辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(理)试卷及答案
2015-2016年辽宁省葫芦岛一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
）
+ωx） （x∈R，ω＞0）满足 f
（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值为 （ ） ，2kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z） B．[2kπ﹣
，则函数 f（x）的单调增区间为
A．[2kπ﹣ C．[kπ﹣
，2kπ+
]（k∈Z）
]（k∈Z） D．[kπ﹣ =2
，kπ+
]（k∈Z）
9． （5 分） 设 M 是△ABC 内一点， 且
则 与 的夹角为（
A．30° B．60° C．120°D．150°
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7． （5 分）对于直线 m，n 和平面 α，β，能得出 α⊥β 的一个条件是（ A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n⊂ α C．m∥n，n⊥β，m⊂ α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 8． （5 分）若函数 f（x）=sin（π﹣ωx）+ sin（
A．16π B．20π C．24π D．36π
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12． （5 分）已知函数 y=f（x）的定义域为 R，当 x＜0 时，f（x）＞1，且对任意 的实数 x， y∈R， 等式 （ f x） •f （y） =f （x+y） 成立， 若数列{an}满足 （ f an+1） = （n∈N+）且 a1=f（0） ，则下列结论成立的是（ A．f（a2013）＞f（a2016） C．f（a2016）＜f（a2015） ，
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cosx，﹣ ） ，函数 f（x）=（
）
，
18． （12 分）已知如图几何体，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直， AF=2AB=2AD，M 为 AF 的中点，BN⊥CE． （Ⅰ）求证：CF∥平面 BDM； （Ⅱ）求二面角 M﹣BD﹣N 的大小．
辽宁省葫芦岛市高三上学期(理科)数学期末模拟试卷
辽宁省葫芦岛市高三上学期（理科）数学期末模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分）(2018·衡阳模拟) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （5分）(2018·银川模拟) 已知为虚数单位，则复数等于（）A .B .C .D .3. （5分）直线2x-y+c=0按向量平移后与圆相切，则c的值等于（）A . 8或-2B . 6或-4C . 4或-6D . 2或-84. （5分）命题ｐ：在中，是sinC>sinB的充分不必要条件；命题ｑ：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则（）A . ｐ假q真B . ｐ真ｑ假C . 为假D . 为真5. （5分）如图，四面体P-ABC的六条边均相等，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则下列四个结论中不成立的是（）A . 平面平面ABCB . 平面PAEC . BC//平面PDFD . 平面平面ABC6. （5分） (2019高一上·金华月考) 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （5分）已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是（）A . 2B . 5C . 25D . 268. （5分） (2017高二下·新疆开学考) 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比 =（）A .B .C .D .9. （5分）已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn ，若S5=25，只有S9是Sn的最大值，则（）A . ﹣＜d＜﹣B . ﹣≤d≤﹣C . ﹣＜d＜﹣1D . ﹣≤d≤﹣110. （5分）设函数与的图象的交点为，则所在的区间为（）A .B .C .D .11. （5分） (2017高一下·鹤岗期末) 某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值（）A . 2B . 3C .D .12. （5分）(2017·茂名模拟) 已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分）(2017·山东) 已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．14. （5分）(2019·黄冈模拟) 关于的实系数方程的一个根在内，另一个根在内，则的值域为________．15. （5分）过点（5，2），且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程是________．16. （5分）(2017·大连模拟) （x﹣）4的展开式中的常数项为________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．18. （12分）(2020·陕西模拟) 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角，平面，，且 .（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.19. （12分）(2020·银川模拟) 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在之间的频率；（Ⅱ）现从分数在之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在的份数为，求的分布列和数学望期．20. （12分） (2019高三上·日喀则月考) 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．21. （12分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数（a≠0）．（1）已知函数f（x）在点（0，1）处的斜率为1，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若a＞0，g（x）=x2emx，且对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．四、选做题。
辽宁省葫芦岛市高三数学二模试卷理(含解析)
辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=ln（x﹣2x2）的定义域为( )A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B． C．（0，）D．（﹣∞，0]∪A．0 B．1 C．2 D．34．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )A．B．1 C．D．25．已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则{a n}的前9项和等于( )A．﹣（1﹣2﹣9）B．（1﹣2﹣9）C．﹣（1+2﹣9）D．（1﹣2﹣9）6．运行如下程序框图，如果输入的x∈（﹣∞，1]，则输出的y属于( )A． B．，求△POQ的面积S的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．（3）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），若x1，x2（x1＜x2）是H（x）的两个极值点，证明：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=ln（x﹣2x2）的定义域为( )A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B． C．（0，）D．（﹣∞，0]∪③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；⑤已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤5）=0.79，则P（ξ≤﹣1）=0.21；其中错误的个数是( )本题可参考独立性检验临界值表：P（K2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．0 B．1 C．2 D．3考点：线性回归方程；命题的否定；独立性检验的应用；相关系数．专题：综合题；概率与统计．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”，正确；③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079＞10.828，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系，故不正确；⑤已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤5）=0.79，则P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞5）=0.21，正确；故选：C点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、正态分布、回归直线方程等知识点，属于中档题．4．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )A．B．1 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=1，a2+b2=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的右焦点为（1，0），即c=1，a2+b2=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则a+b=cosα+sinα=sin（α+）当α+=时，sin（α+）取得最大值1，即有a+b取得最大值．故选：A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，同时考查三角换元和正弦函数的图象和性质，运用两角和的正弦公式是解题的关键．5．已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则{a n}的前9项和等于( )A．﹣（1﹣2﹣9） B．（1﹣2﹣9）C．﹣（1+2﹣9）D．（1﹣2﹣9）考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过2a n+1+a n=0、a2=1可得数列{a n}是以﹣2为首项、﹣为公比的等比数列，计算即得结论．解答：解：∵2a n+1+a n=0，a2=1，∴a1=﹣2a2=﹣2，又∵=﹣，∴数列{a n}是以﹣2为首项、﹣为公比的等比数列，∴S n==，∴S9=（﹣2﹣9﹣1）=﹣（1+2﹣9），故选：C．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．6．运行如下程序框图，如果输入的x∈（﹣∞，1]，则输出的y属于( )A． B．时，y=xe x∈；当x∈（0，1]时，y=xlnx∈；∴输出的y∈．故选：A．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，属于基本知识的考查．7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是( )A．B．C．5 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．解答：解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=．故选D．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断出侧棱的最长棱是解题的关键，考查计算能力．8．如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界C1（虚线L上方部分）与下边界C2（虚线L下方部分）围成，曲线C1是函数y=+x的图象，曲线C2是函数y=﹣+x的图象，圆的方程为x2+y2=8，某人向靶子射出一箭（假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的），则此箭恰好命中“心形”图案的概率为( )A．﹣B．﹣C．+D．+考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：根据图象的对称性求出当x＞0时的面积，利用积分的意义，求出对应区域的面积进行求解即可．解答：解：由y=+x=﹣+x得x=1，当x＞0时，y轴由此的面积S=dx=（2+x﹣x）dx=2dx+（x﹣x）dx，dx的几何意义为单位圆的面积，为，（x﹣x）dx=（x﹣x）|=﹣=﹣，则S=﹣，故阴影部分的面积为2S=2（﹣）=，大圆的面积S=π×8=8π，故此箭恰好命中“心形”图案的概率P==﹣，故选：B点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件结合积分的几何意义求出对应区域的面积是解决本题的关键．综合性较强．9．已知f（x）=sin+sin的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得 A|x1﹣x2|的最小值．解答：解：f（x）=sin+sin=sin2015xcos+cos2015xsin+sin2015xcos﹣cos2015xsin=sin2015xsin+cos2015xcos+sin2015xcos﹣cos2015xsin=sin2015x（sin+cos）+cos2015x（cos﹣sin）=sin2015x•（+）+cos2015x•（﹣）=sin，cosα=，sinα=．故f（x）的最大值为A=．由题意可得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：A．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于中档题．10．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=2，则此四棱锥的外接球的表面积为( )A．12πB．24πC．144πD．48π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径．解答：解：如图所示连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．则OO1∥SA．∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心．因此SC是外接球的直径．∵SC2=SA2+AC2=48．∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为48π．故选：D点评：本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象有两个交点A（x1，y1），B （x2，y2），则( )A．＜x1x2＜B．＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象，由图象可知，x1在﹣0，5附近，﹣1.5＜x2＜﹣1，由于本题是选择题，故估计范围即可．