz(FR)= ∑ Mz(Fi)
yC
4R
3
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
y C1
30mm 10mm
例 题 7 求：Z形截面重心。
C2
10mm
解: 建立图示坐标系 x1=-15, y1=45, s1=300
MO (F )
MO(F) =Fh=2△OAB
r xi yj zk
z
F Xi Yj Zk
i jk
MO(F)
MO(F) r F x y z
XYZ
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k O
r
h
BF
A(x,y,z) y
力对点之矩与平面力偶系
9
例题.图示F=5kN, sin=0.8试求力F对A点的矩.
F B
A 20
10
解:(1)
BC 15 18.75 0.8
CD =18.75×0.6 = 11.25
AC = 20 -11.25 = 8.75
h = 8.75× 0.8
A
=7
mo(F) = hF = 7 × 5 = 35
1
▪ 力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两
倍表示，即
▪ Mo(F)＝±2ΔABC
▪
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）
或千牛顿•米（kN•m）。
▪ 由上述分析可得力矩的性质：
▪ （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的 位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。
▪ （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线 移动而改变，再次说明力是滑移矢量。
M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm
由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力 偶的力偶矩的代数和。
21
二、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力 偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则 合力偶矩必等于零。由此可得到
▪ （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等 于零。
2
3
一、平面中力矩的概念
3.1
二、平面汇交力系的合力矩定理
力 定理：平面汇交力系的合力对平面内任意
矩 一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代
的 数和。即
概y
mo (R) mo (Fi )
工程力学-力矩与平面力偶
RA
RB
2 Pa RB R A l cos α
[练习2]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等
直径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m 2 m3 m 4 15 N m 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解:
NA NB
各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
mo ( F ) F ( h x )
mo ( F ) F x
mo ( F , F ) F ( h x ) F x F h
性质3：力偶等效定理 作用在同一平面的两个力偶，只要它的力偶矩相等，则该两个力偶彼此等 效。
包含以下内容： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的
l d Q 0 l
2、研究曲柄ACD
l2 d2 m 0 N AB l d M 0 l2 d2 M Q N AB l d
思考题： 1、m可否又BC上移至AC上？
a
m
结构视为一体时，m 可移动，若分开考虑，则 m不能从一体移至另一体。
2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？
M O ( F ) 2 S ABC
① 说明： M O (F ) 是代数量。
② F↑,h↑转动效应明显。
③ M O (F ) 是影响转动的独立因素。当F=0 或 h=0时，M O ( F ) 0 ④国际单位Nm。
2、解析式 y
Fy
F
Fx
M O ( F ) F h Fr sin
解： 1、研究对象二力杆：AD
RC
力对点的矩,力偶
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
§2.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件 例题 2-6
例2-6 一简支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座约束力。
解：
梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。
M
因为力偶只能与力偶平衡，所以
A
d
B
FA = FB。
由
Mi 0
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
==
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
r
F
§2.3.1力对点的矩
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
2.3.2汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FRLeabharlann MOFi平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例2-1
已知: F=1400N, θ 20,
求:MO F.
解: 直接按定义
r 60mm
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理
(精品)工程力学——2-3平面力偶系
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内 任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
0.4m
MA(F)
= - 10 0.6 cos300
6 3 3 3 2
= MA(Fx) + MA(Fy)
Fx = Fcos300 MA(Fx) 3 3 Fy = - Fsin300
MA(Fy) = 0
例5.图示F=5kN, sin=0.8试求力F对A点的矩.
F B
A 20
解:(1)
BC 1518.75 0.8
= P1•d+P2•d－P3•d
=F 1•d1+F2•d2－F3•d3
所以
M＝m1＋m2＋m3
若作用在同一平面内有个力偶，则上 式可以推广为
M m 1m 2 m n nm i
