贝努力_Bernoulli_概型教学浅析
贝努力与大数定律
贝努力近代科学史上，最著名的科学家家族可能要算伯努利家族了。
伯努利家庭是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族。
其中著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟约翰·伯努利、约翰的次子丹尼尔·伯努利等。
雅格布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654－1705）是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家。
青年时曾学习神学，1676年开始到荷兰、德国、法国旅行，对数学有了深入的研究。
回国后于1687年到1705年在巴塞尔大学任教。
此后在数学方面取得了许多重大研究成果。
雅可比同莱布尼兹共同协作，对于微积分的发展做出了出色的贡献，为常微分方程的积分法奠定了充分的理论基础。
在研究曲线问题时他提出了一系列的概念，如对数螺线、双纽线、悬链线等。
他继承和深入地研究并发展了微积分学，创立了变分法，提出并部分地解决了等同问题及捷线问题。
雅可比还是概率论的早期研究者。
许多概率论方面的术语都是以他的名字命名的。
对于物理学方面的研究，雅可比也有一定贡献。
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）青年时曾经商，后研究数学和医学。
曾在巴黎留学，1695年任荷兰格罗宁根大学教授；1705年任巴塞尔大学教授；1699年被选为法国科学院院士；1712年被选为英国皇家学会会员。
他还是彼得堡科学院和柏林科学院的名誉院士。
约翰·伯努利也是变分法的重要创始人之一。
他提出的关于捷线问题对变分学的发展起到了重要的推动作用。
1696年约翰提出捷线问题后开始钻研几何问题，并取得了巨大成功。
约翰在物理学发展中同样做出了出色贡献。
他所发现的虚功原理对物理学的发展产生了重大的推动作用。
这一原理也称虚位移原理，是约翰于1717年发现的。
它的发现对于分析力学的发展具有重要理论价值丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。
第四讲 独立性与贝努力试验
独立性independentevents贝努力实验bernoulliexperiment一独立性例1设试验e为抛甲乙两枚硬币观察正反面出现的情况设事件a为甲币出现hb为乙币出现h样本空间hhhtthtt1在已知第一次摸得黑球的条件下第二次摸出的是黑球的概率
第四讲 独立性与贝努力试验
内容摘要： 独立性（Independent Events） 贝努力实验（Bernoulli Experiment）
三、几何分布
直到第N次试验，结果才出现。 例10、一醉汉要开门，他有10把钥匙，其中仅 一醉汉要开门，他有 把钥匙 把钥匙， 一醉汉要开门 有一把可以打开门， 有一把可以打开门，他随机的选取一把钥匙 开门，则这个醉汉第四次打开门的概率多大？ 开门，则这个醉汉第四次打开门的概率多大？
思考题： 1、奥运会兴奋剂检测中，第一次药检呈阳性以后， 奥运会兴奋剂检测中，第一次药检呈阳性以后， 奥运会兴奋剂检测中 会进行第二次检测，有必要进行第二次么？ 会进行第二次检测，有必要进行第二次么？因为 两次检测是独立的， 两次检测是独立的，能否从独立事件的概率上进 行解释？ 行解释？ 2、从概率学的角度来判断，对于中国乒乓球队， 从概率学的角度来判断，对于中国乒乓球队， 从概率学的角度来判断 三局两胜制和五局三胜制， 三局两胜制和五局三胜制，哪个更有利于中国对 获胜？ 获胜？
概率论与数理统计选修课讲义
一、独立性
例1、设试验 为“抛甲、乙两枚硬币，观察正 设试验E为 抛甲、乙两枚硬币， 设试验 反面出现的情况” 设事件A为甲币出现 为甲币出现H， 反面出现的情况”，设事件 为甲币出现 ，B 为乙币出现H，样本空间{HH，HT，TH，TT}， 为乙币出现 ，样本空间 ， ， ， ， ）、P（ ）、 ）、P（ ）、 ）、P(B|A）。 求P（A）、 （B）、 （AB）、 （ ）、 ）。 例2、一袋中放有 个黑球，b个白球，采用有放回 一袋中放有a个黑球 个白球， 一袋中放有 个黑球， 个白球 摸球， 摸球，求： 1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸 ）在已知第一次摸得黑球的条件下， 出的是黑球的概率；（条件概率） ；（条件概率 出的是黑球的概率；（条件概率） 2）第二次摸出黑球的概率。（全概率公式） 。（全概率公式 ）第二次摸出黑球的概率。（全概率公式） A表示第一次摸出黑球，B第二次摸出黑球 表示第一次摸出黑球， 第二次摸出黑球 表示第一次摸出黑球
