小学数学解题方法解题技巧之最值问题

第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题

【最小值问题】

例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。

（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）

讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。

由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？

（地区小学数学奥林匹克预赛试题）

讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。

我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。

所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出

AO=OC=OB。

故，O点即为三只蚂蚁会面之处。

【最大值问题】

例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？

（全国第二届“华杯赛”初赛试题）

讲析：三个图的面积分别是：

三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。

故图（3）的面积最大。

例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。

（台北市数学竞赛试题）

讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。

现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。

所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。

因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。42、最值规律

【积最大的规律】

（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是

如果a

1+a

2

+…+a

n

=b（b为一常数），

那么，当a

1=a

2

=…=a

n

时，a

1

×a

2

×…×a

n

有最大值。

例如，a

1+a

2

=10，

…………→…………；

1+9=10→1×9=9；

2+8=10→2×8=16；

3+7=10→3×7=21；

4+6=10→4×6=24；

4.5+

5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；

5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；

9+1=10→9×1=9；…………→…………

由上可见，当a

1、a

2

两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，

即a

1=a

2

时，它们的积就会变得最大。

三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。

由“积最大规律”，可以推出以下的结论：

结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。

例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。

例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？

解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得

（a+b）×2=24

即a+b=12

由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为

6×6=36（平方厘米）。

（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）

结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。

例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？

解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得

（a+b+c）×4=12

即a+b+c=3

由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为

1×1×1=1（立方米）。

（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。

例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？

我们可将各种拆法详述如下：

分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。

分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。

分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。

分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。

分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。

分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。

分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。

分拆成一个数，就是这个8。

从上面可以看出，积最大的是

18=3×3×2。

可见，它符合上面所述规律。