北京东直门中学数学旋转几何综合单元测试卷 (word版,含解析)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
北京东直门中学数学旋转几何综合单元测试卷 (word 版,含解
析)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC
上,AD AE =,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是_________,位置关系是_________;
(2)探究证明:把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,
CE ,判断PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若4=AD ,10AB =,请直接写出
PMN 面积的最大值.
【答案】(1)PM PN =,PM PN ⊥;(2)等腰直角三角形,见解析;(3)492
【解析】 【分析】
(1)由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半,又△ABC 为等腰直角三角形,AD=AE ,所以得PN=PM ,且互相垂直;
(2)由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌,再利用PM 与PN 皆为中位线,得到PM=PN ,再利用角度间关系推导出垂直即可;
(3)找到面积最大的位置作出图形,由(2)可知PM=PM ,且PM ⊥PN ,利用三角形面积公式求解即可. 【详解】
(1)PM PN =,PM PN ⊥;
已知点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点,根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
,1
2
PN BD =,//PM EC ,//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠,NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,AB AC =,AD AE = 可得BD EC =,90DCE ADC ∠+∠=︒
即得PM PN =,PM PN ⊥ 故答案为:PM PN =;PM PN ⊥. (2)等腰直角三角形,理由如下: 由旋转可得BAD CAE ∠=∠, 又AB AC =,AD AE = ∴BAD CAE ∆∆≌
∴BD CE =,ABD ACE ∠=∠, ∵点M ,P 分别为DE ,DC 的中点 ∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴1
2
PM CE =
,且//PM CE , 同理可证1
2
PN BD =
,且//PN BD ∴PM PN =,MPD ECD ∠=∠,PNC DBC ∠=∠, ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠,
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠,
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒,
即PMN ∆为等腰直角三角形.
(3)把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置,
此时1()72PN AD AB =
+=,1
()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长,由(2)可知PM PN =,PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为149
7722
⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识,解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.
2.已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2,5) (1)求出a 和b 之间的数量关系.
(2)已知抛物线的顶点为D 点,直线AD 与y 轴交于(0,-7) ①求出此时抛物线的解析式;
②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间,连接BD 绕点B 逆时针旋转90°,得到线段BC ,连接AB 、AC ,将AB 绕点B 顺时针旋转90°,得到线段BH .截取BC 的中点F 和DH 的中点G .当点D 、点H 、点C 三点共线时,分别求出点F 和点G 的坐标.
【答案】(1)a+2b=10;(2)①y= 2x 2+4x-11,②G 1(478,91-8
+),
F 1(,,
G 2,F 2,) 【解析】 【分析】
(1)把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系;
(2)①求出直线AD 的解析式,与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组,根据直线与抛物线有两个交点,结合韦达定理求出a ,b ,即可求出解析式;
②作AI ⊥y 轴于点I ,HJ ⊥y 轴于点J.设B (0,t ),根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标,应含t 式子表示直线AD 的解析式,根据D 、H 、C 三点共线,把点C 坐标代入求出
1t =,2t -4
=,分两类讨论,分别求出G 、F 坐标。
【详解】
解:(1)把A (2,5)代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10
∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10 (2)①设直线AD 的解析式为y=kx+c ∵直线AD 与y 轴交于(0,-7),A (2,5)
∴2k c 5{c -7+==解得k 6
{c -7
==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD :y=6x-7 得2
y ax +bx-3a-5{y 6x-7
== 消去y 得ax 2+(b-6)x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD 有两个交点 ∴由韦达定理可得:x A +x D =b-6-a =2a 2a +,x A x D =-3a 2
a
+ ∵A (2,5)∴x A =2即x D =
2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a