obe理念 学-概述说明以及解释
obe理念学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述OBE（Outcome-based Education）理念是一种基于学习成果的教育模式，强调学生在学习过程中所达到的预定目标和标准。
相较于传统的以教师为中心的教育方式，OBE理念更加注重学生的学习成果和能力培养。
通过设立清晰的学习目标和评估标准，OBE理念旨在使学生能够掌握实际应用能力，并且明确了教育的核心目标是为学生提供适应未来职业和社会需求的知识和技能。
OBE理念的核心观念是“能力导向”，即将学生的学习重点从传授知识转变为培养学生具备特定能力。
在OBE理念下，学生需完成一系列的学习任务和项目，以达到设定的学习目标。
这种以能力为导向的学习方式注重学生的个体差异和自主学习能力的培养，同时强调学生的实际操作能力和解决问题的能力，使学生能够在实际生活和职业中应用所学知识。
为了确保学生的学习成果达到预期，OBE理念还强调对学生的评估和反馈。
通过制定明确的评估标准和方法，教师能够客观地评估学生的学习成果，并提供及时的反馈和指导。
这种评估方式鼓励学生积极参与学习过程，不仅注重学生的知识掌握程度，还注重学生的应用能力和批判思维能力的培养。
总之，OBE理念是一种注重学习成果和能力培养的教育模式。
通过设定明确的学习目标和评估标准，学生能够在实际应用中掌握所学知识和技能。
OBE理念的实施需要教师的指导和评估，以及学生的积极参与和合作。
尽管OBE理念在教育中仍存在一些挑战和争议，但它有望成为未来教育发展的一个重要方向，为培养具有综合能力的人才做出贡献。
1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容来探讨OBE理念的学习。
首先，在引言部分，我们将概述本文所要探讨的主题，即OBE理念（Outcome-Based Education，即基于结果的教育），并简要介绍本文的结构和目的。
接着，在正文部分，将详细解析OBE理念，包括其起源、核心原则以及与传统教育模式的对比。
我们将介绍OBE理念的优点，包括对学生的学习动机、自主学习能力和综合素养的培养等方面的积极影响。
贝努里概型
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
obe 教学理念的 pbl 教学法
近年来，以问题为导向的学习（Project-Based Learning，简称PBL）教学法在教育界备受关注。
与传统的以教师为中心的教学方式相比，PBL教学法强调学生的参与和主动性，倡导学生通过解决问题来学习知识和技能，是一种基于问题、参与式和团队合作的综合性教学方法。
而在PBL教学法中，OBE（Oue-Based Education，即结果导向教育）理念被广泛应用，以确保学生在学习过程中真正掌握和应用知识技能。
为了更好地了解和探讨OBE教学理念的PBL教学法，我们将分析和讨论以下几个主题：1. OBE教学理念的基本概念和特点2. PBL教学法的基本原则和实施方式3. OBE教学理念与PBL教学法的融合与实践4. OBE教学理念的PBL教学法在教育中的价值和意义接下来将逐一展开对以上主题的分析和讨论。
1. OBE教学理念的基本概念和特点OBE教学理念是一种以学生的学习成果为核心的教育理念。
其核心思想是从教育的目标出发，强调培养学生的综合能力和素质，促使学生在学习过程中形成能力、技能和态度等多方面的学习成果。
OBE教学理念的特点主要包括以下几个方面：- 以学习成果为核心。
OBE教学理念强调关注学生的学习成果，重点关注学生在学习过程中所能够掌握和实践的知识、技能和态度等学习成果。
- 强调多元评价。
OBE教学理念强调多元化的评价方式，旨在全面了解学生的学习情况，注重对学生综合素质和能力的评价。
- 以学生为中心。
OBE教学理念强调学生的参与和主动性，注重发挥学生的主体作用，激发学生的学习积极性。
- 注重课程整合。
OBE教学理念强调跨学科的整合，促使学生在解决问题和实践中能够综合运用各学科的知识和技能。
2. PBL教学法的基本原则和实施方式PBL教学法是一种以问题为核心的学习方式，强调学生通过解决实际问题来学习知识、培养能力和提高综合素质。
PBL教学法的基本原则和实施方式主要包括以下几个方面：- 以问题为导向。
基于OBE理念的《概率论与数理统计》教学设计与案例分析
基于 OBE理念的《概率论与数理统计》教学设计与案例分析摘要理工科数学公共基础课教学对培养工科人才数学思维发挥着不容小觑的作用。
本文基于OBE理念，针对计算机专业学生，以《概率论与数理统计》中《几何概型》的教学为例，提出几点教学设计的思路及方法。
