高中三角形中的面积问题(含答案)
【经典压轴题】三角形面积最值问题30题含详细答案
试卷第1页，总14页………外…………○…………订…………○……学：___________考号：___________………内…………○…………订…………○……三角形面积最值问题30题含详细答案1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．3．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．试卷第2页，总14页……订…………○……※※内※※答※※题※※……订…………○……①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第3页，总14页…○…………外………………订…………………线…………○……___________考号：______…○…………内………………订…………………线…………○……5．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．6．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标： （3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x试卷第4页，总14页装…………○……………○…………线※要※※在※※装※※订※答※※题※※装…………○……………○…………线轴的另一交点为E ,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）当t 为何值时，△PAE 的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．8．如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F ，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF ．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系；（3）连EF ，若△DEF 的面积为y ，CE=x ，求y 与x 的关系式，并指出当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）试卷第5页，总14页…………○………………○………………○…………………○……学校:____：___________班级：____：___________…………○………………○………………○…………………○……（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．试卷第6页，总14页…○…………外………订…………○………………○……※内※※答※※题※※…○…………内………订…………○………………○……10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)m y x x =>的图像经过点34,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =________，点C 的坐标为________；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ，求ODE 面积的最大值．11．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？12．（问题提出）试卷第7页，总14页……○…………外装…………○……姓名：___________班级：____……○…………内装…………○……（1）如图①，在等腰Rt ABC 中，斜边4AC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，则BD 的最小值为 ．（问题探究）（2）如图2，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点M 是BC 上一点，且4BM =，点P 是边AB 上一动点，连接PM ，将BPM △沿PM 翻折得到DPM △，点D 与点B 对应，连接AD ，求AD 的最小值．（问题解决）（3）如图③，四边形ABCD 是规划中的休闲广场示意图，其中135BAD ADC ∠=∠=︒，30DCB ∠=︒，AD =，3AB km =，点M 是BC 上一点，4MC km =．现计划在四边形ABCD 内选取一点P ，把DCP 建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP 、MP ，从实用和美观的角度，要求满足PMB ABP ∠=∠，且景观绿化区面积足够大，即DCP 区域面积尽可能小．则在四边形ABCD 内是否存在这样的点P ？若存在，请求出DCP 面积的最小值；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，点O 是原点，四边形AOBC 是矩形，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O B C ，，的对应点分别为D E F ，，.（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .求点H 的坐标； （3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.试卷第8页，总14页……外…………○……………订…………○…※※请※※线※※内※※答※※题※※……内…………○……………订…………○…14．（1）如图1，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：ABF ABCD S S ∆=四边形．（S 表示面积）（2）如图2，在ABC ∆中，过AC 边的中点P 任意作直线EF ，交BC 边于点F ，交BA 的延长线于点E ，试比较EBF ∆与ABC ∆的面积，并说明理由．（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知一次函数y kx b =+的图像过点()2,4P 且分别于x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点A 、B ，请问AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在，求出此时一次函数关系式；若不存在，请说明理由．15．△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点． （1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．16．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．试卷第9页，总14页…外…………○………………○…………订………○……学校:_____名：___________班级：___________考号…内…………○………………○…………订………○……（1）求x 的取值范围； （2）求ABC 面积的最大值．17．在平面直角坐标系中，抛物线265y x mx =-+与y 轴的交点为A ，与x 轴的正半轴分别交于点B （b ，0），C （c ，0）.（1）当b =1时，求抛物线相应的函数表达式；（2）当b =1时，如图，E （t ，0）是线段BC 上的一动点,过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线的交点为P ．求△APC 面积的最大值；（3）当c =b + n .时，且n 为正整数.线段BC （包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b 的值.18．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P试卷第10页，总14页…外…………○…※…内…………○…的坐标；若不存在，请说明理由． 19．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板ABC 和三角板CDE 都是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，点M ，P ，N 分别为DE ，AD ，AB 的中点．试判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系．探究展示：勤奋小组发现，PM PN =，PM PN ⊥．并展示了如下的证明方法：∵点P ，N 分别是AD ，AB 的中点，∴PNBD ，12PN BD =． ∵点P ，M 分别是AD ，DE 的中点，∴PM AE ∥，12PM AE =．（依据1）∵CA CB =，CD CE =，∴BD AE =，∴PM PN =． ∵PNBD ，∴DPN ADC ∠=∠．∵PM AE ∥，∴DPM DAC ∠=∠．∵90BCA ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒．（依据2）∴90MPN DPM DPN CAD ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．∴PM PN ⊥． 反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图1中，MN 与AB 的位置关系，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把CDE △绕点C 逆时针方向旋转到如图2的位置，发现PMN 是等腰直角三角形，请你给出证明；（3）缜密小组的同学继续探究，把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，当4CD =，10CB =时，求PMN 面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M 、N （点 M 在点 N 的上方）．○…………外…………订………………○……级：___________考号：__○…………内…………订………………○……（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）设 OMN 的面积为 S ，直线 l 运动时间为 t 秒（0 ≤t ≤6 ），试求 S 与 t 的函数表达 式；（3）在题（2）的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少．21．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），C （0，3），抛物线的顶点在直线1x =上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； 22．综合与探究如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、()20B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点坐标为点1924D ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，当PA PC +最小时，求点P 坐标；（3）在第一象限的抛物线上有一点M ，当BCM ∆面积最大时，求点M 坐标； （4）在x 轴下方抛物线上有一点H ，ABH ∆面积为6，请直接写出点H 的坐标．○…………装………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………○…………线…………23．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．二、填空题24．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．………○…………装………………订……………线…………○……学校:___________姓名：_级：___________考号：………○…………装………………订……………线…………○……26．如图，30AOB ∠=，C 是BO 上的一点，4CO =，点P 为AO 上的一动点，点D 为CO 上的一动点，则PC PD +的最小值为 ________，当PC PD +的值取最小值时，则OPC ∆的面积为________.27．