解答：解：分别画出函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象，如图所示，由图象可知，x1在﹣0，5附近，﹣1.5＜x2＜﹣1，∴＜x1x2＜1，故只有B符合，故选：B点评：本题考查了函数的图象的画法和识别，属于中档题．12．已知函数f（x）=e x+x2（x＜0），g（x）=x2﹣4x++ln（x+t﹣2），若f（x）的图象上存在一点P，它关于直线x=1的对称点P′落在y=g（x）的图象上，则t的取值范围是( ) A．（﹣∞，）B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣∞，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣8x0﹣ln（t﹣x0）=0有负根，函数函数h（x）=e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）为增函数，由此能求出t的取值范围．解答：解：f（x）的图象上存在一点P（x，y），关于直线x=1的对称点P′（2﹣x，y），∴e x+x2=（x﹣2）2﹣4（2﹣x）++ln（2﹣x+t﹣2）=（x﹣2）2﹣4（2﹣x）++ln（t﹣x），即e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）=0，存在x0∈（﹣∞，0），即e x0﹣﹣8x0﹣ln（t﹣x0）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣8x0﹣ln（t﹣x0）也趋近于负无穷大，∴函数h（x）=e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）为增函数，∴h（0）=﹣lnt＞0，∴lnt＜ln，∴t＜故选：D．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知中||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，可求出cosθ=，进而根据向量夹角的范围为0≤θ≤π，得到答案．解答：解：∵||=||=2，∴||2=||2=4∵（+2）•（﹣）=﹣2展开得：||2+•﹣2||2=4cosθ﹣4=﹣2，即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cosθ=，是解答的关键．14．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是﹣20．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数．解答：解：（x﹣2y）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r••x5﹣r•y r，令r=3，可得x2y3系数是﹣20，故答案为：﹣20．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题16．在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求sin（A﹣C）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据余弦定理建立方程关系即可求a、b的值；（Ⅱ）利用两角和差的正弦公式即可求sin（A﹣C）的值．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得c2=（a+b）2﹣2ab（1+cosC），又a+b=6，c=2，cosC=，所以ab=9，解得a=3，b=3．…（Ⅱ）在△ABC中，sinC==，由正弦定理得sinA==，因为a=c，所以A为锐角，所以cosA==，因此 sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=．…点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．如图，在多面体ABCDEF中，BA⊥BE，BA⊥BC，BE⊥BC，AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1，G在线段AB上，且BG=3GA．（1）求证：CG∥平面ADF；（2）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；（3）求锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，证明：四边形CDHG是平行四边形，可得CG∥DH，利用线面平行的判定定理证明CG∥平面ADF；（2）建立空间直角坐标系，求出、平面ADF的一个法向量，利用向量的夹角公式求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；（3）求出平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式求锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值．解答：（1）证明：分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，则有AG=GM，MF∥BE，∵AH=HF，∴GH∥MF，又∵CD∥BE，BE∥MF，∴CD∥GH，∴四边形CDHG是平行四边形，∴CG∥DH，又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF，∴CG∥平面ADF；…（2）解：如图，以B为原点，分别以BC、BE、BA所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），F（0，2，1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，2），=（0，﹣2，1）；设平面ADF的一个法向量为=（x，y，z），则有•=﹣x﹣y+2z=0且•=（=﹣2y+z=0，解得：x=3y，z=2y，令y=1得：=（3，1，2），设直线DE与平面ADF所成的角为θ，则有sinθ=||=．所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为…（3）解：由已知平面ADF的法向量=（3，1，2），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），由•=2y+z=0且•=x+y=0 解得：z=﹣2y，x=﹣y；令y=﹣1得：=（1，﹣1，2），设锐二面角B﹣DF﹣A的平面角为α，则cosα=|cos＜，＞|==，所以锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值为．…点评：本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的角，锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i（i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A．利用独立重复试验求得概率．（2）写出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．解答：解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件A i，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则，，…（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：A=A1CA2C ×∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；…（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；P（X=3000）=P（A1）=；P（X=6000）=P（A1 CA2）=；P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）=；P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）=；P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）=；P（X=0）=P（）+P（A 1C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4C ）=；（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）=1﹣）．∴X的分布列为：X 0 3000 6000 8000 12000 24000P∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=1250+1000+500+250+250=3250（元）∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250（元）…点评：本题主要考查了独立重复试验和随机变量的期望，属中档题型，2015届高考常考题型20．已知F1、F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1、A2分别为其左、右顶点，过F2且与x轴垂直的直线l与椭圆相交于M、N两点．若四边形A1MA2N的面积等于2，且满足||=||+||．（1）求此椭圆的方程；（2）设⊙O的直径为F1F2，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点P、Q，若•=λ，且λ∈，求△POQ的面积S的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过l与x轴垂直，可得l的方程，利用四边形A1MA2N面积为2可知b2=1，利用||=||+||，计算可得结论；（2）通过直线l与⊙O相切，可得点O到PQ的距离d=1，通过联立直线l与椭圆方程，利用•=λ及λ∈，可得|PQ|可用k来表示，利用S△POQ=•|PQ|•d计算即得结论．解答：解：（1）∵l与x轴垂直，∴l的方程为：x=c，代入椭圆方程得：y=±，∴四边形A1MA2N面积：2××2a×=2b2=2，即b2=1 ①易知：||=a+c，||=，||=a﹣c，∵||=||+||，∴a+c=•+a﹣c，即ac=②联立①②解得：a=，b=1，∴椭圆的方程为：；（2）由（1）可知⊙O的方程为：x2+y2=1，∵直线l：y=kx+m与⊙O相切，∴=1，即m2=k2+1，联立方程组：，消元整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，③设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1，x2是方程③的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx1+m）=，∴•=x1x2+y1y2=+==λ，将m2=k2+1代入得：=λ，∵λ∈，∴≤≤，解得≤k2≤1，∵|PQ|=•=•，d=1，∴S△POQ=•|PQ|•d=•=④令t=2k2+1，则k2=，代入④得：S△POQ===，∵≤k2≤1，∴2≤t≤3，∴≤≤，∴≤≤，∴≤S△POQ≤，即△POQ的面积S的取值范围是：．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及韦达定理、点到直线的距离、两点间距离、换元法、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．21．已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．（3）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），若x1，x2（x1＜x2）是H（x）的两个极值点，证明：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，由切线方程可得f′（1）=﹣1，可得a=﹣1，求得切点，代入切线方程，可得b；（2）假设存在符合条件的a值，运用参数分离和基本不等式可得a的范围，结合单调性和导数的关系，可得a的值；（3）化简H（x）的解析式，求出导数，结合二次方程的韦达定理，可得H（x2）＜0成立；再由分析法，结合函数的单调性，证明（﹣+ln2）x1＜H（x2）．解答：解：（1）f′（x）=+ax+1，由题意：f′（1）=﹣1即2a+1=﹣1，∴a=﹣1，即f（x）=﹣lnx﹣x2+x，由f（1）=，切点（1，）在切线上∴b=﹣；（2）∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=+ax+1≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即a≤﹣在x∈（0，+∞）时恒成立，∵x+≥2∴0＜≤∴﹣∈（3）证明：H（x）=f（x+1）﹣g（x）=aln（x+1）+（x+1）2+（x+1）﹣ x2﹣（a+1）x﹣=aln（x+1）+x2H′（x）=+2x=，由题意：2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）内有两个不等实根x1，x2记G（x）=2x2+2x+a 则应有：△＞0，G（﹣1）＞0，解得：0＜a＜；由韦达定理得：x1+x2=﹣1，x1•x2=∴x1=﹣x2﹣1，a=2x1•x2=﹣2（x2+1）x2x1∈（﹣1，﹣），x2∈（﹣，0），H（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∵x2＜0，∴H（x2）＜H（0）=0即H（x2）＜0成立；下面证明：H（x2）＞（﹣+ln2）x1∵H（x2）=aln（x2+1）+x22=﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22（﹣+ln2）x1=（﹣+ln2）（﹣1﹣x2），∴只需证明：﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22＞（﹣+ln2）（﹣1﹣x2）即：x22﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+（ln2﹣）x2＞﹣ln2…①令ϕ（x）=x2﹣2（x+1）xln（x+1）+（ln2﹣）x，x∈（﹣，0），ϕ′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（x+1）﹣2x+ln2﹣=﹣2（2x+1）ln（x+1）+ln2﹣，∵﹣＜x＜0∴x+1＜1，ln（x+1）＜0，2x+1＞0∴﹣2（2x+1）ln（x+1）＞0，又∵ln2﹣=ln2﹣ln=ln＞0，∴ϕ′（x）＞0，∴ϕ（x）在（﹣，0）上单调递增∴ϕ（x）＞ϕ（﹣）=﹣ln2﹣ln2+=﹣ln2，即ϕ（x）＞﹣ln2 即①式成立∴H（x2）＞（﹣+ln2）x1综上：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值，以及函数单调性的运用和二次方程韦达定理，考查运算求解能力，属于难题．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．解答：（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．解答：解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．点评：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系的判断，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
葫芦岛市2015届高三第二次调研考试数学试卷(理)含答案