关键词：概率论与数理统计；OBE理念；教学设计Abstract：The teaching of public basic course of science and engineering mathematics plays an important role in cultivating the mathematical thinking of engineering talents. Based on the concept of OBE, this paper puts forward several ideas and methods of teaching design for computer majors, taking the teaching of GeometryProbability Model in Probability Theory and Mathematical Statistics as an example.Keywords：probability theory and mathematical statistics; the concept of OBE; teaching design大学数学公共课的教学对本科人才数学思维的培养发挥着至关重要的作用。
《概率论与数理统计》是理工科数学类公共基础课程，不仅要求学生建立正确的随机观念、能够运用概率统计知识解决实际问题，同时还应该要求学生能够将概率统计知识与自身专业相结合。
因此，在教学过程中将知识点与学生所学专业关联起来，既能引起学生的兴趣和重视，又能发挥数学公共课对专业学习的助力作用。
贝努里概型
贝努里概型作者：许文琰来源：《科技资讯》 2015年第1期许文琰(苏州技师学院江苏苏州 215000)摘要:贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。
该文就贝努里概型及其应用展开了解。
关键词:贝努里概型贝努里试验中图分类号:O21 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2015)01(a)-0196-02贝努里家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样的显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家,其中有八位数学家,里面三位是杰出的,他们是雅可布、约翰、丹尼尔。
而贝努里概型就是雅可布.贝努里提出来的。
贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。
而且,揭示这种简单概型的规律,对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。
下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。
1 预备知识在许多概率问题中,试验中某事件是否发生受到的关注较多。
例如,在产品调查中注意的是抽到次品还是抽到正品;在掷硬币时注意的是出现正面还是反面等,在这类问题中试验产生的结果只有两个,即和。
像这样只有两个可能结果的试验成为贝努里试验,投币试验就是最简单的贝努里概型。
在相同的条件下,将同一个试验独立重复进行次,这种随机试验称为重贝努里试验。
现在我们来看看重贝努里试验的定义。
1.1 贝努里概型的定义关于重贝努里概型的定义,尽管在各种教材的叙述不尽相同,但都是指满足下列条件的一系列实验:(1)次试验时独立的,即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关;则称这种试验为重贝努里()试验,简称贝努里试验或贝努里概型。
浅谈在数学教学中如何培养学生的创造性思维
浅谈在数学教学中如何培养学生的创造性思维摘 要 本文结合教学从设疑、直观表象、广泛联想、适时点拨、引导探索等方面谈学生创造性思维的培养。
关键词 数学教学；创造性思维创造性思维是层次最高的思维品质。
在数学教学中，若能激发和引导学生在学习及解决问题的过程中，去主动地发现、探索自己或者他人所未发现、未解决的问题，创造新颖独到的解法，提出新见解等创造性思维活动，不仅对开发学生的智力、提高分析问题和解决问题的能力具有重要意义，而且能影响学生的一生。
现仅结合本人的教学实践，谈谈对学生创造性思维的培养的做法和体会。
1.精心设疑，激发学生的创造欲望教学中，精心设疑，把学生带入问题的情境中，使之形成认知冲突的悬念感，从而激发学生的学习兴趣和好奇心，点燃创造性思维的火花。
如讲复数概念时，首先提出两个问题：(1)方程12-=x 有解吗？(2)能否将10分成两个数，使其积为40？学生知道这两个问题在实数范围内均无解，那么老师为什么提出这两个问题呢？悬念由此而生，渴望问题得到解决的心理格外迫切。
这时紧扣学生心理，引入新课，使学生对复数产生浓厚的兴趣。