如图，已知直线433y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA ，PB ，当PAB ∆的面积最大时，点P 的坐标为__________．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．…………装…………○…订…………○……线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订内※※答※※题※※…………装…………○…订…………○……线…………○……29．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上的动点，连接CD ，将△BCD 绕点C 沿顺时针旋转至△ACE ，连接DE ，则△ADE 面积的最大值＝_____．30．如图，∠AOB=45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN=7，△OMN 的面积为14，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为_____参考答案1．(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解； （2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解． 【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =， 故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+， ()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =AC = 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =故点Q -或(； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点13,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；综上，点Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或13,22⎛-+ ⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）抛物线的解析式为223y x x =--，直线AB 的解析式为3y x =-，（2）(2,1)-或33(22+-+．（3）当32m =时，PAB∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【解析】 【分析】（1）将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则2CE =，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，可由12PAB S PG OB ∆=，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--， ∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-， ∵//CE y 轴， ∴(1,2)E -， ∴2CE =，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =， 设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴223(23)3MN a a a a a =----=-+， ∴232a a -+=，解得：2a =，1a =（舍去）， ∴(2,1)M -，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴2223(3)3MN a a a a a =----=-， ∴232a a -=，解得：a =，a =（舍去），∴M ，综合可得M 点的坐标为(2,1)-或33(22+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -， ∴223(23)3PG m m m m m =----=-+， ∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．3．①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为；③点N 的横坐标为：4或52+或52．【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-； ②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，于是211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC的距离d =N 作x轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得152m +=，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =（舍去），252m =．【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B（﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=，∴点P 到BC 的高h 为sin 45)2BP t ︒=-，∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ PQ ==∴4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，∴265(5)4m m m -+---=解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=，∴()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴m =，Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得1m =，2m = ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴52m =，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或52或52-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．4．（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD=BD ，即可求y 的值； （3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE 是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，-103）或M （-2，-103）； 【详解】 解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++， 可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++； ∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+，∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠CD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+14y ∴=， 11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=，∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F ，111•222CEF SEQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅- ()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯--- 224233y x x =-++， 21736CEF S x x ∆∴=-+ ∴当74x =时，面积有最大值是4948， 此时755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x += 2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x += 2x ∴=，()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．6．（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a 的值即可；（2）设点C 的坐标为（x 0，y 0），其中y 0＝（x 0﹣1）2，作CF ⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得BO DF DO CF=，即1＝00x 1y -＝()01x 1-，据此求得x 0的值即可得； （3）过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG ＝4，根据S △PDQ ＝12DG•MN 列出关于k 的等式求解可得．【详解】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a ＝4，解得：a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2；（2）由（1）知点D 坐标为（1，0），设点C 的坐标为（x 0，y 0），（x 0＞1、y 0＞0），则y 0＝（x 0﹣1）2，如图1，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠BOD ＝∠DFC ＝90°，∠DCF+∠CDF ＝90°，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDO+∠CDF ＝90°，∴∠BDO ＝∠DCF ，∴△BDO ∽△DCF ， ∴BO DF DO CF=， ∴1＝00x 1y -＝()01x 1-，解得：x 0＝2，此时y 0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0）， 如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝|2﹣k|．则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），所以DG＝1，∴S△PDQ＝12DG•MN＝12×1×|x1﹣x2|＝12|2﹣k|，∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．7．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278；（3）t的值为1．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EA的解析式，作PM∥y轴，交直线AE于点M，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PAE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值即可；（3）由题意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°两种情况，当∠PAE＝90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE＝90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】解：（1）由题意得：0 4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅＝()21332t t⨯⨯-+＝23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t ＝﹣t 2+2t+3﹣3，即﹣t 2+t ＝0，解得t ＝1或t ＝0（舍去）， ②当∠APE ＝90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则PK ＝﹣t 2+2t+3，AQ ＝t ，KE ＝3﹣t ，PQ ＝﹣t 2+2t+3﹣3＝﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE ＝∠APQ+∠PAQ ＝90°， ∴∠PAQ ＝∠KPE ，且∠PKE ＝∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴PK KEAQ PQ=， ∴222332t t t t t t-++-=-+，即t 2﹣t ﹣1＝0，解得：t 或t 0（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或12+． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何面积最值问题以及二次函数与特殊三角形的问题，解题的关键是灵活运用二次函数的性质及几何知识．8．(1)成立，证明见解析；（2）DF=DE ．（3）当x=0时，y 最小值 【分析】（1）如图1，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE （ASA ），得DF=DE ；（2）如图2，连接BD ．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ，然后证明△ADF ≌△BDE（ASA ），得DF=DE ；（3）根据（2）中的△ADF ≌△BDE 得到：S △ADF =S △BDE ，AF=BE ．所以△DEF 的面积转化为：y=S △BEF +S △ABD ．据此列出y 关于x 的二次函数，通过求二次函数的最值来求y 的最小值． 【详解】（1）DF=DE ．理由如下： 如图1，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（2）DF=DE ．理由如下： 如图2，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=AB ． 又∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=BD ，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE ． ∵在△ADF 与△BDE 中，ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDE （ASA ）， ∴DF=DE ；（3）由（2）知，△ADF ≌△BDE ．则S △ADF =S △BDE ，AF=BE=x ． 依题意得：y=S △BEF +S △ABD =12（2+x ）xsin60°+12×2×2sin60°x+1）2．即x+1）20， ∴该抛物线的开口方向向上， ∴当x=0即点E 、B 重合时，y 最小值=29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可． 【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB ECAB AC=， ∵AB=AC ， ∴DB=EC ， 故答案为：=， （2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ， ∵∠BOD=∠AOC ， ∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°， ∴∠AEC=135°， 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）， ∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ， ∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高， ∴AM=EM=MD ， ∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ； 【拓展提升】 （5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变， △ADE 与△ADC 面积的和达到最大， ∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变， ∴要△ADC 面积最大， ∴点D 到AC 的距离最大， ∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7， 故答案为7． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．10．（1）m=6，()2,0；（2）当a=1时，ODE 面积的最大值为278【分析】（1）将点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数解析式求出m ，根据坐标中点公式求出点C 的横坐标即可；（2）由AC 两点坐标求出直线AB 的解析式为3342y x =-，设D 坐标为33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，则6,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到2327(1)88ODESa =--+，即可解答【详解】解：（1）把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)m y x x=>，得：324m =，解得：m=6，∵A 点横坐标为：4，B 点横坐标为0，故C 点横坐标为：4022+=， 故答案为：6，(2,0)；（2）设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+．将34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-． 因为点D 在线段AB 上，可设33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭， 因为//DE y 轴，交反比例函数图像于点E ．所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 所以当a =1时，ODE 面积的最大值为278． 【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．11．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是3秒． 【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;。
三角形中的面积问题(讲义)(含答案)
三角形中的面积问题（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________； （2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________； （3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCA2. 如图，Rt △ABC 的面积可以表示为_____________，还可以表示为_______________，根据面积的不同表达形式，可以得到a ，b ，c ，h 之间的数量关系为_______________________．b ach DBAC➢ 知识点睛1. 三角形中有关的面积问题常见特征以及操作举例：（1）利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比； 高相等时，面积比等于_____之比． （2）等面积法当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑_______解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．➢精讲精练1.如图，△ABC的面积是4，点D，E分别是BC，AD的中点，则△CED的面积是__________．B D2.如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若阴影部分的面积为3，则△ABC的面积是_________．3.如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF=12FD，CE=12EF，则△DEF的面积为（）A．12B．34C．827D．29ACDEFB4.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若三角形ABC的面积为12，则图中阴影部分面积是（）A．6 B．4 C．8 D．35. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，在AB 上取一点E ，连接DE 并延长，使FE :ED =2:1．若△BDE 的面积为20，则△CDF 的面积为_________．FEDA6. 如图，△ABC 的面积为40 cm 2，AE =ED ，BD =3DC ，则图中△AEF 的面积等于______cm 2．FED BA7. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4F ED CA8. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为_________．C 1B 1A 1CBA9. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_____．10.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBA11.如图，在△ABC中，点E是BC上一点，且EC=2EB，点D是AC的中点，AE，BD相交于点F，AF=3FE．若△ABC的面积为18，给出下列命题：①△ABE的面积为6；②△ABF的面积和四边形DFEC的面积相等；③点F是BD的中点；④四边形DFEC的面积为152．其中，正确的结论有________（填序号）．AB CDEF12.如图，△ABC，AD，CE，BF是△ABC的高，AB=5，BC=4，AD=3，则CE=________．B FD C A13. 如图，在△ABC 中，若AB =2 cm ，AC =3 cm ，BC =4 cm ，AD ，BF ，CE 为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．CEAF14. 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，点D 是边BC 上任意一点，若△ABC 的面积为65，则点D 到边AB ，AC 的距离之和等于（ ） A ．5B ．6.5C ．9D ．10MN DC B A15. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】➢课前预习1.（1）1:1；（2）2:1；（3）a:b2.12ab；12ch；ab=ch➢知识点睛1.（1）对应高；对应底；（2）等面积法➢精讲精练1. 12.83.D4. B5.306.15 77. B8.199. 110.3；1511.①③④12.12 513.3:4:614.D15.（1）72；（2）证明略．。
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：三角形的面积问题(附答案)