…………………装…………订…………线………………………………………………葫芦岛市普通高中2014~2015学年第二学期第二次调研考试高三数学（供理科考生使用）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f (x )＝ln(x －2x 2)的定义域为( C )A ．(－∞，0)∪(12,＋∞)B ．[0，12]C ．(0，12)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)2.若复数z 满足（1-2i)z=2+i,则z 的共轭复数是DA. -35iB. 35i C. i D. -i3.下列说法：①设某大学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的线性回归方程为y^=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②命题“∀x ≥1,x 2+3≥4”的否定是“∃x<1,x 2+3<4” ③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=13.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系；⑤已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤5）=0.79，则P （ξ≤﹣1）=0.21； 其中错误．．的个数是（ ）C A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 本题可参考独立性检验临界值表：a+b 的最大值为A A ． 2 B ．1 C ．22D ．2 2 5. 已知数列{a n }满足2a n +1+a n =0, a 2=1, 则{a n }的前9项和等于CA. －23(1－2-9)B. 13(1－2-9)C.-43(1+2-9)D. 43(1－2-9)6.运行如下程序框图,如果输入的x ∈(-∞,1],则输出的y 属于 （ A ）7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度正（主）视图侧（左）视图是是DA.5B. 13C. 34D. 298.如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界C 1（虚线L 上方部分）与下边界C 2（虚线L 下方部分）围成，曲线C 1是函数5421x x y +-= 的图象，曲线C 2是函数7221x x y +--=为x 2+y 2=8,某人向靶子射出一箭(假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的）形”图案的概率为BA. 14-118πB.18-118πC. 18+118πD. 18+9.已知f(x)=sin(2015x+3π8)+sin(2015x-π8)的最大值为A ，若存在实数x 1,x 2x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1-x 2|的最小值为A A ．2π2015 B ．22π2015 C ．2π2015 D ．4π201510.四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 3 的正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA=26,则此四棱锥的外接球的表面积为CA ．12πB ．24πC ．144πD ．48π11.已知函数f(x)=e x的图象与函数g(x)=|ln(-x)|的图象有两个交点A （x 1，y 1)，B(x 2,y 2)，则B A ．110＜x 1x 2＜1e B ．1e＜x 1x 2＜1 C ．1＜x 1x 2＜e D ． x 1x 2>e12．已知函数f(x)=e x +x 2(x<0),g(x)=x 2-4x+92+ln(x+t-2),若f(x)的图象上存在一点P ，它关于直线x=1的对称点P ′落在y=g(x)的图象上，则t 的取值范围是DA ．(-∞,1e ) B.(-e,1e ) C ．(-1e,e) D ．(-∞,e)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
辽宁省葫芦岛市高三上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省葫芦岛市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 已知全集U=R，集合A={x|x2+x＞0}，集合B= ，则（∁UA）∪B=（）A . [0，2）B . [﹣1，0]C . [﹣1，2）D . （﹣∞，2）2. （2分）(2017·六安模拟) 若复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，则z1•z2=（）A . ﹣5B . 5C . ﹣4+iD . ﹣4﹣i3. （2分）(2017·泉州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（）B . 3πC . 8πD . 12π4. （2分）“”是“函数在区间上为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图. 程序输出的结果s=132 ,则判断框中应填（）A . i≥10?B . i≥11?C . i≤11?D . i≥12?6. （2分）已知cot（α+ ）=﹣3，则tan（2α﹣）=（）A .C .D .7. （2分）(2017·厦门模拟) 设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点处取得最大值，则a的值可以为（）A . ﹣8B . ﹣4C . 4D . 88. （2分） (2016高一下·衡水期末) 定义2×2矩阵 =a1a4﹣a2a3 ，若f（x）= ，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）A . g（x）=﹣2cos2xB . g（x）=﹣2sin2xC .D .9. （2分）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有（）A . 18种B . 12种C . 432种D . 288种11. （2分）已知△ABC中，，，则 =（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·寿光月考) 曲线在横坐标为-1的点处的切线为，则点到的距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·天水模拟) 抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域为M，向M内随机投掷一点P（x，y），则P（y＞x）=________．14. （1分） (2018高一下·伊通期末) 在四边形中，，且，则四边形是________．15. （1分） (2019高一上·宁波期中) 定义函数，则的最大值是________．16. （1分）(2017·兰州模拟) 已知数列{an}、{bn}满足，其中{bn}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=________．三、解答题 (共8题；共60分)17. （5分）求证：=18. （10分） (2016高二下·高密期末) 某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为，，，他们的竞赛成绩相互独立．（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19. （15分） (2016高二下·韶关期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：C1D∥平面AB1E；（2）求证：BC1⊥B1E；（3）若AB= ，求二面角E﹣AB1﹣B的正切值．20. （5分） (2016高二上·绥化期中) 设椭圆M： =1（a＞b＞0）的离心率为，点A（a，0），B（0，﹣b），原点O到直线AB的距离为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有 =0，| |=| |，试求△PCD面积S的最大值．21. （5分） (2017高二下·淄川期末) 设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．22. （5分）(2018·南京模拟) （选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙ 的直径，直线与⊙ 相切于点，垂直于点 . 若，求切点到直径的距离．23. （5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．24. （10分） (2017高三上·綦江期末) 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：| a+ b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、。
2015年辽宁省葫芦岛市高三理科二模数学试卷
2015年辽宁省葫芦岛市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 函数的定义域为A. B.C. D.2. 若复数满足，则的共轭复数是A. B. C. D.3. 下列说法：设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生的身高增加，则其体重约增加；命题“”的否定是“”；相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；已知随机变量服从正态分布，，则；其中错误的个数是本题可参考独立性检验临界值表：A. B. C. D.4. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的最大值为A. B. C. D.5. 已知数列满足，，则的前项和等于A. B.C. D.6. 运行如下程序框图，如果输入的，则输出的属于A. B. C. D.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是A. B. C. D.8. 如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界（虚线上方部分）与下边界（虚线下方部分）围成，曲线是函数的图象，曲线是函数的图象，圆的方程为，某人向靶子射出一箭（假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的），则此箭恰好命中“心形”图案的概率为A. B. C. D.9. 已知的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.10. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，则此四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.11. 下列函数求导运算正确的个数是①；②；③；④；⑤．A. B. C. D.12. 已知函数，，若的图象上存在一点，它关于直线的对称点落在的图象上，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 对任意的向量，和实数，如果满足，都有成立，那么实数的最小值为．14. 若变量，满足约束条件且的最小值为，则．15. 的展开式中的系数是．16. 数列中，，，为的前项和，记，则数列的最大项为第项．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设的内角，，所对的边分别为，，，且，，．（1）求，的值；（2）求的值．18. 如图，在多面体中，，，，，，，，在线段上，且．（1）求证： 平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求锐二面角的余弦值．19. 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．号门对应的家庭梦想基金依次为元、元、元、元、元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为，且，亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为（元），求的分布列和数学期望．20. 已知，分别为椭圆的左右焦点，，分别为其左、右顶点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点．若四边形的面积等于，且满足．（1）求此椭圆的方程；（2）设的直径为，直线与相切，并与椭圆交于不同的两点，，若，且，求的面积的取值范围．21. 已知函数，．（1）若在处的切线方程为，求，的值；（2）是否存在实数使得在上单调递减，在上单调递增，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．（3）令，若，是的两个极值点，证明：．22. 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于．（1）证明：；（2）设圆的半径为，，延长交于点，求外接圆的半径．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为为参数，试判断直线与圆的位置关系．24. 已知（是常数，）.（1）当时，求不等式的解集；（2）如果函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】要使原式有意义，则，即，解得，所以函数的定义域是．2. D 【解析】因为，所以，所以的共轭复数为：．3. C 【解析】设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加，正确；命题“”的否定是“”，不正确；相关系数绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，故不正确；已知随机变量服从正态分布，，则，正确．4. A 【解析】抛物线的焦点为，即双曲线的右焦点为，即，，令，，则．当时，取得最大值，即有取得最大值．5. C【解析】因为，，所以，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．6. A 【解析】模拟程序框图的运行过程，知该程序运行的结果是输出函数．当时，；当时，．所以输出的．7. D 【解析】由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为： ， ，高为 的梯形，棱锥的高为 ，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线， 所以长度为： ． 8. B【解析】由得 ，当 时， 轴右侧的面积的几何意义为单位圆的面积，为，， 则，故阴影部分的面积为， 大圆的面积 ， 故此箭恰好命中“心形”图案的概率．9. A【解析】其中，，，故 的最大值为 ．由题意可得，的最小值为， 所以 的最小值为．10. D【解析】如图所示，连接，相交于点．取的中点，连接．则．因为底面，所以底面．可得点是四棱锥外接球的球心．因此是外接球的直径．因为．所以四棱锥外接球的表面积为．11. B 【解析】①；②；③；④；⑤．12. D 【解析】的图象上存在一点，关于直线的对称点，所以，即，存在，即有负根，因为当趋近于负无穷大时，也趋近于负无穷大，所以函数为增函数，所以，所以，所以．第二部分13.【解析】当向量时，可得向量，均为零向量，不等式成立，因为，所以，所以，则有，即那么实数的最小值为．14.【解析】作出不等式组对应的平面区域，（阴影部分）由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的纵截距最小，此时最小．目标函数为，由解得即，因为点也在直线上，所以．15.【解析】的展开式的通项公式为，令，可得系数是．