(完整版)高等数学上学期期末考试试卷及答案四份,推荐文档

C . ex 1
D . ln(1 x)sin x
2、 设 f (x)在x a 处可导, 则下列极限中等于 f '(a)的是( A ) 。
A． lim f (a) f (a h)
h0
h
C． lim f (a 2h) f (a)
h0
h
B． lim f (a h) f (a h)
h0
h
D． lim f (a 2h) f (a h)
仅有一根（ 5' ）
d
六、设 f (x)连续,
计算
dx
x
t
f
(
x
2
t
2
)
d
t
0
（ 5' ）
et，t 0
七、 设
f（t）
t2 1 t 6
，t
0
,
计算： F（x）
x
f (t) d t （ 5' ）
答案：
、、 填空题
1、（2，3）∪（3，+∞） 2、2 3、 lim(1 3 ) x
e3
x
x
4、2
B.
d
x a
f
(t
)
d
t
f (x)dx
D. f (t)dt f (t) C
5、反常积分 xex2 d x （ ） 0
A. 发散
B. 收敛于 1
三、算题（ 6'8 48' ） 1、求极限 lim tan x sin x
x0 sin3 x
C.
收敛于
1 2
D.
收敛于
1 2
ln(sin x)
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准
2004-2005 年度第一学期
科目: 高等数学 I 班级:
姓名:
学号:
成绩:
一、填空题（ 3 5 15 ）
1、 f x ln(x 2) 的定义域是_
x3
2、 lim(sin 2x x sin 1 ) 2
x0 x
x
3、 lim(1 3) x
e3
x
x
lim(1 3) x
2 cos xdx 4 2
0
2’ 1’
3’
8、解: 弧微分 d s 3 a sin 2t d t
2’
2
弧长 s
2
3 a sin 2t d t 6a
2 sin 2t d t 6a
02
0
4’
四、解: y' 3x 2 12, 令y' 0, 得驻点x1 2, x2 2 1’
y' ' 6x, 令y' ' 0, 得点x3 0
dx
dx
x
x
解: 令 u x, d x 2u d u , 则:
1’
解: 令 u x, d x 2u d u , 则:
1’
5、令 u x, d x 2u d u , e x dx
= 2ueudu 2ueu 2eu d u 2(u 1)eu c 2( x 1)e x c
e3
x
x
4、如果函数 f (x) a sin x 1 sin 3x ，在 x 处有极值，则 a 2
Hale Waihona Puke Baidu
3
3
5、
2
cos 3
x (sin x 1)dx
2
4 3
二、单项选择题（ 3 5 15 ）
1、当 x 0 时，下列变量中与 x2 等价的无穷小量是（ ）
A . 1 cos x
B . x x2
h0
3h
3、设在 a,b上函数 f (x) 满足条件 f x 0, f (x) 0 则曲线 y f x在该区间上（
） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的
C. 下降且凹的
4、设函数 f x具有连续的导数，则以下等式中错误的是（
D. 下降且凸的 ）
A.
d dx
b a
f
(
x)dx
f (x)
C. d f (x) d x f (x)dx
8、计算星型线 x a sin 3 t, y a cos3 t, 0 t 2 , a 0 的全长. 四、求函数求 y x3 12x 10 的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（ 7' ）
五、设 f (x)在[0，1]上连续，且0 f (x) ,
x
证明：方程 x f (t)dt 1 在[0,1]上有且 0
1’
(0) 1,
(1)
1
f (x)d x 0 ,
0
由连续函数的零点定理知,存在 ξ 在(0,1)内使 ( ) 0
2’
又因为'(x) 1 f (x) 0 所以函数在(0,1)的零点唯一.
2’
原命题得证.
六、解: 令: u x 2 t 2 , d u 2t d t
2’
d
dx
x
t
由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’
函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6)
1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0)
1’
拐点为:(0,10)
五、证:
x
构造函数 (x) x f (t) d t 1 , 0
函数在[0,1]上连续,在区间内可导
5、
2
cos 3
x (sin x 1)dx
2
4 3
二、
1、D 2、A 3、B 4、A 5、C
3、计算题
1、解：
lim
x0
tan x sin 3
sin x
x
=
lim
x0
1 cos x sin 2 x
=
1 2
2’
4’
1
2、解：
lim
x
ln(sin x) ( 2x)2
=
lim
x
cos x sin x 4( 2x)
cos x
=
lim
x
4(
2x)
1 =
8
2
2
2
3、解:
当t
4
曲线过点 (
2 ,0) , 2
由于 d y dx
2
4
2,
所以,
当t
4
处的切线方程和法线方程分别为:
y
2
2(x
2) 2
4’ 1’
y 2 (x 2)
1’
4
2
4、解: d y d(esin x ln x ) esin x ln x (cos x ln x sin x ) xsin x (cos x ln x sin x )
f
(x2
t
2
)dt
=
d
[ 1
0
dx 2
0 f (u) d u] x f (x2 )
6、解:
e
1 ln x dx =
e
1
1 ln x d x
e
e
ln
1
xd
x
[x ln
x]11
e
1
1d
x
[x ln
x]1e
e
edx 2 2
1
e
7、解:面积 s 0 sin x d x 2
体积微分元 dV 2x sin xdx
所求体积V
0
2x sin xdx
[2x cos x]0
2、求
lim
x
(
2x)2
2
3、求曲线
x
y
sin t cos 2t
在当
t
4
处的切线方程和法线方程
4、已知函数 y xsin x , x 0 ，计算 dy
dx
5、求积分 e x dx
e
6、求积分 1 ln x dx e
7、计算曲线 y sin x,0 x 与 x 轴围成的图形面积，并求该图形绕 y 轴所产生的 旋转体体积。