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：三角形的面积问题（附答案）1．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）A．5B．4C．3D．22．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线3．如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（）A．4B．3C．4.5D．3.54．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A．2B．C．3D．5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5B．4：5C．9：10D．15：166．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2B．1cm2C．cm2D．cm28．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25B．12.5C．9D．8.59．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（）A．B．1C．D．210．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（）A．9B．6C．4.5D．412．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝4cm2，则S的值为（）△ABCA．1cm2B．2cm2C．8cm2D．16cm213．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（）A．5B．6C．7D．814．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍15．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（）A．9B．6C．5D．316．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（）A．3：4B．4：3C．1：2D．2：117．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中△BFG与△CEG的面积和是．18．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．19．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是．20．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BEF＝cm2．21．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是．22．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是．23．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为．24．如图，在△ABC中，D、E分别为边BC，AC的中点，若S△ABC＝48，则图中三角形ADE 部分的面积是．25．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC＝8cm2，则图中△CEF的面积＝．26．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为．27．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝．28．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是cm．29．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△OCD＝2，S△OBE＝3，S△OBC＝4，则S△ABC＝．30．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是BC的三倍，则图中四边形ACED的面积为．31．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若△ABC 的面积S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝．32．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE 的面积为．33．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则三角形BEF部分面积等于cm2．34．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是．35．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC ＝24cm2，求△DEC的面积．36．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD边上的一点，且DE＝2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．当△APE的面积等于20cm2时，求点P运动的时间．38．（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，AE边上的高是；（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．39．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，求S△ABC．40．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S三角形ACM＝S三角形ABC，试求点M的坐标．41．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．参考答案1．解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A．2．解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选：A．3．解：解法一：∵AM和BN是中线，∴S△BNC＝S△ABC＝S△ABM，即S△ABO+S△BOM＝S△BOM+S四边形MCNO，S△ABO＝S四边形MCNO，∵△ABO的面积为4，∴四边形MCNO的面积为6﹣2＝4；解法二：如图连接MN，∵AM、BN是△ABC的两条中线，∴MN∥AB，∴△NAB的面积＝△MBA的面积，∴△AON的面积＝△BOM的面积＝2，∵△ABO的面积为4，∴△ABN的面积＝4+2＝6，∵N为中点，∴△BCN的面积＝△ABN的面积＝6，∴四边形MCNO的面积＝△BCN的面积﹣△BOM的面积＝6﹣2＝4，故选：A．4．解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴＝S△ABC，＝＝S△ABC，∴＝+＝2S△ABC，同理：＝2S△ABC，＝2S△ABC，∴△A1B1C1的面积＝+++S△ABC＝7S△ABC＝14．∴S△ABC＝2，故选：A．5．解：∵AD：DB＝CE：EB＝2：3，∴S△BDC：S△ADC＝3：2，S△BDE：S△DCE＝3：2，∴设S△BDC＝3x，则S△ADC＝2x，S△BED＝1.8x，S△DCE＝1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x＝9：10．故选：C．6．解：连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，∴△ABP的面积是4x．∴4x+x＝2y+x+y，解得y＝x．又∵4x+x＝，x＝．则四边形PDCE的面积为x+y＝．故选：B．7．解：S阴影＝S△BCE＝S△ABC＝1cm2．故选：B．8．解：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S▱EFGH＝EF•FG＝5×5＝25S△AED＝DE•AE＝×1×2＝1，S△DCH＝•CH•DH＝×2×4＝4，S△BCG＝BG•GC＝×2×3＝3，S△AFB＝FB•AF＝×3×3＝4.5．S四边形ABCD＝S▱EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB＝25﹣1﹣4﹣3﹣4.5＝12.5．故选：B．9．解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝9，∴S△ABE＝S△ABC＝×9＝4.5．∵AD＝2BD，S△ABC＝9，∴S△BCD＝S△ABC＝×9＝3，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．故选：C．10．解：C点所有的情况如图所示：故选：C．11．解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△ABD面积的，∴△ABE的面积＝18××＝18×＝4.5．故选：C．12．解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，∴S△BEC＝2S△BEF＝8（cm2），∴S△ABC＝2S△BEC＝16（cm2）．故选：D．13．解：∵D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E，F分别是边AD，AC上的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，S△DEF＝S△ADF，∴S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ADC＝S△ABC，S△BDE+S△DEF＝S△ADC+S△ABC＝S△ABC，∴S△ABC＝S阴影部分＝×3＝8．故选：D．14．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE．∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．故选：C．15．解：∵BD、CE均是△ABC的中线，∴S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．故选：C．16．解：∵AD、CE分别是△ABC的高，∴S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∵AD＝2，CE＝4，∴AB：BC＝AD：CE＝2：4＝．故选：C．17．方法1解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为4．方法2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△ABB1＝S△ABC＝1，S△A1AB1＝S△ABB1＝1，∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2，同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2，∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．19．解：∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ACD，∴S△ABC＝3S△ACD，∵E是AC的中点，∴S△AGE＝S△CGE，又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10，∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30．故答案为：30．20．解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．21．解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，∴S△ABE＝S△ABC，∵△ABC的面积是24，∴S△ABE＝×24＝6．故答案为：6．22．解：①点Q在AB边上时，∵AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，∴S△ABD＝BD•AD＝×5×5＝，∠B＝45°∵PQ⊥BC，∴BP＝PQ，设BP＝x，则PQ＝x，∵CD＝3，∴S△DCQ＝×3x＝x，S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD＝﹣×5×x＝﹣x，∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴x＝﹣x，解得：x＝，②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，∵AD⊥BC，垂足为D，∴Q'P'∥AD∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴AQ'＝CQ'∴DP'＝CP'＝CD＝1.5∵AD＝BD＝5，∴BP'＝BD+DP'＝6.5，综上所述，线段BP的长度是或6.5．