16.【解析】因为，，所以，．，．所以，比较，，可得当时，取得最大值．第三部分17. （1）由余弦定理，得，又，，，所以，解得，．（2）在中，，由正弦定理得，因为，所以为锐角．所以．因此．18. （1）分别取，中点，，连接，，，则有，，因为，所以且，又因为且，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以 平面．（2）如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，；设平面的一个法向量为，则有且，解得：，，令得：，设直线与平面所成的角为，则有．所以直线与平面所成的角的正弦值为．（3）由已知平面的法向量，，设平面的一个法向量为，，由且，解得：，；令得：，设锐二面角的平面角为，则，所以锐二面角的余弦值为．19. （1）设事件“该选手正确回答第扇门的歌曲名称”为事件，“使用求助正确回答歌曲名称”为事件，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件；则，，，，，，．设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得元家庭梦想基金”为事件，则：．所以选手在第三扇门使用求助且最终获得元家庭梦想基金的概率为．（2）的所有可能取值为：，，，，，；；；（或）所以的分布列为：所以元所以选手获得的家庭梦想基金数额为的数学期望为（元）．20. （1）因为与轴垂直，所以的方程为：，代入椭圆方程得：，所以四边形面积：，即易知：，，，因为，所以，即联立解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）由（）可知的方程为：，因为直线与相切，，即，联立方程组：消元整理得：设，，则，是方程的两个解，由韦达定理得：，，所以，所以将代入得：，因为，所以，解得，因为，，所以令，则，代入得：因为，所以，所以，所以，所以，即的面积的取值范围是：．21. （1），由题意：即，所以，即，由，切点在切线上，所以．（2）因为在上单调递减，所以在时恒成立，即在时恒成立，因为，所以，所以，所以．因为假设存在符合条件的值，则应有：，所以，此时的对称轴为：，若使在上单调递增，应有：．解得：，综上，存在实数使得在上单调递减，在上单调递增．（3），由题意：在区间内有两个不等实根，．记，则应有：，，解得：．由韦达定理得：，，所以，，，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以．即成立．下面证明：因为所以只需证明：．即：令，，，因为，所以，，，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，即即式成立，所以，综上：成立．22. （1）如图，连接，交于点．由弦切角定理，得，而，故，所以．又因为，所以为圆的直径，．由勾股定理可得．（2）由（1）知，，，故是边的中垂线，所以．设的中点为，连接，则，从而，所以，故外接圆的半径等于．23. （1）由点在直线上，可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为．（2）由已知得圆的直角坐标方程为，所以圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．24. （1）所以的解集为或 .（2）由得，，令，，作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点．。
辽宁省葫芦岛市高三数学二模试卷 理(含解析)
辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=ln（x﹣2x2）的定义域为( )A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B． C．（0，）D．（﹣∞，0]∪A．0 B．1 C．2 D．34．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )A．B．1 C．D．25．已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则{a n}的前9项和等于( )A．﹣（1﹣2﹣9）B．（1﹣2﹣9）C．﹣（1+2﹣9）D．（1﹣2﹣9）6．运行如下程序框图，如果输入的x∈（﹣∞，1]，则输出的y属于( )A． B．，求△POQ的面积S的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．（3）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），若x1，x2（x1＜x2）是H（x）的两个极值点，证明：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=ln（x﹣2x2）的定义域为( )A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B． C．（0，）D．（﹣∞，0]∪③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；⑤已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤5）=0.79，则P（ξ≤﹣1）=0.21；其中错误的个数是( )本题可参考独立性检验临界值表：P（K2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．0 B．1 C．2 D．3考点：线性回归方程；命题的否定；独立性检验的应用；相关系数．专题：综合题；概率与统计．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”，正确；③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079＞10.828，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系，故不正确；⑤已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤5）=0.79，则P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞5）=0.21，正确；故选：C点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、正态分布、回归直线方程等知识点，属于中档题．4．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )A．B．1 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=1，a2+b2=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的右焦点为（1，0），即c=1，a2+b2=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则a+b=cosα+sinα=sin（α+）当α+=时，sin（α+）取得最大值1，即有a+b取得最大值．故选：A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，同时考查三角换元和正弦函数的图象和性质，运用两角和的正弦公式是解题的关键．5．已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则{a n}的前9项和等于( )A．﹣（1﹣2﹣9） B．（1﹣2﹣9）C．﹣（1+2﹣9）D．（1﹣2﹣9）考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过2a n+1+a n=0、a2=1可得数列{a n}是以﹣2为首项、﹣为公比的等比数列，计算即得结论．解答：解：∵2a n+1+a n=0，a2=1，∴a1=﹣2a2=﹣2，又∵=﹣，∴数列{a n}是以﹣2为首项、﹣为公比的等比数列，∴S n==，∴S9=（﹣2﹣9﹣1）=﹣（1+2﹣9），故选：C．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．6．运行如下程序框图，如果输入的x∈（﹣∞，1]，则输出的y属于( )A． B．时，y=xe x∈；当x∈（0，1]时，y=xlnx∈；∴输出的y∈．故选：A．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，属于基本知识的考查．7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是( )A．B．C．5 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．解答：解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=．故选D．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断出侧棱的最长棱是解题的关键，考查计算能力．8．如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界C1（虚线L上方部分）与下边界C2（虚线L下方部分）围成，曲线C1是函数y=+x的图象，曲线C2是函数y=﹣+x的图象，圆的方程为x2+y2=8，某人向靶子射出一箭（假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的），则此箭恰好命中“心形”图案的概率为( )A．﹣B．﹣C．+D．+考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：根据图象的对称性求出当x＞0时的面积，利用积分的意义，求出对应区域的面积进行求解即可．解答：解：由y=+x=﹣+x得x=1，当x＞0时，y轴由此的面积S=dx=（2+x﹣x）dx=2dx+（x﹣x）dx，dx的几何意义为单位圆的面积，为，（x﹣x）dx=（x﹣x）|=﹣=﹣，则S=﹣，故阴影部分的面积为2S=2（﹣）=，大圆的面积S=π×8=8π，故此箭恰好命中“心形”图案的概率P==﹣，故选：B点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件结合积分的几何意义求出对应区域的面积是解决本题的关键．综合性较强．9．已知f（x）=sin+sin的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得 A|x1﹣x2|的最小值．解答：解：f（x）=sin+sin=sin2015xcos+cos2015xsin+sin2015xcos﹣cos2015xsin=sin2015xsin+cos2015xcos+sin2015xcos﹣cos2015xsin=sin2015x（sin+cos）+cos2015x（cos﹣sin）=sin2015x•（+）+cos2015x•（﹣）=sin，cosα=，sinα=．故f（x）的最大值为A=．由题意可得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：A．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于中档题．10．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=2，则此四棱锥的外接球的表面积为( )A．12πB．24πC．144πD．48π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径．解答：解：如图所示连接AC，BD相交于点O1．取SC的中点，连接OO1．则OO1∥SA．∵SA⊥底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心．因此SC是外接球的直径．∵SC2=SA2+AC2=48．∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为48π．故选：D点评：本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象有两个交点A（x1，y1），B （x2，y2），则( )A．＜x1x2＜B．＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象，由图象可知，x1在﹣0，5附近，﹣1.5＜x2＜﹣1，由于本题是选择题，故估计范围即可．解答：解：分别画出函数f（x）=e x的图象与函数g（x）=|ln（﹣x）|的图象，如图所示，由图象可知，x1在﹣0，5附近，﹣1.5＜x2＜﹣1，∴＜x1x2＜1，故只有B符合，故选：B点评：本题考查了函数的图象的画法和识别，属于中档题．12．已知函数f（x）=e x+x2（x＜0），g（x）=x2﹣4x++ln（x+t﹣2），若f（x）的图象上存在一点P，它关于直线x=1的对称点P′落在y=g（x）的图象上，则t的取值范围是( ) A．（﹣∞，）B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣∞，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣8x0﹣ln（t﹣x0）=0有负根，函数函数h（x）=e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）为增函数，由此能求出t的取值范围．解答：解：f（x）的图象上存在一点P（x，y），关于直线x=1的对称点P′（2﹣x，y），∴e x+x2=（x﹣2）2﹣4（2﹣x）++ln（2﹣x+t﹣2）=（x﹣2）2﹣4（2﹣x）++ln（t﹣x），即e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）=0，存在x0∈（﹣∞，0），即e x0﹣﹣8x0﹣ln（t﹣x0）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣8x0﹣ln（t﹣x0）也趋近于负无穷大，∴函数h（x）=e x﹣8x﹣﹣ln（t﹣x）为增函数，∴h（0）=﹣lnt＞0，∴lnt＜ln，∴t＜故选：D．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知中||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，可求出cosθ=，进而根据向量夹角的范围为0≤θ≤π，得到答案．解答：解：∵||=||=2，∴||2=||2=4∵（+2）•（﹣）=﹣2展开得：||2+•﹣2||2=4cosθ﹣4=﹣2，即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cosθ=，是解答的关键．14．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是﹣20．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数．解答：解：（x﹣2y）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r••x5﹣r•y r，令r=3，可得x2y3系数是﹣20，故答案为：﹣20．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题16．在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）求sin（A﹣C）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据余弦定理建立方程关系即可求a、b的值；（Ⅱ）利用两角和差的正弦公式即可求sin（A﹣C）的值．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得c2=（a+b）2﹣2ab（1+cosC），又a+b=6，c=2，cosC=，所以ab=9，解得a=3，b=3．