§5.2 利用系统函数求响应
利用系统函数求响应.ppt
显然，二种方法结果不相等。因此,在求解电路 响应时需要针对具体问题考虑它的确切含义。
二、利H用(j) Fh(求t) 系统对非周期信号的响应
下图所示RC电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1t ， 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
R
v1 (t )
C
2 分析：
v2(t) R j H j E j
§ 5.2 利用系统函数求响应
• 主要内容
•系统的频响特性与H(s)的关系
•利用 H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响应
• 重点：利用H(j) F求h(系t)统对非周期信号的响
应
一、系统的频响特性与H(s)的关系
当H (s)在虚轴上及右半平面无极点,这时有：
Fht H j H s s j
1
vC 0 0
2
H j ht Fet
v1(t) E
H s
s j
O
t
rt F 1R j
解：
1
H
s
R
sC 1
1
RC s 1
令 1
RC
sj
H
j
j
sC
RC
激励信号v1 t 的傅里叶变换式为
V1
j
E
Sa
2
e
j 2
E
j
1 e j
响应v2 t的傅式变换
V2 j H j V1 j
j
E
Sa
e
j
2
2
V2 j e j2
求v2(t)
v2
j
j
E
j
1 e j
EБайду номын сангаас
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
第五章 傅里叶变换应用
频域卷积定理
2
( )则
F[cos 1 t] [ ( 1 ) ( 1 )] F[sin 1 t] j [ ( 1 ) ( 1 )] 1 j 0 t j 0 t cos 0t (e e ) 2 1 F [ f (t ) cos 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 2 1 j 0t j 0t sin 0t (e e ) 2j 1 F [ f (t ) sin 0t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )] 23 2j
思考： 图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中
即：f (t ) 2 4 cos5t 4 cos10t
【解】
H ( j0 ) 1
1 H ( j5) 2
(a)
H ( j1 0 ) 0
(b)
y(t ) 2 2 cos5t
调幅信号作用于线性系统
傅里叶变换应用 -5.2 利用系统函数(频率响应）求系统 响应
利用系统函数（频率响应）求系统响应
例：系统的h(t)=(e-2t-e-3t)u(t),
统零状态响应 r(t) 。
系统输入信号e(t)=e-tu(t), 求系
解：
1 1 H ( j ) 2 j 3 j
1 E ( j ) 1 j
例2：设某恒参信道可用图所示的线性系统来等效。试
求它的频率响应H(ω)，并说明信号通过该信道时会产生 哪些失真。 R j RC 解： H ( ) 1 1 j RC R jC RC H ( ) 1 ( RC ) 2 1 ( ) arctan RC
H ( j w 0 )e
信号与系统§5.2 利用系统函数求响应
•系统的频响特性与H(s)的关系 •正弦信号激励下的稳态响的关系
当H ( s)在 虚 轴 上 及 右 半 平 面 无极 点 ：
Fht Hj Hs s j
当H ( s)在 虚 轴 上 有 极 点 不 同 。 例：
当输入为 t时，求出v(t)即h(t)
1t
1
i t
h(t) v(t) i(t)d t u(t)
C
C
H(s) Lh(t) 1
s
H(j ) Fh(t) 1
j
C vt
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为sin0t,系统的频率响应为H() H() ej()，
总结
系统可以看作是一个信号处处理器：
H j 是一个加权函数对，信号各频率分量进行 加权。
， 信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正 弦 信 号sin0t作 为 激 励 的 稳 态 响 应 为与 激 励 同
频 率 的 信 号 ， 幅 度 由H j0 加 权 ， 相 移 0 。 H j 代 表 了 系 统 对 信 号 的 处理 效 果 。
三．非周期信号的响应
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚； •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易； •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简历滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。
第五章拉氏变换
第五章 傅里叶变换的应用
-滤波、调制与抽样
5.1 频域系统函数 5.2 利用频域系统函数求响应 5.3 无失真传输 5.4 理想低通滤波器 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准
则 5.7 调制与解调 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号
2
滤波
3.信号无失真传输条件（对系统的要求） 1、从频域看系统无失真传输条件
r(t) Ke(t t0)