故答案为或6.5．23．解：连接AE和CD，∵BD＝AB，∴S△ABC＝S△BCD＝1，S△ACD＝1+1＝2，∵AF＝3AC，∴FC＝4AC，∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2＝8，同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝2，则S△FCE＝4S△ACE＝4×2＝8；S△DCE＝2S△BCD＝2×1＝2；∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝8+8+2＝18．24．解：∵点D为BC中点，∴DC＝BC，∵△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，∴S△ADC＝S△ABC＝24，∵点E为AC中点，∴AE＝AC，∵△ADC与△ADE的AC，AE边上的高相同，∴S△ADE＝S△ADC＝12，故答案为：12．25．解：如图，∵E为AD的中点，∴S△ABC：S△BCE＝2：1，同理可得，S△BCE：S△EFC＝2：1，∵S△ABC＝8cm2，∴S△EFC＝S△ABC＝×8＝2（cm2）．故答案为：2cm2．26．解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2cm2，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△CDE＝×2＝1cm2，∴S△BEF＝（S△BDE+S△CDE）＝×（1+1）＝1cm2．故答案为：1cm2．27．解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝4．故答案为：4．28．解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，∴△ABC是直角三角形，∵S△ABC＝3×4÷2＝6cm2，∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，∴△ABC最大边上的高是2.4cm．29．解：连接DE，如图则有，，将已知数据代入可得S△DOE＝1.5，设S△ADE＝x，则由，，所以得方程：，解得：x＝6.3，所以四边形ADOE的面积＝x+1.5＝7.8．所以S△ABC＝2+3+4+7.8＝16.8．故填：16.8．30．解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝BC•h＝12cm2，∵平移的距离是BC的长的3倍，∴AD＝3BC，CE＝2BC，∴四边形ACED的面积＝（AD+CE）•h＝（3BC+2BC）•h＝5×BC•h＝5×12＝60（cm2）．故答案为：60cm2．31．解：如图，作DH∥AE交BC于H．∵DH∥AE，AD＝DC，∴EH＝CH，∵EC＝2BE，∴BE＝EH＝HC，∴S△ABE＝S△ABC＝8，S△ABD＝S△ABC＝12，∵EF＝DH，DH＝AE，∴EF＝AE，∴S△BEF＝×8＝2，S△ABF＝8﹣2＝6，∴S△ADF＝12﹣6＝6，∴S△ADF﹣S△BEF＝6﹣2＝4，故答案为4．32．解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10，∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝5，∵DE是△ADC的中线，∴S△ADE＝S△ADC＝×5＝2.5．故答案为：2.5．33．解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，∴S△BEF＝S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为1．34．解：∵BD＝2DC，∴S△CGD＝S△BGD＝×16＝8；∵E是AC的中点，∴S△CGE＝S△BGE＝6，∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE＝16+8+6＝30∴△ABC的面积是：30×2＝60．故答案为：60．35．解：作高线AM．∵S△ABC＝BC•AM，S△ADC＝CD•AM又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，∴S△ACD＝S△ABC＝12cm2．同理，S△CDE＝S△ACD＝6cm2．36．解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2，点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；（2）△ABC的面积＝×3×4＝6；（3）设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝，点P在y轴正半轴时，P（0，），点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．37．解：设点P运动的时间为ts．（1）如图1，当0＜t≤4时，S△APE＝×2t×6＝20，解得t＝（s）；（2）如图2，当4＜t≤7时，S△APE＝48﹣S△ADE﹣S△ABP﹣S△PCE，20＝48﹣×6×2﹣×8×（2t﹣8）﹣×6×（14﹣2t）解之得：t＝6（s）；（3）如图3，当7＜t≤10时，S△APE＝×6×（20﹣2t）＝20，解得t＝（s）．∵＜7，∴t＝应舍去综上，当t＝s或6s时，△APE的面积等于20cm2．38．解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE•CD＝3cm2，∵S△AEC＝AB•CE＝3cm2，∴CE＝3cm．故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．故答案为：（1）AB；（2）CD39．解：（1）延长EF交BC于G，∵∠BDC＝∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF＝∠B；（2）∵F是CD边上的中点，S△DEF＝4，∴S△DEC＝2S△DEF＝8，∵E是AC边上的中点，∴S△ADC＝2S△DEC＝16，∵D是AB边上的中点，∴S△ABC＝2S△ACD＝32．40．解：（1）∵|a+2|+＝0，∴a+2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．又∵点C（0，3），∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9．（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，又∵S△ACM＝S△ABC，∴AM•OC＝×9，∴|x+2|×3＝3，∴|x+2|＝2，即x+2＝±2，解得：x＝0或﹣4，故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．41．解：∵D是OC中点，C（0，6），∴D（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣8，0）、C（0，6），∴，∴，∴直线AC的解析式为：y＝x+6，直线BD的解析式为：y＝mx+n，∵B（6，0）、D（0，2），∴，∴，∴直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；解得，，∴E（﹣，），∴S四边形AODE＝S△ABE﹣S△OBD＝×14×﹣×6×3＝。
解三角形中的面积问题 (含解析)
解三角形中的面积问题一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·重庆高二期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2．（2020·湖南省长郡中学）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．2533．（2020·辽宁省高二期中）在ABC ∆中，面积()22S a b c =--，则sin A =（ ） A ．1517B ．817C ．1315D ．13174．（2020·内蒙古自治区集宁一中）在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，ABC ∆则•AB AC =（ ） A ．2±B ．4±C ．2D ．45．（2020·全国高二）如图，在ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126．（2020·安徽省池州一中）在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒==，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A B C D ．7．（2020·四川省阆中中学）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为( )AB ．1C D ．128．（2020·安庆市第二中学）在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．3B C D ．9．（2020·吉林省长春外国语学校高二）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，+a b 的值为（ ） A ．4B ．6C ．5D ．310．（2020·西藏自治区拉萨中学高二）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 为ABC 的面积，222sin()SA C b c +=-，且2=A+CB ，则C 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π11．（2020·河北省盐山中学）在ABC ∆中，已知2,1,AB AC A ==∠的平分线1AD =,则ABC ∆的面积（ ）A B C D 12．（2020·广州市广外附设外语学校）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足cos sin 0b A a B +=．2b c +=ABC ∆的面积为1，则边a =（ ）AB ．4C ．10D .二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．在ABC ∆中，若2,120b A ==，三角形的面积S =________.14．（2020·元氏县第一中学）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2A=B+C ，1b =，面积S ==a ________.15．（2020·黑龙江省鹤岗一中）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．16．已知△ABC 中，AB ＝9，∠BAC ＝60°，D 为边BC 上一点，且CD ＝2BD ，AD ＝ABC 的面积为______________.三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020·驻马店市基础教学研究室高二）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin sin A A B -. （1）求角C ；（2）若6A π∠=，ABC 的面积为M 为AB 的中点，求CM 的长.19．（2020·四川省双流中学高二）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．20．（2020·石嘴山市第三中学）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·重庆高二期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C【解析】由cos cos sin a B b A c C +=和正弦定理，得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=， 即sin(+)=sin sin A B C C ，即sin =1C ，0018090C C <<∴=，则由22211()24S ab b c a ==+-，得a b =，即045B =；故选C.2．