…（Ⅱ）在△ABC中，sinC==，由正弦定理得sinA==，因为a=c，所以A为锐角，所以cosA==，因此 sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=．…点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．如图，在多面体ABCDEF中，BA⊥BE，BA⊥BC，BE⊥BC，AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1，G在线段AB上，且BG=3GA．（1）求证：CG∥平面ADF；（2）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；（3）求锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，证明：四边形CDHG是平行四边形，可得CG∥DH，利用线面平行的判定定理证明CG∥平面ADF；（2）建立空间直角坐标系，求出、平面ADF的一个法向量，利用向量的夹角公式求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；（3）求出平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式求锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值．解答：（1）证明：分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，则有AG=GM，MF∥BE，∵AH=HF，∴GH∥MF，又∵CD∥BE，BE∥MF，∴CD∥GH，∴四边形CDHG是平行四边形，∴CG∥DH，又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF，∴CG∥平面ADF；…（2）解：如图，以B为原点，分别以BC、BE、BA所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），F（0，2，1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，2），=（0，﹣2，1）；设平面ADF的一个法向量为=（x，y，z），则有•=﹣x﹣y+2z=0且•=（=﹣2y+z=0，解得：x=3y，z=2y，令y=1得：=（3，1，2），设直线DE与平面ADF所成的角为θ，则有sinθ=||=．所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为…（3）解：由已知平面ADF的法向量=（3，1，2），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），由•=2y+z=0且•=x+y=0 解得：z=﹣2y，x=﹣y；令y=﹣1得：=（1，﹣1，2），设锐二面角B﹣DF﹣A的平面角为α，则cosα=|cos＜，＞|==，所以锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值为．…点评：本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的角，锐二面角B﹣DF﹣A的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i（i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A．利用独立重复试验求得概率．（2）写出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．解答：解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件A i，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则，，…（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：A=A1CA2C ×∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；…（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；P（X=3000）=P（A1）=；P（X=6000）=P（A1 CA2）=；P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）=；P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）=；P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）=；P（X=0）=P（）+P（A 1C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4C ）=；（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）=1﹣）．∴X的分布列为：X 0 3000 6000 8000 12000 24000P∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=1250+1000+500+250+250=3250（元）∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250（元）…点评：本题主要考查了独立重复试验和随机变量的期望，属中档题型，2015届高考常考题型20．已知F1、F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1、A2分别为其左、右顶点，过F2且与x轴垂直的直线l与椭圆相交于M、N两点．若四边形A1MA2N的面积等于2，且满足||=||+||．（1）求此椭圆的方程；（2）设⊙O的直径为F1F2，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点P、Q，若•=λ，且λ∈，求△POQ的面积S的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过l与x轴垂直，可得l的方程，利用四边形A1MA2N面积为2可知b2=1，利用||=||+||，计算可得结论；（2）通过直线l与⊙O相切，可得点O到PQ的距离d=1，通过联立直线l与椭圆方程，利用•=λ及λ∈，可得|PQ|可用k来表示，利用S△POQ=•|PQ|•d计算即得结论．解答：解：（1）∵l与x轴垂直，∴l的方程为：x=c，代入椭圆方程得：y=±，∴四边形A1MA2N面积：2××2a×=2b2=2，即b2=1 ①易知：||=a+c，||=，||=a﹣c，∵||=||+||，∴a+c=•+a﹣c，即ac=②联立①②解得：a=，b=1，∴椭圆的方程为：；（2）由（1）可知⊙O的方程为：x2+y2=1，∵直线l：y=kx+m与⊙O相切，∴=1，即m2=k2+1，联立方程组：，消元整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，③设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1，x2是方程③的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx1+m）=，∴•=x1x2+y1y2=+==λ，将m2=k2+1代入得：=λ，∵λ∈，∴≤≤，解得≤k2≤1，∵|PQ|=•=•，d=1，∴S△POQ=•|PQ|•d=•=④令t=2k2+1，则k2=，代入④得：S△POQ===，∵≤k2≤1，∴2≤t≤3，∴≤≤，∴≤≤，∴≤S△POQ≤，即△POQ的面积S的取值范围是：．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及韦达定理、点到直线的距离、两点间距离、换元法、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．21．已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．（3）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），若x1，x2（x1＜x2）是H（x）的两个极值点，证明：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，由切线方程可得f′（1）=﹣1，可得a=﹣1，求得切点，代入切线方程，可得b；（2）假设存在符合条件的a值，运用参数分离和基本不等式可得a的范围，结合单调性和导数的关系，可得a的值；（3）化简H（x）的解析式，求出导数，结合二次方程的韦达定理，可得H（x2）＜0成立；再由分析法，结合函数的单调性，证明（﹣+ln2）x1＜H（x2）．解答：解：（1）f′（x）=+ax+1，由题意：f′（1）=﹣1即2a+1=﹣1，∴a=﹣1，即f（x）=﹣lnx﹣x2+x，由f（1）=，切点（1，）在切线上∴b=﹣；（2）∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=+ax+1≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即a≤﹣在x∈（0，+∞）时恒成立，∵x+≥2∴0＜≤∴﹣∈（3）证明：H（x）=f（x+1）﹣g（x）=aln（x+1）+（x+1）2+（x+1）﹣ x2﹣（a+1）x﹣=aln（x+1）+x2H′（x）=+2x=，由题意：2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）内有两个不等实根x1，x2记G（x）=2x2+2x+a 则应有：△＞0，G（﹣1）＞0，解得：0＜a＜；由韦达定理得：x1+x2=﹣1，x1•x2=∴x1=﹣x2﹣1，a=2x1•x2=﹣2（x2+1）x2x1∈（﹣1，﹣），x2∈（﹣，0），H（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∵x2＜0，∴H（x2）＜H（0）=0即H（x2）＜0成立；下面证明：H（x2）＞（﹣+ln2）x1∵H（x2）=aln（x2+1）+x22=﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22（﹣+ln2）x1=（﹣+ln2）（﹣1﹣x2），∴只需证明：﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22＞（﹣+ln2）（﹣1﹣x2）即：x22﹣2（x2+1）x2ln（x2+1）+（ln2﹣）x2＞﹣ln2…①令ϕ（x）=x2﹣2（x+1）xln（x+1）+（ln2﹣）x，x∈（﹣，0），ϕ′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（x+1）﹣2x+ln2﹣=﹣2（2x+1）ln（x+1）+ln2﹣，∵﹣＜x＜0∴x+1＜1，ln（x+1）＜0，2x+1＞0∴﹣2（2x+1）ln（x+1）＞0，又∵ln2﹣=ln2﹣ln=ln＞0，∴ϕ′（x）＞0，∴ϕ（x）在（﹣，0）上单调递增∴ϕ（x）＞ϕ（﹣）=﹣ln2﹣ln2+=﹣ln2，即ϕ（x）＞﹣ln2 即①式成立∴H（x2）＞（﹣+ln2）x1综上：（﹣+ln2）x1＜H（x2）＜0成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值，以及函数单调性的运用和二次方程韦达定理，考查运算求解能力，属于难题．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．解答：（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．解答：解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．点评：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系的判断，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
【高考一模】辽宁省葫芦岛市2015届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题及答案
………………………………………………装…………订…………线………………………………………………2015年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试高三数学（供理科考生使用）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若P={y|y=|x|},Q={x|-2≤x≤2}，则P∩Q=A．{0,2} B．{(1,1),(-1,-1)} C．[0,2] D．[-2,2]2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z=A．2+i B．2-i C．1+2i D．1-2i3.单位向量a→与b→的夹角为π3，则|a→-b→|=A． 3 B．1 C． 2 D．24.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是A．3 B.9 32C.3 32D．3 35.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为A.2e2B.1-2e2C.1eD. 1-1e6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于A．23B．33C．23D．137．运行如图所示的程序程序，则运行后输出的结果为A．7 B．9 C．10 D．118.已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为A.(x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2 C. (x-1)2+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=29.若变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧y≤xx＋y≤1y≥－1,且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝A．5 B．6 C．7 D．810. 抛物线C1：y2=4x,双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若C1的焦点恰为C的最大值为A． 5 B．5 C． 2 D．2侧（左）视图俯视图11.如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体 的几条棱中，最长的棱的长度为 A.3 2B.34C.41D.3512.若对∀x 1∈(0,2],∃x 2∈[1,2],使4x 1lnx 1-x 12+3+4x 1x 22+8ax 1x 2-16x 1≥0成立，则a 的取值范围是 A ．[-18,+∞)B.[25-8ln216,+∞)C.[-18,54]D.(-∞,54]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2015-2016年辽宁省部分示范性重点高中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l}B．{x|﹣l＜x＜l}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|l＜x＜4} 2．（5分）设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i3．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2=4，a2+a3=12，则a3与a4的等差中项为（）A．6B．12C．9D．184．