两边取傅里叶变换 R( j ) KE( j )e j t0
R( j) H( j)E( j)
H ( j ) Ke j t0
H( j) K
( ) t0
即要求系统的幅频响应特性为常数K；相频响应为一通过原点的直线(t0 )。
V2
j
2
E
sin
w
2
2 2
2
w
2
arctg
w a
w
2
arctg
w a
m
n 0, 1, 2,L
4n w 2(2n 1)
2(2n 1) w 2(2n 2)
V1( j)
V2( j)
0
w
0
w
V1( j)
E Sa( )
2
2E sin
V2 ( j) RC
2
1 R2C 2
1t
1 (t )
E 1 e RC u(t) E 1 e RC u(t )
u2 (t) E
u1 (t )
E
0
t
输出信号的失真波形
0
t
输入信号波形
输出信号的波形与输入信号相比产生了失真， 输出波形上升和下降特性：
系统函数与频率响应特性
=
−
s2 s2
+ 2s +1 + 5s + 2
例 5 – 3 图 5 – 3（a）是常用的分压电路（也称为衰减器），若以电容 C2 上的电压为输 出，试求其冲激响应。
解
画出图 5 – 3（a）的 s 域模型（零状态）如图 5 – 3（b）所示。如令
C1
1 sC1
+
x(t)
-
R1
+
R2 C2 y(t)
条件下，对于任何输入信号 x(t) ，图 5 – 3（a）电路的零状态响应为
y(t) = h(t) * x(t) = R2 δ (t) ∗ x(t) = R2 x(t)
R1 + R2
R1 + R2
即该网络的输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 波形相同，而为输入信号的 R2 倍，不产生失真。 R1 + R2
其系统函数为
1
H (s)
=
I (s) X (s)
=
R
1 + sL
=
s
L +R
L
（5-5）
在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗
204
（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激
励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(driving function)”或“驱动点函数”，如 图 5 – l（a）中的 Vi (s) 与 Ii (s) ；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transfer function)”或“传输函数”，如图 5 – 1（b）中的Vi (s) [或 Ii (s) ]与Vj (s) [或 I j (s) ]。显然，策动
系统函数与频率响应特性
图 5 – 4 H (s) 的零、极点分布图示例
208
⎧ ⎪ ⎨
p1 p2
= =
−1 −2
+
j1
⎪ ⎩
p3
=
−2
−
j1
(一阶) (一阶) (一阶)
该系统函数的零、极点如图 5 - 4 所示。
由式（5 - 9）或式（5-10）可以看出，系统函数一般有 n 个有限的极点和 m 个有限的零点。
如果 n > m ，则当 s
jω
例如某系统的系统函数为
H (s) =
s2 (s + 3)
=
s2 (s + 3)
j
(s +1)(s2 + 4s + 5) (s +1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
那么，它的零点位于
⎧ ⎨ ⎩
z1 = z2 = z3 = −3
0
(二阶) (一阶 )
-3 -2 -1
σ
-j
而其极点位于
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
dt 2
dt
求系统函数 H (s) 。
解
1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得
(s2 + 3s + 2)Y (s) = X (s)
则
H (s)
=
Y (s) X (s)
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
§5.1.系统函数H(jw)
+
系统的频域型
+
V1 (ω)
1 jωC
V2 (ω)
这是KVL的频 的频 这是 域形式， 域形式，但不 是相量法 Q对所有的 , ω
更广泛
X
求h(t),H(ω)
系统函数
V2 (ω) 1 H(ω) = = = V1 (ω) 1 + jωRC 1 RC = α + jω jω + α RC
1 t RC
[
]
利用频移特性 e jω0t 2πδ(ω + ω0 ) e jω0t 2πδ(ω ω0 )
1 jω0t jφ (ω0 ) jω0t jφ (ω0 ) ∴v2 (t ) = H(ω0 ) j e e e e 2 = H(ω0 ) sin[ω0t + φ(ω0 )]
[
]
X
结论
v1(t )是单一频率的信号， (t )是与 1(t ) 同频率的信号， v 单一频率的信号 v2 的信号， 同频率的信号 的信号， V 相比， 幅度由 加权， 与 v1 (t ) = sinω0t 相比， 2 (ω)的幅度由 H(ω0 )加权，相 H 代表了系统对信号的处理效果 处理效果。 移 φ(ω0 ) 。 (ω) 代表了系统对信号的处理效果。
V2 (ω) H(ω) = V1 (ω)
电压比
I2 (ω) H(ω) = I1 (ω)
电流比 阻抗
I(ω) H(ω) = V(ω)
导纳
V(ω) H(ω) = I(ω)
X
二．物理意义
1．表征系统
h(t)为冲激响应，取决于系统本身的结构， 为冲激响应， 为冲激响应 取决于系统本身的结构， 描述了系统的固有性质。 描述了系统的固有性质。
系统函数与频率响应特性
5．1．1 系统函数酌定义