（2020·湖南省长郡中学）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．253【答案】D【解析】：3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去）4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 3．（2020·辽宁省高二期中）在ABC ∆中，面积()22S a b c =--，则sin A =（ ） A ．1517B ．817C ．1315D ．1317【答案】B 【解析】根据1sin 2S bc A =，又2222cos a b c bc A =+-， 则()2222222cos 2S a b c a b c bc bc A bc =--=--+=-+，所以12cos 2sin 2bc A bc bc A -+=，化简得：sin 4cos 4A A =-+①，又22sin cos 1A A +=②，联立①②，得22sin 4cos 4sin cos 1A A A A =-+⎧⎨+=⎩，解得8sin 17A =.4．（2020·内蒙古自治区集宁一中）在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，ABC ∆则•AB AC =（ ） A ．2± B ．4±C ．2D ．4【答案】A【解析】11sin 42sin 2sin 22ABC S AB AC A A A ∆=⋅=⨯⨯⨯==,所以1sin ,cos 22A A ==±，所以cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=±，故选A.5．（2020·全国高二）如图，在ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】由题得11222ABCSBC ACsinC BC ACcosC tanC BC ACcosC =⋅=⋅⋅=⋅＝BC 2+AC 2﹣AB 2 ＝AC 2+BC 22()AD BD -+22222AC BC AD BD AD BD =+---⋅2222()()2AC AD BC BD AD BD =-+--⋅22=222()236CD AD BD CD AD BD -⋅=-⋅=⨯=6．（2020·安徽省池州一中）在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒==，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A．3BCD ．【答案】A 由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯= 解得4c =，又由余弦定理得22212cos116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+A. 7．（2020·四川省阆中中学）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为( )AB ．1 C．2D ．12【答案】C【解析】∵2sin 2sin a C A =，∴22a c a =，2ac =，因为()226a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC ∆= 8．（2020·安庆市第二中学）在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A．3B．3C．3D．【答案】A【解析】1sin 42ABC S bc A c ∆====，利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴=，正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ，故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
三角形中的面积问题(讲义及答案).
1. 如图，在△ABC 中， （1）若点 D 是 BC 的中点，则 S△ABD:S△ACD=__________； （2）若 BD:CD=2:1，则 S△ABD:S△ACD=__________； （3）若 BD:CD=a:b，则 S△ABD:S△ACD=__________．
5
【参考答案】 课前预习
1. （1）1:1； （2）2:1；
（3）a:b
2. 1 ab ； 1 ch ；ab=ch
2
2
知识点睛
1. （1）对应高；对应底； （2）等面积法
精讲精练
1. 1 2. 8 3. D 4. B 5. 30 6. 15
7 7. B 8. 19 9. 1 10. 3；15 11. ①③④ 12. 12
2. 如图，Rt△ABC 的面积可以表示为_____________，还可以表 示为_______________，根据面积的不同表达形式，可以得到 a，b，c，h 之间的数量关系为_______________________．
知识点睛
1. 三角形中有关的面积问题常见特征以及操作举例： （1）利用等分点转移面积 两个三角形底相等时，面积比等于_____之比； 高相等时，面积比等于_____之比． （2）等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑 _______解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8. 如图，对面积为 1 的△ABC 进行以下操作：分别延长 AB，BC， CA 至点 A1，B1，C1，使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA， 顺次连接 A1，B1，C1，则△A1B1C1 的面积为_________．
高中数学解三角形解答题专题训练含答案
解三角形解答题专题训练 2017.121．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ；，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积 综上，ABC ∆的面积为2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5，(Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180整理，得01cos 4cos 42=+-C C∵ ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故所以的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值. 解：（1得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 又sin sin()2sin cos C A B C C =+=， （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴11ab =，∴4．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为，求b a ,. 解：（1︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=6ABC △又∵是三角形的内角，∴又∵C 是三角形的内角，∴（2，∴4=ab ，又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a ，或0=-b a ， ∴2==b a .5．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积． （Ⅱ）当a 2,2sinA sinC ==时，由正弦定理，解得c 4=． 由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得 6．已知向量(sin m x =，(cos ,n x =-，且()f x m n =⋅.（1）求()f x 的单调递增区间；（2上有零点，求m 的取值范围.解：（1sin m n x =⋅=B则()f x 的递增区间为（2()g x 有零点，即函数与y m =图像有交点，由图象可得，m 的取值范围为7．如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，（Ⅰ）若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且，求DC . 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ， ∴ 3030120180=--=∠C ，∴ 60=∠B . （Ⅱ）设x DC =，则在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，，得2=x .故2=DC . 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围.又cos 0B ≠,又0B π<<,(2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-. 又01a <<,9．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 且cos2B+3cosB ﹣1=0． （1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的最小值．解：（1）在△ABC 中，∵cos2B+3cosB ﹣1=0， ∴2cos 2B+3cosB ﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3a 2﹣3a+1，其中0＜a ＜1， ∵f （a ）=3a 2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b ＜1，∴．10．已知ABC ∆中，a ，b，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b ，2c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根. （1）求角A 的大小；（2，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．解：（1）在中，依题意有：，∴2ABC ∆222b c a bc +=+(0)A π∈，∴2sin 2sin b B θ==，11．已知在△ABC 中，（1）若三边长a ，b ，c 依次成等差数列，sinA ：sinB=3：5， 求三个内角中最大角的度数； （2）若()22BA BC b a c ⋅=--，求cosB ． 解：（1）在△ABC 中有sinA ：sinB=3：5， ∴a ：b=3：5，设a=3k ，（k ＞0）则b=5k ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴c=7k ，∴最大角为C ，有cosC=()()()()()2223k 5k 7k 23k 5k +-⋅⋅=﹣，∴C=120° （2）由BA BC ⋅=b 2﹣（a ﹣c ）2 得：accosB=b 2﹣（a ﹣c ）2，即accosB=a 2+c 2﹣2accosB ﹣（a 2+c 2﹣2ac ），∴3cosB=2，∴cosB=． 12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的三边，22()a b c bc --=， (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)，角B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围. 解：(Ⅰ)由22()a b c bc --=，得222a b c bc --=-，又0A π<< ，(Ⅱ13．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围. 解：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+∴（2）由（1所以()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 14．