又如在等比数列的前n 项和教学引入时，用国王奖赏国际象棋的发明者的故事，提出怎样求236312222+++++ ？再比如，在用比较法证明不等式时，用糖水加糖变甜了这一事实抽象为数学问题，并给予证明。
即证明)0,0(>>>>++m a b ba mb m a 等等，通过设疑提升学生的创造欲望。
2.直观表象,培养学生的敏锐观察力教学中充分利用数学式子的结构美、对称美、几何图形的形象美等直观表象，把数学问题形象化，具体化，给人以美的享受，就能吸引学生观察的兴趣。
使之在观察中全面细致、由表及里，认清问题的实质，从中得到启发和领悟，揭发事物的规律。
例1.求数列1,1+2,1+2+3，…，1+2+3+…+n,…的前n 项和。
为了突出它的结构美，把它写成下面的三角式：1，1+2，1+2+3，… …1+2+3+…+n,大多数同学先求n a ，)(212n n a n +=，再运用公式2222(1)(21)123 (6)n n n n ++++++=，然后分组求和得解。
obe理念下的六步教学法研究与实践
obe理念下的六步教学法研究与实践在教育领域，教学方法一直是教育工作者们关注和探讨的重要议题。
随着教育理念的不断发展和变革，越来越多的教学方法被提出和应用。
OBE（Outcome-Based Education，基于结果的教育）是一种重要的教育理念，它将学生的学习结果作为评估和指导教学的核心，强调学生的学习成果和知识应用能力的培养。
在OBE理念下，教学方法也需要做出相应的调整和改进。
六步教学法是一种符合OBE理念的教学方法，它强调学生的参与和实践，帮助学生更好地掌握知识和技能。
本文将围绕六步教学法展开研究与实践，探讨其在OBE理念下的应用和效果。
一、OBE理念简介OBE（Outcome-Based Education）是20世纪80年代末由美国提出的一种新的教育理念。
它强调以学生的学习结果为中心，以学生达成的具体目标和能力为评价标准，以学生的学习过程和个体发展为关注焦点，旨在培养学生的综合素质和能力。
OBE理念改变了传统的以教师和教学内容为中心的教育模式，强调学生的学习动机和主体地位，注重学生的个性发展和自主学习能力的培养。
在OBE理念下，教育不再是简单的传授知识，而是注重提高学生的综合素质和实际能力，强调学生的终身学习和自我发展。
二、六步教学法概述1.六步教学法的概念和特点六步教学法是一种新型的教学方法，它强调通过六个步骤来引导学生进行学习，并将知识转化为能力。
这六个步骤分别是：明确目标、前置知识、讲解新知识、练习掌握、合成应用和评价反思。
在这个过程中，教师不再是简单地向学生讲授知识，而是扮演着引导者的角色，帮助学生主动参与学习、探究和应用知识。
六步教学法强调学生的参与和实践，注重培养学生的综合能力和创新精神，符合OBE理念的核心要求。
2.六步教学法的优势和意义六步教学法有着很明显的优势和意义。
首先，它能够激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
通过引导学生参与到知识的获取和实践中，六步教学法能够激发学生的学习主动性和创新意识，增加学生的学习投入感和学习自信心。
第一章5节 n重Bernoulli试验
§5 n重Bernoulli 试验
目录索引
• Bernoulli 试验 • n重Bernoulli 试验
1 返回主目录
伯努利
Jacob Bernoulli 1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
2
伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利家族祖孙三代出过十多位 数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学, 当读了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴 趣转向数学. 1694年,首次给出直角坐标和极坐 标下的曲率半径公式,同年关于双纽线 性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.
3
1695年提出著名的伯努利方程
dx / dy p( x) y q( x) y
n
此外对对数螺线深有研究, 发现 对数螺线经过各种变换后, 结果还是 对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余, 遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:
纵使变化,依然故我
4
1713年出版的巨著《推测术》,是 组合数学及概率史的一件大事.书中给 出的伯努利数、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.