设系统的 n 阶微分方程为
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + a1 y(1) (t) + a0 y(t) =
bm x(m) (t) + bm−1x(m−1) (t) + + b1x(1) (t) + b0 x(t)
（5-1）
（5-2）
我们将零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数(system function）或网 络函数(network function)，记为 H(s)，即
H
(s)
=
Yzs (s) X (s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
b1s + b0 = B(s) a1s + a0 A(s)
若系统的各起始状态为零，即 y(k) (0− ) = 0 ，且激励信号 x(t) 为因果信号，即 x(k) (0− ) = 0 ，
对上式两边取拉氏变换可求出系统的零状态响应的拉氏变换
Yzs (s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
+ b1s + b0 X (s) + a1s + a0
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
电路理论-5_2一般电路系统IO微分方程的建立和求解讲解
N (P)
N (P)
(2) 广义阻抗
电阻 电容
电感
R 因为uR (t) ZR (P)iR (t) ZR (P) R
1 CP
因为
uC
(t)
1 C
t
iC
(t)dt
1 CP
iC
(t)
ZC
(P)iC
(t)
ZC
( P)
1 CP
LP
0.5iC (t) 0.5uL (t)
[
iC
(t)
C
duC (t) dt
,
uL
(t)
L
diL (t)] dt
diC (t) dt t0
0.5iC (0 ) 0.5uL (0 ) 2
(2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况):
当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容， 或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC→∞， uL →∞，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方 法失效。通常有两种情况：
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性；
ⅱ. 激励信号为奇异信号时初始条件确定。
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性情形
电路有强迫跃变的特点： 1) 存在全部由纯电容组成的闭合回路； 2) 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；
+ Us(t)
-
+
-
Us(t)
-
3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点(割集)； 4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点(割集) 。
ⅰ 引入广义阻抗于电路 ⅱ 列节点方程，网孔方程 ⅲ 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分
第五章 结构的强迫振动响应分析
第五章 结构的强迫振动响应分析§5.1 概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。
求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。
考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。
直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。
§5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程)}({}]{[}]{[}]{[t P U K U C UM =++ （5－1） 进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。
这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔t ∆的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻t 上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。
（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t ∆内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。
首先，设}{}{}{000U U U 表示初始时刻（0=t ）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0=t 到T t =的解，则把时间段T 均分为n 个间隔n T t /=∆，所用的积分是在T t t ,2,∆∆上求方程的近似解。
即要在t t t ,2,∆∆的解已知的情况下，求解t t ∆+时刻的解。
【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。