在△中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若2=b ，求△面积的最大值.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin += 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= 得B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以(Ⅱ) ⊿ABC 的面积又ac c a 222≥+.，当且仅当c a =时，等号成立.因此⊿ABC 的面积的最大值为15．如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长.解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ∴在△ABD 中，∵45B ∠=， 60sin 45AD=， 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立． （1）求角A 的大小；（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．解：（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ()f A ，当()f x 取得最大值时，A 是三角形的内角，即0A π<<，∴（2）∵AM 是BC 边上的中线， ∴在△ABM ① 在△ACM ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得，∴2236b c <+≤，17．设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，(3n c =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为求边a 的值． 解：（1）∵0m n ⋅=，∴4分6 （2）由（1，又∵b a =，∴ ，在AMC ∆中，由余弦定理得：解得2x =，即2a =．18．在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径．解：（1）因为m ∥n ，所以02=--C b B c a cos cos ）（，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin()A B B C =+，（2）由（1）得，又1=b ，ABC ∆中B ac c a b cos 2222-+=得ac c a b -+=222即()2a 31c ac +=+，又因为()ac 4a 2≥+c ．得ac ac 431≥+即1≤ac ．所以当且仅当1==c a 时ABC S ∆最大值为19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则 ∵),0(π∈B ，∴（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由，∴ac c a 31)(2=-+ ∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ．又∵1=>+b c a ，∴△ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ． 20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.解：（1（2）在ACD ∆中，由21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BC BM 4=,且点P 为△BMN值．解：（1所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或又因为),0(π∈C ，所以建立坐标系，由（1），由BC BM 4=, ()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：三角形中的几何计算
考点 有关三角形 面积的计算
三角形的 综合问题
学习目标 掌握三角形的面积公式的 简单推导和应用 能够运用正、余弦定理解决 三角形中的一些综合问题
核心素养 逻辑推理、
数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P53 T10 和 P54 T18 两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．(√ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．(× ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
在△ABC 中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC 的值为( )
1
3
A.2
B. 2
由 0°<A<180°，知 A＝60°或 A＝120°.
在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC 的面积为
________．
解析：由siBnCA＝siAnBC，知 sin C＝1，则 C＝90°， 所以 B＝60°，
从而
S△ABC＝12AB·BC·sin
B＝
3 2.
答案：
3 2
与三角形面积有关的计算问题
1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC 中，角 A，B，C 所对
的边分别为 a，b，c，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积
等于( )
A．12
B．221
C．28
ห้องสมุดไป่ตู้
D．6 3
解析：选 D.在△ABC 中，由余弦定理可得 64＝49＋9－2×7×3cos C， 所以 cos C＝－17，所以 sin C＝473， 所以 S△ABC＝12absin C＝6 3，故选 D.
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
专题44：第8章几何中的最值问题之三角形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练(解析版)
44第8章几何中的最值问题之三角形的面积一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【答案】B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=12×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．如图，已知直线5-512y x=与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线5-512y x=的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令0y =，则12x =，令0x =，则5y =-，∴B （12，0），C （0，-5），∴OB=12，OC=5，BC=2222125OB OC +=+=13，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD ， ∴DM=8413， ∴圆D 上点到直线5-512y x =的最小距离是845821313-=， ∴△ABC 面积的最小值是1581329213⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC 的最大距离以及最小距离．4．如图，∠AOB ＝45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN ＝6，△OMN 的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．18【答案】B【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝12•MN•OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝12×4×4＝8，故选：B．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B 【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴==∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点评】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为AB 边上一点（不与点B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°，点C 的对应点为E ，连接BE ．若AB ＝6，则△BDE 面积的最大值为_________．【答案】818【分析】作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，根据AAS 证得EDN ≌DCM ，得出EN ＝DM ，然后解直角三角形求得AM ＝3，得到BM ＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，根据三角形面积公式得到S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在EDN和DCM中DEN CDMEND DMC90 ED DC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴EDN≌DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝12AC＝12⨯6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝12BD EN⋅＝12x（9﹣x）＝﹣12（x﹣4.5）2+818，∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为81 8，故答案为：81 8．【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．【答案】503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯．【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．【答案】2【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP 的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，∴只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，易知AD＝2，∵四边形ABCD的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD•OH+12•1•3，∴OH2，∴PH2﹣11，∴△CAD的面积最小值为22，∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（22）＝2．故答案为2+2．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=23，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．【答案】42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，可计算a的值，从而得结论．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，3，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a =， ∴△ADG 的面积的最小值为34233⨯=， 故答案为：42a -，233． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．10．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．