i1 由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力
偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。
2.平面力偶系的平衡条件 平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，
RA
RA
A
MC
M C
RC
M
B RB
MC
M
B
RC
M
RB
静
[例力] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔学,每个钻头的力偶矩为
3—1、力对点之矩
3—5、力的平移法则
一、平移法则：
1、问题的提出：力平行移动后，和原来作用不等效，如何才能保持等效呢
2、力平移原理：
（1）在Ａ点作用一力Ｐ
（2）据加减平衡力系原理，在Ｏ点加一对平衡力 使
( 3 )力 组成的力系与原来作用于Ａ点的力p等效。
( 4 )力系 组成两个基本单元，一是力 ，一是p和 组成的力偶，其力偶矩为
因此，作用于Ａ点的力Ｐ可用作用于Ｏ点的力 和力偶矩 来代替。
定理：作用在物体上的力Ｐ，可以平行移到同一物体上的任一点Ｏ，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力Ｐ对于新作用点Ｏ的矩。
反之，一个力和一个力偶可以合成一个力。
一、力偶和力偶矩
力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。
1、力偶矩：为了描力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量——力偶矩。它等于力偶中的一个力与其力偶臂的乘积。即：M= （d——两力间垂直距离）
2、正负规定：逆时针为正，顺时针为负。
3、单位：N.M KN.M
4、力偶的性质：
3—1、力对点之矩
一、力矩
1、什么叫力矩：一力 使物体饶某点O转动，O点叫矩心，力 的作用线到O点的垂直距离d叫力臂，力 的大小与力臂d的乘积叫力 对矩心O点之矩，简称力矩，以M0（ ）表示，数学表达式为：M0( )=
2、力矩的正负：逆时针为正，顺时针为负。
力矩是代数量。
3、力矩的单位：N.m，KN.m
一、合成
设
=
结论：平面力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
讲例题
二、平面力偶系的平衡条件：
平面内所有力偶矩的代数和等于零。
计算扭矩时外力偶矩正负号_理论说明
计算扭矩时外力偶矩正负号理论说明1. 引言1.1 概述在工程领域中，扭矩的计算是一项重要的任务，它在设计和分析各种结构和机械装置时起着至关重要的作用。
扭矩是指施加在物体上使其绕某个轴旋转的力矩，通常用于描述力对物体产生旋转效果的能力。
然而，在计算扭矩时，外力偶矩的正负号也需要被准确地考虑进去。
1.2 文章结构本文将从引言、基本概念、正负号意义、理论说明方法以及结论与展望等方面来探讨计算扭矩时外力偶矩正负号的问题。
引言部分主要介绍了文章的概述和结构，为后续内容提供了一个整体框架。
1.3 目的本文旨在说明在进行扭矩计算时，正确理解和应用外力偶矩的正负号对于得到准确结果是至关重要的。
通过深入探讨正负号选择原则和方法，并讨论精度与误差控制相关问题，我们希望提供给读者理论上正确且实践可行的方法来解决计算扭矩时外力偶矩正负号的问题。
这将有助于工程师们更准确地计算和分析各种结构和机械装置的扭矩，并提高其设计和安全性能。
以上是本文“1. 引言”部分的内容，其中介绍了文章的概述、结构以及目的。
下一部分将介绍扭矩计算的基本概念。
2. 扭矩计算的基本概念2.1 扭矩的定义扭矩是描述物体受力后绕轴线旋转的能力。
它是由两个关键因素决定的：力大小和力对轴线的垂直距离，也就是力臂。
通常用符号"τ"来表示扭矩。
2.2 外力矩和扭矩之间的关系外力矩是指作用在一个物体上产生旋转效应的力。
而扭矩则是由这些外力产生的。
外力可以通过施加于物体表面或者专门设计的装置进行传递。
当外力施加在物体上时，它将产生一个由质点间作用相互引起并与所选轴线垂直方向形成偶对（也称为"外力偶"），从而导致物体发生旋转。
2.3 扭矩计算的重要性准确计算扭矩对于许多工程和科学领域都至关重要。
在机械工程中，正确计算扭矩可以评估和设计各种零部件、机械系统以及整个机器或设备的安全性、可靠性和性能等方面。
此外，在物理学、土木工程、航空航天等领域，扭矩的计算也被广泛应用于分析和解决各种问题，例如结构稳定性、材料强度与承载能力的评估等。
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上式是平面力偶系的平衡方程，因此，可以解决平面力偶 系中只有一个未1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2
任务四 力偶计算 三、 平面力偶系的合成与平衡条件
2、平面力偶系的合成:
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向 相同，则这两个力偶等效。称为力偶的等效性。
任务四 力偶计算
三、 平面力偶系的合成与平衡条件 1、平面力偶系: 同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶， 称为力偶系。 作用在同一平面内的的力偶系，称为平面力偶系。
任务四 力偶计算 三、 平面力偶系的合成与平衡条件
模块一 静力学基础
项目一 静力学基础知识
任务四 力偶计算 教学重点
力偶矩及力偶对平面上任意点的矩的计算 教学难点
偶的性质对物体的作用效应与一般的力不同
项目一 静力学基础知识 任务四 力偶计算 一、力偶的概念 1. 定义
两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组 成的力系称为力偶
2. 表示方法（F，F’）
M F.d
项目一 静力学基础知识
任务四 力偶计算 二、力偶的基本性质
性质1： 力偶无合力所以不能用一个力来代替（力偶与力对物体的作用效
应不同）；力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平 衡；力偶在任一坐标轴上的投影的代数和等于零。 性质2： 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。 性质3：
结论:平面力偶系合成的结果是合力偶。合力 偶矩的大小可由式）确定 在同一个平面内的 n个力偶，其合力偶偶矩等于各分 力偶矩的代数和。
M m
任务四 力偶计算 三、 平面力偶系的合成与平衡条件 3、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力
偶的力偶矩的代数和等于零。
项目一 静力学基础知识
任务四 力偶计算 一、力偶的概念
项目一 静力学基础知识 任务四 力偶计算 一、力偶的概念
3.作用效果：引起物体的转动 4.力偶臂d：力偶中两个力的作用线之间的垂直距离。 5.力偶矩：力偶中任何一个力的大小与力偶臂d 的乘积，加上 适当的正负号。 6.力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取 正号；反之，取负号。 7. 量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）