通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。
}){}({21}{}){}{2}({1}{2t t t t tt t t t t tU U t U U U U t U ∆∆∆∆∆∆-++--=+-= （5－2）假定}{t U 及前一时刻的位移}{t t U ∆-已经求得，则将}{t U }{tU 代入方程（5－1）得到：}]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222t t t t t t U C tM t U M t K P U C t M t ∆∆∆∆∆∆∆-+----=+ （5－3）由此式求出}{t t U ∆+上述格式是一个显式格式。
微分方程求响应
微分方程求响应微分方程是数学中非常重要的一个分支，它可以用来描述物理、工程、经济等领域中的现象和规律。
在控制系统中，微分方程被广泛应用于求解系统的响应。
控制系统的响应可以分为两种类型：自由响应和强制响应。
自由响应是指系统在没有外力作用下的响应，而强制响应则是指系统在有外力作用下的响应。
本文将着重介绍微分方程求解控制系统强制响应的方法。
在控制系统中，强制响应可以用一个微分方程来描述。
该微分方程通常采用下面的形式：$frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+...+a_1frac{ dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_mfrac{d^mu(t)}{dt^m}+...+b_1frac{du(t)}{dt}+b_0u(t)$其中，$y(t)$是系统的输出，$u(t)$是系统的输入，$a_i$和$b_i$分别是系统的系数，$n$和$m$分别是微分方程中的导数阶数。
这个微分方程被称为系统的传递函数。
为了求解上述微分方程，我们需要先找到它的特征根和特解。
特征根可以通过求解微分方程的特征方程来得到，而特解则需要通过猜解的方法来求解。
特解的形式通常取决于输入的类型。
一旦找到了特征根和特解，我们可以利用它们来求解系统的响应。
对于一个强制响应，它可以被分解为自由响应和强制响应的和。
自由响应是由系统的特征根所决定的，而强制响应则是由特解所决定的。
在实际的应用中，微分方程求解控制系统强制响应的方法被广泛应用于机械、电子、化工等领域中。
它不仅可以用来设计和优化控制系统，还可以用来解决实际问题中的控制问题。
系统的时间响应分析
系统的时间响应分析时间响应分析是探索系统对输入信号做出反应的一种方法。
在这个过程中，我们研究系统输出在不同时间点的行为，以便更好地理解和预测系统的性能和稳定性。
在进行时间响应分析之前，我们需要了解输入信号和系统的数学模型。
输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号。
系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、差分方程的递归关系等形式。
在时间响应分析中，最常用的分析方法是通过求解系统的微分方程或差分方程获得其输出。
对于连续时间系统，我们通常使用微分方程；对于离散时间系统，我们通常使用差分方程。
在实际应用中，我们可以使用不同的方法来获得系统的时间响应。
其中最常见的方法是使用拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换通常用于连续时间系统，而傅里叶变换则更适用于离散时间系统。
通过进行时间响应分析，我们可以获得系统的重要性能指标，如稳定性、阻尼比、自然频率等。
这些指标对于系统设计和控制至关重要。
通过对时间响应分析的研究，我们可以了解系统对不同输入信号的响应速度、衰减程度以及是否能达到稳态。
此外，时间响应分析还有助于系统的故障诊断和故障排除。
通过观察系统的时间响应，我们可以判断系统是否存在故障，并进一步确定故障的来源和性质。
总之，时间响应分析是一种重要的系统分析方法，可以帮助我们了解系统的性能和稳定性。
通过对系统输出在不同时间点的观察和分析，我们可以获得系统的重要性能指标，并进一步进行系统设计和控制的优化。
时间响应分析是系统控制理论中的一项重要内容，它用于研究系统对输入信号的响应情况。
通过分析系统在不同时间点的输出行为，我们可以获得有关系统的重要信息，例如系统的稳定性、阻尼比、自然频率等。
这些信息对于系统设计、控制和故障排除非常关键。
在进行时间响应分析之前，我们首先需要了解系统的输入信号和数学模型。
输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号，而系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、递推关系等表示。
在时间响应分析中，最常用的方法是通过求解系统的微分方程或差分方程来获得系统的输出。
复习求系统的频率响应的三种方法
序列的傅立叶变换对
X (e j ) x(n)e j n n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
定义一：系统频率响应即系统单位样值函 数的傅立叶变换
H (e j )是以 h(n) 为加权系数，对各次谐
波进行加权或改变的情况（物理意义）。
❖ 前向差分 ❖ 后向差分 ❖ IIR ❖ FIR
例1：
y(n) x(n) ay(n 1)
x(n)
y(n) ay(n 1) x(n)
a1
E
例2：
y(n 1)
后向差分方程 多用于因果系统
y(n 1) ay(n) x(n)
1 E
a
y(n) 1 [y(n 1) x(n)] a
前向差份方程 多用于状态方程
z
2
a1i
b0i
z 1
b0i
a1i z1