（5分）设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x 6．（5分）如果实数x，y满足条件，則z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．27．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．D．38．（5分）执行如图所示的程序框图，ze输出S的值为（）A．10B．﹣6C．3D．129．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．ω=2B．C．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称D．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=Asinωx的图象10．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，设=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣11．（5分）如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若=，则|AB|等于（）A．4B．5C．6D．712．（5分）若函数y=为一次函数，且f（0）=﹣3，f′（0）=﹣2，则（）A．f（2sin2）＞f（3sin3）＞f（4sin4）B．f（4sin4）＞f（3sin3）＞f（2sin2）C．f（3sin3）＞f（4sin4）＞f（2sin2）D．f（2sin2）＞f（4sin4）＞f（3sin3）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（4））=．14．（5分）cos190°cos160°+sin190°sin160°=．15．（5分）设（x+）n的展开式中各二项系数之和为64，则展开式中常数项为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n，则使++…+＜log8m对所有n∈N*都成立的正整数m的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知C为锐角且asinA=bsinBsinC，b=2a．（1）求tanC的值；（2）求的值．18．（12分）“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为、．（1）若走L1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；（2）若走L2路线，路上遇到的堵塞次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均为等腰三角形，AD=4AB=4，M为线段CP上一点，且=λ（0≤λ≤1）．（1）若λ=，求证：MB∥平面PAD；（2）若λ=，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．20．（12分）设椭圆M：+=1，其中c＞0．（1）若椭圆M的焦点为F 1、F2，且|F1F2|=2，P为M上一点，求|PF1|+|PF2|的值；（2）如图所示，A是椭圆上一点，且A在第二象限，A与B关于原点对称，C在x轴上，且AC与x轴垂直，若•=﹣4，△ABC面积为4，直线BC与M 交于另一点D，求线段BD的中点坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x2+mlnx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，3），求m的值；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：∀x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．【选修4－4：坐标系与参数方程】23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【选修4－5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数（2）若∀a，b∈A，x∈R+m的取值范围．2015-2016学年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l}B．{x|﹣l＜x＜l}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|l＜x＜4}【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x丨0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜4}，故选：C．2．（5分）设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2=4，a2+a3=12，则a3与a4的等差中项为（）A．6B．12C．9D．18【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a1+a2=4，a2+a3=12，∴q=，则由a1+a2=4，得a1+3a1=4，即a1=1，∴，∴a3与a4的等差中项为．故选：D．4．（5分）设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，得：在①中，若α⊥β，α⊂β，则a与α平行、相交或a⊂α，故①错误；在②中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a，b有可能异面垂直，故a⊥b可能成立，故②正确；在③中，若a⊥l，b⊥l，则a⊥b有可能成立，例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．故选：B．5．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，故选：A．6．（5分）如果实数x，y满足条件，則z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：B．7．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S==3，高h=，故体积V==，故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，ze输出S的值为（）A．10B．﹣6C．3D．12【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值，所以S=﹣12+22﹣32+42=10．故选：A．9．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．ω=2B．C．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称D．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=Asinωx的图象【解答】解：根据函数的部分图象如图所示，可知，A=2，，∴，再根据f（0）=Asinφ=2sinφ=1，且，∴，∴，∴，故函数f（x）的图象不关于对称，易得f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象，故选：C．10．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，设=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：正六边形ABCDEF中，=，=，∴=﹣=﹣①，=+=﹣=﹣②，且=2③；由①②③组成方程组，解得=（﹣）；∴=﹣=﹣（﹣）=﹣．故选：D．11．（5分）如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若=，则|AB|等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，∵=，∴sin∠NCB=，∴tan∠NCB=2∴AF的方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0∴x1+x2=3，∴|AB|=x1+x2+2=5．故选：B．12．（5分）若函数y=为一次函数，且f（0）=﹣3，f′（0）=﹣2，则（）A．f（2sin2）＞f（3sin3）＞f（4sin4）B．f（4sin4）＞f（3sin3）＞f（2sin2）C．f（3sin3）＞f（4sin4）＞f（2sin2）D．f（2sin2）＞f（4sin4）＞f（3sin3）【解答】解：∵函数y为一次函数∴f（x）=e x（kx+b）∵f（0）=﹣3 即b=﹣3∵f′（x）=e x（kx+k﹣3），f′（0）=﹣2∴k=1，则f（x）=e x（x﹣3）∴f′（x）=e x（x﹣2）∴x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∵2＜＜＜3＜π＜4∴sin4＜0＜sin3＜＜＜sin2∴3sin3＜＜＜2sin2＜2∴4sin4＜0＜3sin3＜2sin2＜2∴f（4sin4）＞f（3sin3）＞f（2sin2）故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（4））=﹣7．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=﹣log24=﹣2，∴f（f（4））=f（﹣2）=2﹣9=﹣7．故答案为：﹣7．14．（5分）cos190°cos160°+sin190°sin160°=．【解答】解：cos190°cos160°+sin190°sin160°=cos（190°﹣160°）=cos30°=，故答案为：．15．（5分）设（x+）n的展开式中各二项系数之和为64，则展开式中常数项为．【解答】解：由题意可得2n=64，∴n=6，故（x+）n=（x+）6的展开式的通项公式为T r=••x6﹣2r，+1令6﹣2r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为•=，故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n，则使++…+＜log8m对所有n∈N*都成立的正整数m的最小值为210．【解答】解：∵S n=3n2﹣2n，=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1），∴当n≥2时，S n﹣1两式相减，得：a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，又∵a1=3﹣2=1满足上式，∴a n=6n﹣5，∴==（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵++…+＜log8m对所有n∈N*都成立，∴＜log8m对所有n∈N*都成立，整理得：log8m＞对所有n∈N*都成立，∴log8m≥=，∴m≥=210，故答案为：210．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知C为锐角且asinA=bsinBsinC，b=2a．（1）求tanC的值；（2）求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知，根据正弦定理可得：a2=b2sinC=4a2sinC，∴sinC=，cosC=，∴tanC==…6分（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=5a2﹣4a2×=4a2，解得：…12分18．（12分）“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为、．（1）若走L1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；（2）若走L2路线，路上遇到的堵塞次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设走l1路线最多遇到1次堵塞为A事件，则P（A）=+=，∴走L1路线，最多遇到1次堵塞的概率为．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴随机变量X的分布列为：∴E（X）==．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均为等腰三角形，AD=4AB=4，M为线段CP上一点，且=λ（0≤λ≤1）．（1）若λ=，求证：MB∥平面PAD；（2）若λ=，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．【解答】解：（1）在PD上取一点E，使PE=PD，∵=λ（0≤λ≤1）．且λ=，∴ME∥CD，且ME=CD，∵AB∥CD，且AB=CD，∴ME∥AB，ME=AB，则四边形ABME是平行四边形，∴MB∥AE，∵AE⊂平面PAD，MB⊄平面PAD，∴MB∥平面PAD．（2）建立空间坐标系如图：则A（0，0，0），C（4，0，4），B（0，0，1），M（，，），=（0，0，1），=（，，），设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则由得，令y=1，则=（﹣7，1，0），∵AP⊥平面ABC，∴平面ABC的法向量为=（0，1，0），则cos＜，＞===，∴二面角C﹣AB﹣M的余弦值是．20．（12分）设椭圆M：+=1，其中c＞0．（1）若椭圆M的焦点为F1、F2，且|F1F2|=2，P为M上一点，求|PF1|+|PF2|的值；（2）如图所示，A是椭圆上一点，且A在第二象限，A与B关于原点对称，C在x轴上，且AC与x轴垂直，若•=﹣4，△ABC面积为4，直线BC与M 交于另一点D，求线段BD的中点坐标．【解答】解：（1）由|F1F2|=2c=2，可得c=，即有2a=2c=4，由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a=4；（2）设A（x1，y1）（x1＜0，y1＞0），B（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），=（0，y1），=（﹣2x1，﹣y1），•=﹣y12=﹣4，可得y1=2，又S=|y1|•|2x1|=4，解得x1=﹣2，即A（﹣2，2），△ABC由A在M上，即有+=1，解得c=，即有椭圆的方程为+=1，B（2，﹣2），C（﹣2，0），BC：y=﹣（x+2），与M方程联立，可得3x2+4x﹣20=0，即有x B+x D=﹣，设中点为N（x，y），则x==﹣，y=﹣（﹣+2）=﹣，即有N（﹣，﹣）．21．（12分）已知函数f（x）=x2+mlnx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，3），求m的值；（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：∀x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx的导数为f′（x）=x+，即有在点（1，f（1））处的切线斜率为1+m，切点为（1，），由1+m=，解得m=；（2）证明：H（x）=f（x）﹣（m+1）x=x2+mlnx﹣（m+1）x，H′（x）=x+﹣（m+1）=，由x∈[1，m]，H′（x）≤0，可得H（x）在[1，m]单调递减，于是H（x1）﹣H（x2）≤H（1）﹣H（m）=﹣（m+1）﹣m2﹣mlnm+（m+1）m=m2﹣mlnm﹣，H（x1）﹣H（x2）＜1⇔m2﹣mlnm﹣＜1⇔m﹣lnm﹣＜0，设h（m）=m﹣lnm﹣，则h′（m）=﹣+=（﹣）2+＞0，所以函数h（m）在[1，e]是单增函数，所以h（m）≤h（e）=e﹣1﹣=＜0，故∀x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）﹣H（x2）＜1．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴，又OD=OE，∴OA=OB，如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=，又∠DCF=90°，∴=，∵AD=2，∴AC=6，又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8，∴AO=2+8=10．【选修4－4：坐标系与参数方程】23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．【选修4－5：不等式选讲】24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数+m的取值范围．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x ＜5，故可得集合A=（﹣5，5）； （2）∵a ，b ∈A=（﹣5，5），x ∈R +， ∴﹣10＜a +b ＜10，∴（x ﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x +36 =37﹣（+9x ）≤37﹣2=25，∵不等式a +b ＞（x ﹣4）（﹣9）+m 恒成立， ∴m +25≤﹣10，解得m ≤﹣35赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015届高三上学期周考(十二)数学(理)试题 Word版含答案
