平均变化率瞬时变化率

1.1.1平均变化率

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义

三、教学过程

一、问题情境

观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）

问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、建构数学

1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率

2121

()()

f x f x x x --。

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。 三、数学运用

例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，

乙两人的经营成果？

小结：仅考虑一个变量的变化是不行的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器

(d)

20

甲中水的体积0.1()52

t

V t -=⨯ （单位：3

cm ），

计算第一个10s 内V 的平均变化率。

例3、已知函数2

()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。

五、练习

1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

2、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率。

（发现：y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？）

瞬时变化率与导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40

5.0)

0()5.0(s m h h v =--=

；

T(月)

6

3

9

12

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)

1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以)/(0049

65)0()4965

(

m s h h v =--=

， 虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动

员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反

映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：

思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？

从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于此时的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)

lim

13.1t h t h t

∆→+∆-=-∆

表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 2 导数的概念

（一）则函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

h

t

o

000

0()()lim

lim

x x f x x f x f

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作'

0()f x 或0'|x x y =，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率

（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000

()()

()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-

（二）导函数：

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，

即: 0

()()

()lim

x f x x f x f x y x

∆→+∆-''==∆

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数()f x 在点0x 处的导数'

0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处

的导数的方法之一。 三．典例分析

例1．（1）求函数y =3x 2

在x =1处的导数.

（2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2

()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

注：一般地，'

0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3导函数．