b1i
H1(z)
H 2 (z)
a2i
z 1
(2)非递归数字滤波器
M
y(n) br x(n r) r 0
M
H (z) br zr r0
x(n)
x(n 1)
x(n 2)
z 1
z 1
z 1
x(n M )
z 1
b0
b1
b2
bM
y(n)
从网络框图求差分方程
双边右移序列的单边Z变换
ZT[x(n m)u(n)] x(n m)zn
n0
zm x(n m)z (nm) z m x(k)z k
n0
k m
z
m
x(k)zk
1
x(k
§5.2 利用系统函数求响应
5 1 cos(3t 72)
10
H j
1
1
11 2
1 21 1
10 5
5 10
3 2 1 O 1 2 3
Y j π
1
11 2 10 5
1 21 1
5 10
3 2 1 O 1 2 3
三．非周期信号的响应
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• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚。 •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。 •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•正弦信号激励下的稳态响应 •非周期信号激励下系统的响应
北京邮电大学电子工程学院 陈智娇
一．正弦信号激励下系统的稳态响应
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设激励信号为 sin0t ，系统的频率响应为
H ( ) H ( ) ej()，则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正弦信号sin0t 作为激励的稳态响应为与激励同 频率的信号，幅度由H j0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处理效果。
画出系统的频域模型， 写出系统函数表达式
1
v1 (t )
R C
2
v2(t)
1
H
V2 V1RjC1来自jC11
R
2
2
V1( )
1
jC
V2 ( )
j
1 RC
1
2
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4）. r z s ( t ) F 1 [ R ( j )]
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设 激 励 信 号 为 s in 0 t ,系 统 的 频 率 响 应 为 H ( ) H ( ) e j ( )， 则系统的稳态响应为
H ( 0 ) s in 0 t ( 0 )
信号与系统
Signals and Systems
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
一. LTI系统的频域分析方法
根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,
其过程为:
1） . 由 e ( t ) E ( j ) 2）. 根据系统的描述，求出 H ( j ) 3） . R ( j ) E ( j ) H ( j )
正弦信号 sin 0 t 作为激励的稳态响应为与激励同 频率的信号，幅度由 H j 0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处理效果。
三．非周期信号的响应
•非周期信号一般可以通过有始函数e(t)u(t)来表示； •它所含有的频率分量与周期信号的频率分量不同，因 此其响应也与周期信号作用产生的响应不同； •一般说来，这时的响应除了与周期信号产生的响应相 同的分量外，还会出现因t=0时信号接入所产生的按指 数规律衰减的暂态响应分量。 • 因此，从激励信号接入到系统进入稳态之间存在 暂态过程。 •激励为非周期信号，系统零状态响应的求取仍基于 LTI系统的叠加特性，分析步骤如下：
（ 1）e(t ) E (t ), 即将激励分解为一系列正弦（谐波） E ( ) 分量，频率为的某一分量复振频是 d; (2)求系统函数H ( j ) R ( ) ; E ( )
(3)求出各次谐波产生的响应，并叠加全部谐波分量 产生的响应，获得系统的零状态响应： R ( ) d H ( j ) E ( ) d
R ( ) H ( j ) E ( )
r (t ) F －1[ R ( )]
(4)由傅立叶反变换求得响应的时域形式 显然，这种频域求响应的方法是以两次变换说明激励与响应波形的差 异， 系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚； （2）用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易；
（3）引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性，建立 滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理 论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重 要的指导意义。
总结
系统可以看作是一个信号处理器：
H j 是 一 个 加 权 函 数 ， 对信号各频率分量进行 加权。
，
信 号 的 幅 度 由 H (j ) 加 权 ， 信 号 的 相 位 由 修 正 。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信 号分解，求响应再叠加的过程。