4、已知函数y=Asin(x+)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）
A. y=4sin(4x+) B. y=2sin(2x+)+2
C. y=2sin(4x+)+2 D. y=2sin(4x+)+2
(1)求数列｛an｝的通项公式
(2)若数列｛bn｝满足bn=nan,求证：b1+b2++bn<
22、（本题满分12分）已知f(x)=ln(x+1)-ax(aR)
(1)求y=f(x)的单调区间
(2)当a=1时，求f(x)在定义域上的最大值
(3)求证：<e
高三周考（十二）数学（理）参考答案
三、17、解：(1)f(x)=sin(2x-) T=对称中心（+,0）(kZ)
A.-1,+∞）B.3,+∞）C.1,+∞）D.-3,+∞）
12、已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f′(x)g(x)>f(g′(x),且f(x)=
axg(x)(a>0,且a1),+=,若数列｛｝的前n项和大于62，则n的最小值为（）
A.6B.7C.8D.9
第II卷（满分90分）
1、若A=0,1,2,3, B=1,2,4,5,则集合AB的子集的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、在等差数列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a6的值为（）
A.4 B.6C.8 D.16
辽宁省葫芦岛市2015届高三第一次模拟考试 数学(理) 扫描版含答案
2015年葫芦岛市第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分三.解答题: 17.(本小题满分12分) 解：（1）由a 4+a 8=22得：a 6=11 又a 3=5 ∴d=2, a 1=1……………………2分 ∴a n =2n-1 …………………………………………………………………………4分 S n =n(a 1+a n )2=n(1+2n-1)2=n 2 ………………………………………………………………6分 (2) b n =n+1S n S n+2=n+1n 2·(n+2)2=14(1n 2-1(n+2)2) 当n=1时，b 1=14(1-19)=29<516,原不等式成立；………………………………8分 当n ≥2时， b 1+b 2+…+b n =14(112-132+122-142+132-152+142-162+…+1(n-2)2-1n 2+1(n-1)2-1(n+1)2+1n 2-1(n+2)2) =14(112+122-1(n+1)2-1(n+2)2)<14(112+122)=516∴b 1+b 2+…+b n <516(n ∈N *)………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）(1)证明：∵AB ⊥平面BEC ，CE 平面BEC ∴AB ⊥CE∵BC 为圆的直径 ∴BE ⊥CE ∵BE 平面ABE ，AB 平面ABE ，BE ∩AB=B ∴CE ⊥平面ABE ∵BF 平面ABE ∴CE ⊥BF 又BF ⊥AE 且CE ∩AE=E ∴BF ⊥平面AEC AC 平面AEC ∴BF ⊥AC（或由面面垂直的性质定理证明，请参照赋分）（2）设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r;V 圆柱=r 2·2r=2r 3.V A-BEC =13·12BE ·EC ·2r=13·BE ·EC ·r 由题意：V 圆柱V A-BEC =2r 313·BE ·EC ·r =3 ∴BE ·EC=2r 2 又BE 2+CE 2=4r 2 由此解得：BE=EC=2r …………8分法一：分别以EB 、EC 所在直线为x 轴、y 轴,E 为坐标原点建立如图所示坐标系； 则E （0，0，0）、B （2r ，0，0）、C （0，2r ，0）、A （2r ，0，2r ）AB →=(0,0, 2r), AC→=(-2r,2r,-2r), 设平面BAC 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，则由n 1→⊥AC →，n 1→⊥AB →得： n 1→·AC →=0且n 1→·AB →=0 即：⎩⎨⎧2rz 1=0-2rx 1+2ry 1-2rz 1=0解得：⎩⎨⎧z 1=0x 1=y 1 ,取y 1=1得：n 1→=（1,1,0) 设平面CAE 的法向量为n 2→=(x 2,y 2,z 2)，则由n 2→⊥EC →，n 2→⊥EA →得：n 2→·EC →=0且n 2→·EA→=0 即：⎩⎪⎨⎪⎧2ry 2=02rx 2+2rz 2=0 解得：⎩⎨⎧y 2=0x=-2z 2 取z 2=1得： n 2→=（-2,0,1) …………10分 ∴cos<n 1→,n 2→>=n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|=-22·3=-33 由图形可知：二面角B-AC-E 为锐二面角 ∴二面角B-AC-E 的余弦值为33…………12分 法二：过F 作FG ⊥AC 于G ，连BG ；由（1）知：BF ⊥平面ACE ∴FG 为BG 在平面AEC 内的射影，又FG ⊥AC ，AC 平面AEC∴由三垂线定理得：BG ⊥AC ∴∠FGB 即为二面角B-AC-E 的平面角……10分在RTABC 中易求得：BG=2r, 在RT ABC 中易求得：BF=233r ∴在RT BFG 中:FG=BG 2-BF 2=63r ∴cos ∠FGB=FG BG =6r32r =33∴二面角B-AC-E 的余弦值为33………12分 19．（本小题满分12分） (1)设第i 组的频率为P i (i=1,2,…,8),由图可知：P 1=13000×30=1100, P 2=1750×30=4100∴学习时间少于60分钟的频率为P 1+P 2=5100 由题意：n ×5100=5 ∴n=100………2分 又P 3=1375×30=8100, P 5=1100×30=30100, P 6=1120×30=25100, P 7=1200×∴P 4=1-(P 1+P 2+P 3+P 5+ P 6+P 7+ P 8)=12100∴第④组的高度为:h=12100×130=123000=1250频率分布直方图如图：（注：未标明高度1/250扣1分）………4分 11/1/1/11/ 11/（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分K 2=n(n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2=100×(30×10-45×15) 275×25×45×55 =10033≈3.030 因为 3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分(3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3P （X=i)= C i 5C 3-i5C 310(i=0,1,2,3) ∴P （X=0)= C 05C 35C 310 =10120=112,P （X=1)=C 15C 25C 310 =50120=512, P （X=2)=C 25C 15C 310 =50120=512, P （X=3)= C 35C 05C 310 =10120=112…………………………………10分 ∴X 的分布列为：∴EX=0×112+1×512+2×512+3×112=1812=32……………………12分 (或由超几何分布的期望计算公式EX=n ×M N =3×510=32) 20.(本小题满分12分)解：（1）∵e=33 ∴a 2=3c 2=3a 2-3b 2 ∴2a 2=3b 2 将x=-c 代入椭圆方程得：y 2=b 4a 2 y=±b 2a 由题意：2b 2a =4332a=3b 2 解得：a 2=3,b 2=2∴椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1………… (2)联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 23+y 22=1y=kx+t 联立并消元整理得：(3k 2+2)x 2+6ktx+3t 2-6=0…………①=24(3k 2+2-t 2)>0 ∴3k 2+2>t 2………②设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1,x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1+x 2=-6kt 3k 2+2, y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t=-6k 2t 3k 2+2+2t=4t 3k 2+2设MN 的中点为G(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-3kt 3k 2+2,y 0=y 1+y 22=2t 3k 2+2 ∴线段MN 的垂直平分线方程为：y-2t 3k 2+2=-1k (x+3kt 3k 2+2)将P （0，-14)代入得：14+2t 3k 2+2=3t 3k 2+2 化简得：3k 2+2=4t ……………9分 代入②式得：4t>t 2 ∴0<t<4 |MN|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2·26·3k 2+2-t 23k 2+2=1+k 2·26·4t-t 24t =1+k 2·6·4t-t 22t设O 到直线MN 的距离为d,则d=t 1+k2 ∴S NOM =12·|MN|·d=12·1+k 2·6·4t-t 22t ·t 1+k 2=64·4t-t 2=64·-(t-2)2+4≤62 (当且仅当t=2,k=±2时取“=”号）∴MON 面积的最大值为62，此时直线l 的方程为：y=±2x+2. ……………………………12分21. (本小题满分12分)解：（1）f(x)=ax+b x ,f ′(x)=a-b x2 由题意：f ′(1)=2，f(1)=0 即a-b=2,a+b=0 解得：a=1,b=-1………………………………………………………………4分(2)f(x)=x-1x 由g(x)≤mf(x)得：2lnx ≤m(x-1x ) 2lnx-m(x-1x)≤0 令(x)=2lnx-m(x-1x ) 则′(x)=2x -m(1+1x 2)=-mx 2+2x-m x 2 ①当m=0时,′(x)= 2x>0恒成立，∴(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴（x)>(1)=0 这与(x)≤0矛盾，不合题意；若m ≠0，令=4-4m 2=4(1+m)(1-m)②当m ≤-1时，≤0恒成立且-m>0 ∴-mx 2+2x-m ≥0恒成立即′(x)≥0恒成立∴(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴（x)>(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意； ③当-1<m<0时，>0,方程-mx 2+2x-m=0有两个不等实根x 1,x 2(不妨设x 1<x 2),由韦达定理得： x 1·x 2=1>0,x 1+x 2=2m<0,∴x 1<x 2<0 ∴当x ≥1时，-mx 2+2x-m ≥0恒成立即′(x)>0恒成立∴(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴（x)>(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意；④当0<m<1时，>0,方程-mx 2+2x-m=0有两个不等实根x 1,x 2(不妨设x 1<x 2),0<x 1=1-1-m 2m <1, x 2=1+1-m 2m>1∴0<x 1<1<x 2 ∴(x)在（1，x 2)单调递增 ∴当x ∈(1,x 2)时, ′(x)>0 ∴(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴（x)>(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意；⑤当m ≥1时，≤0且-m<0 ∴′(x)≤0恒成立 (x)在[1，+∞）上单调递减 ∴（x)≤(1)=0， 合题意综上所述，当m ∈[1,+∞)时，g(x)≤mf(x)恒成立。
辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末考试数学理试题(有答案)
葫芦岛市普通高中第一学期期末考试高三数学（供理科考生使用）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数=3+2ii(i 为虚数单位)的虚部为BA.3B. -3C. -3iD. 22.设全集U=R ，集合A={|log 2≤2}，B={|(-3)(+1)≥0}，则(C U B)∩A=D A ．(-∞,-1] B ．(-∞,-1]∪(0,3) C ．[0,3) D ．(0,3)3. 已知平面向量a →,b →满足a →·（a →+b →)=5，且|a →|=2,|b →|=1,则向量a →与b →A.33B.3C. - 3D.- 334. 在如下程序框图中，任意输入一次 (0≤≤1)与y(0≤y ≤1)，则能输出 “恭喜中奖！”的概率为AA.18B. 38C. 78D. 145. 在圆2+y 2-4-4y-2=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 BA ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 26. .最长的棱的长度为CA.3 2B.34C.41D.357.将函数f()=3sin2-cos2的图象向左平移（0<<p2)是开始否 输出“恭喜中奖！”y ≥x+12 输出“谢谢参与！”结束个单位长度后得到函数y=g()的图象，若g()≤|g(p6)|对∈R 恒成立,则函数y=g()的单调递减区间是（ A ） A ．[+p6,+2p3] (∈) B ．[-p 3,+p6] (∈) C ．[+p12,+7p 12] (∈) D ．[-5p 12,+p12] (∈) 8. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如 “今有女善织，日益功疾。
初日织五尺，今一月日织九匹三丈。
问日益几何。