在 n 次试验中，指定 k 次出现 A 成功 ，其余 n k 次出
k 现 A 失败 ，这种指定的方法共有 Cn 种．
14 返回主目录
现求概率 PBn，k ：
§5 n重Bernoulli试验
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知 样本点
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子” 6 返回主目录
§5 n重Bernoulli试验
专题五新课程改革二教学理论
专题五
新课程改革（二）——教学论
向蓓莉博士·成都 教育部小学校长培训中心 北京师范大学教育管理学
院 北京师范大学校长培训学院
新课程改革（二）——教学论
数学观摩课：《认识人民币》； 回溯“基础教育课程改革纲要”关于教学过
程的阐述 教学理论 结语：让课堂焕发出生命活力
数学观摩课：《认识人民币》 钟诚老师（深圳市翠竹小学）
学生需要对新旧知识间的复杂关系，如派生 关系、扩展关系、概括性关系，修饰或支持 性关系等作出精确判断和分析，需要调整新 旧知识间的分歧和矛盾，还要将新知识转变 成自己能够理解和记忆的形式，使之与自己 的词汇、经验背景和原有知识的组织特征保 持一致等等。
教师在讲授新知识时，需要严格遵循学生认 知发展的阶段性特点，照顾到学生认知活动 的个别差异，善于培养和启发学生寻求知识 的确切的内在含义和自我批判态度，并有目 的、有计划灵活运用各种教学技巧，确保学 生有意义地获取、保持和灵活运用知识解决 问题。这应当成为“教育学的一个中心任 务”。
发现学习的条件与训练-2
激发学生的内在动机。特别是胜任动机 （Competence Motivation）成为学习行为 的推动力。帮助儿童摆脱周围环境所给予奖 惩的直接控制，以发现作为奖赏而自主地进 行学习，逐步养成具有方向性、选择性和持 久性的学习行为习惯。
发现学习的条件与训练-3
注意新旧知识的相容性（Compatibility）， 要求教师教授新知识要通过对话、讨论、演 示和练习等多种渠道与学生本身具有的知识 取得联系，促使学生根据已有知识去发现新 知识，并将新知识纳入已有的知识结构，改 善自己的知识构成。
强化太少。 由于这些缺点，学校教学效率不高，学生学习质量下降，许
obe理念下的教学内容
obe理念下的教学内容“OBE理念下的教学内容”作为一名教师，在教学过程中，我们常常会遇到各种各样的挑战和问题。
如何让学生真正地掌握知识和技能？如何让他们在学习过程中保持积极的态度？如何让教学内容更加符合学生的需求和兴趣？在这些问题中，OBE（以学生为中心的教育）理念可以为我们提供一些有益的思路和方法。
本文将围绕着OBE理念下的教学内容展开讨论，旨在帮助教师更好地理解并应用这一理念。
一、OBE理念简介OBE（Outcome-Based Education）即以学生为中心的教育，是美国20世纪80年代提出的一种教育理念。
其核心思想是将学生的学习结果作为教学的中心，以学生的学习成果（Outcomes）为导向，通过设定明确的学习目标和标准，使学生能够在课程学习中真正掌握知识和技能，并能够将其应用于实际生活中。
OBE理念强调学生的学习成果和终身学习能力的培养，倡导教育要以学生为本，注重学生个体差异，关注学生的全面发展。
在OBE理念下，教学过程应当围绕学生的学习目标展开，注重学生的参与和反馈，以促进学生的主动学习和自主发展。
二、OBE理念下的教学内容特点在OBE理念下，教学内容应当具有以下几个特点：1. 明确的学习目标和标准。
教学内容应当围绕学生的学习目标展开，确立明确的学习标准和评估方式。
教师需要清晰地定义学生应该学会什么、具备什么样的能力和素养，以便更好地指导教学实践。
2. 突出实践性和应用性。
教学内容应当注重培养学生的实际操作能力和应用能力，使学生能够将所学知识和技能应用于实际生活和工作中。
教师应当设计丰富多样的教学活动，引导学生通过实践来深化理解和掌握知识。
3. 强调学生参与和反馈。
教学内容应当鼓励学生的积极参与和自主学习，倡导学生在学习过程中不断反思和调整。
教师应当给予学生及时的反馈和指导，帮助他们不断提升学习效果。
4. 注重学生个体差异和需求。
教学内容应当充分考虑学生的个体差异和学习需求，采用多样化的教学手段和方式，为学生提供个性化的学习支持。
函数的趣事
O
正如阿拉戈所指出的，欧拉的伟大和他作为一名教师以著作获得直接成功的一 个根源，在于他毫不妄自尊大。如果为了澄清较早、较重要的著作需要某些内 在价值较低的作品，欧拉也毫不犹豫地去写。他毫不顾虑降低自己的声望。 即使在富有创造性的工作中，欧拉也把发现与教育结合起来。他在1748年、 1755年和1768-1770年写的关于微积分的伟大论文 (Introductioinanalysininfinitorum,(无穷小分析引论)； Institutionescalculidifferentialis，(微积分概论)；Institutionescalculiintegralis,(积 分学概论))立即成了经典著作，并且在四分之三世纪的时间里哺育着要成为大数 学家的年轻人。