”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）A A ．5寸另1529寸 B ．5寸另514寸C ．5寸另59寸 D ．5寸另13寸9. =-40cos 40sin 5sin 5cos 22 C A ．1 B ．21C ．2D ．1- 10. 某名学生默写英语单词“booeeper （会计）”,他记得这个单词是由3个“e ”，2个“o ”，2个“”，b,p,r 各一个组成，2个“o ”相邻，3个“e ”恰有两个相邻,o,e 都不在首位，他按此条件任意写出一个字母组合，则他写对这个单词的概率为A A. 19000 B. 118000 C. 14500 D. 11080011.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若1(,),16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为DC. 3D. 212. 已知函数f()的定义域为R,且为可导函数,若对R,总有(2-)f()+f ()<0成立(其中f()是f()的导函数),则BA.f()>0恒成立B. f()<0恒成立C.f()的最大值为0D.f()与0的大小关系不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）PAB DC 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.13. 若a=2⎠⎜⎛1e 1x dx ,则(1+a)5的展开式中3项的系数为__________8014. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α． 其中正确的命题是______． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)．①④ 15. 在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2bcosC-3ccosB=a ，则tan(B-C)的最大值为 .3/416.若二次函数2()1f x x =+的图像与曲线:()1(0)xC g x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为____________.(0,4/e 2]三、解答题：本大题共6小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+2a 2=1,a 32=4a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；a n =(1/2)n(2)设b n +2=3log 21a n ,求数列{a n b n }的前n 项和.S n =4-(3n+4)/2n18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，PB=20,BC=30,PA ⊥平面ABCD. （1）证明：平面PCD ⊥平面PAD;（2）当AB 的长为多少时，面ＰＡＢ与面ＰＣＤ所成的二面角 为６０？请说明理由.19．（本小题满分12分）自主招生，是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后，可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人，其中城填初中毕业生750名(称为"城填生"),农村初中毕业生250人(称为"农村生");为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;(1) 试完成下列2×2联表，并分析是否有95%以上的把握说"是否愿意参加自主招生"与生有关．20分，对于这5道题，考生“高富帅”完全会答的有3道，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：4(6),1,2,36kP S k k -===，假设解答各题之间没有影响。
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2014---2015学年度上学期高三期末考试数学试题(理科)参考答案及评分标准 一.选择题:每小题5分,总计60分题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A CD C D A B B D B C 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 014. 15. 181316.41[1-(31)n ] 三.解答题:17.(本小题满分12分)解：(1) 由题， 则，化简得， …2分 即，，所以 (4)分 从而，故. ……………………………………………6分(2) 由，可得. 所以或. ………………………………………7分 当时，,则,; ………8分当时，由正弦定理得.所以由，可知. ………………10分所以. 综上可知……………12分18．（本小题满分12分） (1)∵DE ∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE ∥平面PAB ……………………2分又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE ∥FG ……………………4分(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz ，则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C （2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)→CD =(-1,-1,0), →ED =(1,0,0) , →EF =(0,1,1)设平面α的法向量为→n =(x,y,z),由→n ·→ED =0且→n ·→EF =0得：y+z=0x=0,取y=-1得： =（0,-1, 1）设直线BC 与平面ABF 所成角为 ，则sin q ＝|cos 〈→n ，→CD 〉|＝|CD ＝21.因此直线CD 与平面α所成角的大小为6π.…………………………………………8分设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设→PH ＝λ→PC (0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为→n 是平面ABF 的一个法向量，所以→n ·→EH ＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝32，所以点H 的坐标为32.所以PH ＝24＝2. …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解： “顾客A 第i 次闯第一关成功”记作事件A i ,(i=1,2), “顾客A 第i 次闯第二关成功”记作事件B i ,(i=1,2), “顾客A 闯第一关成功”记作事件A, “顾客A 闯第二关成功”记作事件B,则P(A i )=P(B i )= 43，P(A)=1-P(-A1-A2)=1-41×41=1615, P(B)=1-P(-B1-B2)=1-41×41=1615…………2分(1)设事件C=“顾客A 只获得512元代金券”，则P(C)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615(或由P(A)=(1-41×41)×41×41求得，同样赋分）……………………………………………6分（2）X 的可能取值为：0，512，1024P(X=0)=P(-A1-A2)=41×41=161P(X=512)= P(A)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615P(X=1024)=P(AB)= 1615×1615=256225∴EX=0×161+512×25615+1024×256225=930(元）……………………………………………10分 ∴顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望为930(元）（3）由题意，Y ～B(4, 256225) ∴EY=4×256225=64225≈3.2(人）…………………………12分20.(本小题满分12分)解：（1）∵点P 在抛物线C 1上，∴（34）2=2p ·31 ∴ p=38 ∴抛物线C 1的方程为：x 2=316y又∵点P 在椭圆C 2上 ∴由椭圆定义可知：2a=21+21=2 ∴a=又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C 2的方程为：2x2+y 2=1 (6)分(2) (i)由x 2=316y 得：y=163x 2 ∴y ¢=83x 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2) 、B(x B ,y B ) 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=y¢|x=x 1=83x 1, k 2=y¢|x=x 2=83x 2 ∴直线l 1的方程为：y-y 1=83x 1 (x-x 1) 3x 1x-8y-3x 12+8y 1=0 又∵M 在抛物线上 ∴x 12=316y 1∴直线l 1的方程为：3x 1x-8y-8y 1=0 同理直线l 2的方程为：3x 2x-8y-8y 2=0∵直线l 1与直线l 2交于B 点 ∴3x2xB-8yB-8y2=03x1xB-8yB-8y1=0 ∴直线3x B x-8y B -8y=0过M 、N 两点即直线MN 的方程为：3x B x-8y B -8y=0 ∵直线MN 过点A(21,23) ∴3x B ×21-8y B -8×23 =0整理得是：3x B -16y B -24=0 即B 点在定直线3x-16y-24=0上。
………………………8分(ii)联立方程组：3x1x-8y-8y1=0+y2=1 消元整理得：（18x 12+64)x 2-96x 1y 1x+128y 12-128=0……………………①△=(-96x 1y 1)2-4×(18x 12+64)(128y 12-128)=16×64(9x 12-32y 12+32)>0∴9x 12-32y 12+32>0 ……………………………………②设P(x 3,y 3)、Q(x 4,y 4),则x 3、x 4是方程①的两个解，由韦达定理得：x 3+x 4=18x12+6496x1y1, x 3x 4=18x12+64128y12-128∴|PQ|=23x1·18x12+64128y12-128=89x12+64·18x12+649x12-32y12+32=·9x12+329x12-32y12+32将x 12=316y 1代入得： |PQ|=·9x12+3248y1-32y12+32=·48y1+323y1-2y12+2=21··3y1+23y1-2y12+2设E 到直线l 1的距离为d,则d=9x2+64-8y1|=38·9x12+643y1+2∴S △EPQ =21·|PQ|·d=21·21··3y1+23y1-2y12+2·38·9x12+643y1+2=32=32825≤32×25=62∴△EPQ 的最大值为62，此时y 1=43,x 1=-2……………………………………………10分将y 1=43,x 1=-2代入②，经检验②式成立。
∴直线l 1的方程为3x+4y+3=0与3x-16y+24=0联立解得B 坐标为（54,-1027) ……………………………………………12分21. (本小题满分12分)(1)h¢(x)=f¢(x)-h¢(x)=-e 1-x +t-x 1 h¢(1)=-1+t-11=0 ∴t=2∴h ¢(x)= -e 1-x+2-x 1 令m(x)= -e 1-x +2-x 1 则=m ¢(x)=e 1-x +21>0 m ∴m(x)在（-∞，2） 上单调递增 即h ¢(x)在（-∞，2） 上单调递增 ∵h ¢(1)=0 ∴当x ∈(-∞,1)时，h ¢(x)<h¢(1)=0,h(x)在(-∞,1)上单调递减；当x ∈(1,2)时，h ¢(x)>h¢(1)=0,h(x)在（1，2）上单调递增；综上：h(x)的单调减区间为(-∞,1)，h(x)的单调增区间为（1，2）………………………6分（2）当t ≤3，x ∈(-∞,t)时，ln(t-x)≤ln(3-x)∴若要证f(x)>g(x)，只需证：f(x)>ln(3-x)证法一：令j(x)=f(x)-ln(3-x)=e 1-x-ln(3-x)j¢(x)=-e 1-x +3-x 1 易证：j¢(x)在（-∞,3)上单调递增且j¢(1)=-1+21<0, j¢(2)=-e 1+1>0,∴存在唯一个x 0∈(1,2)，使得j¢(x 0)=0 ∴-e1-x0+3-x01=0 3-x01= e 1-x0 ln 3-x01=ln e 1-x0 ∴ln(x 0-3)=x 0-1 当x ∈(-∞,x 0)时，j¢(x)<0,当x ∈(x 0,3)时j¢(x)>0∴j¢(x)在(-∞,x 0)单调递减，在(x 0,3)单调递增；∴j(x)≥j(x 0)=e 1-x 0-ln(3-x 0)= 3-x01-(x 0-1)=3-x0x02-4x0+4= 3-x0x0-22>0 即j(x) >0 ∴f(x)>ln(3-x)∴f(x)>ln(3-x) ……………………………………………12分证法二：先证明ln(3-x)≤2-x(由lnx ≤x-1代换）令n(x)= ln(3-x)-2+x 则n ¢(x)=-3-x 1+1=3-x 2-x∴n(x)在（-∞，2)上单调递增，在（2，3）上单调递减；∴n(x)≤n(2)=0 即ln(3-x)≤2-x （当且仅当x=2时取“=”号）……………………① 再证：f(x)≥2-x 即证：e 1-x≥2-x令p(x)=e 1-x +x-2 则p ¢(x)=-e 1-x +1 易知：p(x)在(-∞,1) 上单调递减,在(1,3) 上单调递增 ∴p(x)≥p(1)=0∴p(x)≥0 即f(x)≥2-x(当且仅当x=1时取“=”号）……………………②由①②可知：f(x)≥2-x ≥ln(3-x)∴f(x)≥ln(3-x) 又∵①②中不可能同时取“=”号∴f(x)>ln(3-x)∴f(x)>g(x) ……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解(1) 延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则∠BCM=90°，又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2，又AB=31AC ，可知AB=21BC=.所以根据切割线定理AF 2=AB ·AC=×3=9，即AF=3. ……………………5分(2) 过E 作EH ⊥BC 于H ，则△EDH ∽ADF ，从而有AD ED =AF EH =31，因此AD=3ED . …………………………10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，极坐标与直角坐标有关系：或，……………1分所以圆C1的直角坐标方程为，………………………2分联立曲线C：，得或,即不妨令，从而直线的直角坐标方程为：，(此处如下解法也可：联立曲线C1与C，消去与项，得)所以，，即，…………………………4分所以直线AB的极坐标方程为，R）. ……………………5分（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：，……………6分依题令交点D则有，又D在直线AB上，所以，，解得，由直线参数方程的定义知|CD|=||，…………………………………8分同理令交点E，则有，又E在直线上，所以，解得，所以|CE|=||，………………………………………………………9分所以|CD|:|CE|=. ……………………………………………………10分（方法二）将曲线C2:(是参数)化为普通方程:，……6分将其联立AB的直线方程:，解得:，从而D，再将曲线C2与直线联立，解得，从而E，这样|CD|==，………………………………………8分|CE|==，…………………………………………9分从而|CD|:|CE|=. ………………………………………………10分24．解：（Ⅰ）……3分不等式等价于：或或解得：或不等式的解集为或. ……6分（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数的最小值在处取得，此时. …… 10分。