而就在关于变分法的著作 【Methodusinveniendilineascurvasmaximiminimiveproprietategaudentes,(寻求具 有某种极大或极小性质的曲线的技巧),1744年】中，欧拉第一次显示出自己是个 第一流的数学家。 我们已提到过，欧拉在把力学分析化时，他向前跨进了 一大步。学习刚体动力学的每个学生都熟悉欧拉的转动分析，并引用他的这一 贡献(有一个细节除外)。分析力学是纯粹数学的一个分支，因而欧拉在这里不像 在别的某些接近实际的科目里那样有一飞上纯计算的广阔天空便离题万里的风 险。欧拉同时代人对他工作的最尖锐批评是针对他仅仅为了漂亮分析的需要， 而不控制进行计算的冲动。他有时可能缺乏对物理形态的足够理解，不管是什 么问题，都试图变成计算。不过，当问题值得他下苦功时，他还是足够实际的。 今天流体动力学中应用的流体运动基本方程就是欧拉建立的。 欧拉的分析 学有一个特殊内容应该顺便提一下，因为19世纪数学的主流之一在很大程度上 是由它引起的。这就是他发现，除非一个无穷级数收敛，否则使用起来就不可 靠。例如，由长除法，我们可以得到一个无限延续的级数： 在这里取 X=1/2， 则-2=2+22+23+24+..... 收敛性的研究会告诉我们如何避免这 样的荒谬结果。奇怪的是，虽然欧拉认识到了涉及无穷级数时小心从事的必要 性，但在他自己的许多著作中也并没能信守这一条。他对分析学的信念又是那 样坚定，以至他有时只好寻找荒唐的"解释"来使那些特有的谬误过关。
概率论PBL教学法的实践与思考
掌握相关学科知识 ， 并且要具 备提 出问题 、 析问题 、 分 解决 问题
＊ 复旦 大学数 学科学学院
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４３ ・ ８
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＭ ａｈ ｍ ａｉａ ｅ ｉｉｅ ｏ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｌ ｏ ｅ Ｍ ｄｃｎ
Ｖｏ． ４ １２
Ｎｏ ．４
２ １ ０１
从而赛过聪 明的诸 葛亮 （Ｏ ） ８ ％ 。上 述 计 算 过 程 稍 显 繁 琐 ， 是
数理 医药学杂志
文章 编号 ：０ ４４ ３ （ ０ １０ —４ ３０ １０ —３ ７ ２ １ ） ４０ ８ —２ 中图分类 号 ： ４ ０ Ｇ ２ 文献标识码 ： Ａ
２１ ０ １年第 ２ 卷 第 ４期 ４
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教学研究 ・
概 率论 Ｐ Ｌ教 学 法 的 实践 与 思 考 Ｂ
祝国强 杭国明
导下 ， 鼓励学生主 动参 与 ， 同思 考 。教 师的 角色是 导演 、 共 是 教练， 对学生进行引导和提示 ， 让学生 自己来思考 、 分析 问题 ， 在 问题讨论 完成之后 ， 师要进 行点评 ， 出问题 的关键 点 ， 教 指 选择方法 的思路 ， 要注 意的地 方及其 结果 所引 申 的含 义 等 需
口袋中有 ７个红球 ， 实际情 况也 是如此 。通 过对 此 问题 的分 析、 讨论 ， 就能对随机现象的规律性有一 个 比较切 实的感 性认
识 。学 生 也 感 到 随 机 现 象 确 实 有 规 律 可 循 ， 是 学 好 概 率 论 这
概率论是研究 随机现 象规律 性 的一 门科学 ， 是 医科 院 也 校 的一 门公共基 础课程 ， 课程有 助 于学生 了解 和掌握 生命 该
关键词 ： 概率论 ； Ｐ Ｌ教学法； 课堂教学 Ｂ
《关于贝尔夫音乐教育体系的八个论点》
《关于贝尔夫音乐教育体系的八个论点》（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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用数学归纳法证明
用数学归纳法证明数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。
但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所以你的证明方法是严格错误的!你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。
你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。
我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。
但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。
最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。
说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。