【答案】152【分析】根据直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB 解析式；平移直线AB 到直线CD ，直线CD 当抛物线相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P 坐标；再利用勾股定理逆定理，证明ABP △为直角三角形，从而计算得到△ABP 面积的最小值．【解答】设直线AB 为y kx b =+∵直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴024k b b =-+⎧⎨-=⎩∴24k b =-⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 为24y x =--如图，平移直线AB 到直线CD ，直线CD 为2y x p =-+当2y x p =-+与抛物线1(2)(4)2y x x =--相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值∴()()21242y x py x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩∴22820x x p -+-=∴()44820p ∆=--= ∴72p =∴2210x x -+=∴1x =将1x =代入1(2)(4)2y x x =--，得32y = ∴31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()2223451224AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2231251424BP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2222420AB∴222AB AP BP +=∴ABP △为直角三角形，90BAP ∠= ∴113515=25222ABP AB A S P ⨯=⨯=△即△ABP 面积的最小值为152 故答案为：152． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线y ＝x 2-4x +3;（2）D(2，1)；（3）点P 的坐标为5(2，3)4- 【分析】（1）（1） 将A 、C 坐标代入即可；（2）由于BC 长度不变， 要周长最小， 就是让DB DC 最小， 而A 、B 关于对称轴对称， 所以AC 就是DB DC 的最小值， 此时D 点就是AC 与抛物线对称轴的交点；【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A ，点(4,3)C ，∴3016433ab a b ，解得14a b ==-⎧⎨⎩， 所以，抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）243(1)(3)y x x x x ，(3,0)∴B ，抛物线的对称轴为2x =； BC 长度不变，BD DC 最小时，BCD ∆的周长最小， A 、B 是关于抛物线对称轴对称的，∴当D 点为对称轴与AC 的交点时，BD DC +最小， 即BCD ∆的周长最小，如图，∴21x y x ，解得：21x y =⎧⎨=⎩，(2,1)D ∴，∴抛物线对称轴上存在点(2,1)D ，使BCD ∆的周长最小；（3）存在，如图，设过点P 与直线AC 平行线的直线为y x m =+，联立243yx m y x x， 消掉y 得，2530x x m ， 2(5)41(3)0m ， 解得：134m =-， 即134m =-时，点P 到AC 的距离最大，ACP ∆的面积最大， 此时52x =，5133244y ， ∴点P 的坐标为5(2，3)4-， 设过点P 的直线与x 轴交点为F ，则13(4F ，0)， 139144AF ， 直线AC 的解析式为1y x =-，45CAB ∴∠=︒，∴点F 到AC 的距离为9292sin 454AF ， 又223(41)32AC ， ACE ∴∆的最大面积122732288=⨯=． 【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【答案】（1）2‘（2）1；（3）（37．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求37，从而可得当37GCF的面积最小．【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠MGE ，∵HE ∥GF ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠AEH=∠MGF ，在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG ，∴△AHE ≌△MFG （AAS ），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2，因此S △FCG =12×FM×GC=12×2×（7-6）=1； （3）设DG=x ，则由（2）得，S △FCG =7-x ，在△AHE 中，AE≤AB=7，∴HE 2≤53，∴x 2+16≤53，∴37∴S △FCG 的最小值为37，此时37，∴当37FCG 的面积最小为（37．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) 3,3)Q -或()3,23或11311322⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313--+⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =， ∴CH 2则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②， 联立①②并解得：3x =±， 故点(3,23)Q -或()3,23-；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：113x -±=， 故点1133313,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 综上，点(3,23)Q -或()3,23-或113113,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标：（3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．【答案】（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得BO DF DO CF=，即1＝0x1y-＝()1x1-，据此求得x0的值即可得；（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝12DG•MN列出关于k的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，解得：a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），则y0＝（x0﹣1）2，如图1，过点C作CF⊥x轴，∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDO+∠CDF＝90°，∴∠BDO＝∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴BO DFDO CF=，∴1＝0x1y-＝()1x1-，解得：x0＝2，此时y0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0），如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝()21212x x 4x x +-＝()22k 4k +-＝|2﹣k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为（1，1），所以DG ＝1，∴S △PDQ ＝12DG•MN ＝12×1×|x 1﹣x 2|＝()212121x x 4x x 2+-＝12|2﹣k|， ∴当k ＝0时，S △PDQ 取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．【答案】45【分析】先证明△PEF ∽△BOC,得出PE EF PF BO OC BC ==，再根据122y x =-+，得出关于x 的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF 面积最大值． 【解答】解：设213,222P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(0<x<4)， 抛物线213222y x x =-++与y 轴交于C 点，故C(0,2)，∵PF ∥y 轴，PE ⊥BC ，∴∠PFE=∠BCO,又∵∠PEF=∠BOC=90°,∴△PEF ∽△BOC, ∴PE EF PFBO OC BC == ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC 的解析式为122y x =-+， 点1,22F x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴221312(2)22222P F x PF y y x x x x =-=-++--+=-+，∴PE=BO·PF BC =4×22221225524x x-+==+ ， EF=OC·PF BC =2×2222211122(2)2225524x x x x x x -+-+-==+ ， ∴221(2)1225PEF x x S PE EF -=⋅= =2221(2)(2)42520x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦=，当2x =时，PEF S △取值最大，∴PEF S △的最大值为244205=，故答案为45．【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x 的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．16．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON．便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．【解答】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧交于E点，④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PONPC PO CPH OPN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）12x <<；（2）22． 【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x ，BC=BN=3-x ，利用三角形三边关系可求得x 的取值范围；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h ，利用勾股定理表示出AD 、BD ，再根据BD=AB-AD 列方程求出h 2，然后求出△ABC 的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得2221AD AC CD h -=-=，2222(3)BD BC CD x h =-=--， ∵BD AB AD =-， ∴222(3)1x h x h --=--，两边平方并整理，得2134-=-x h x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当32x =时，ABC 面积最大值的平方为12， ∴ABC 面积的最大值为22． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【解答】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =2522MN ∴==最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大． 19．问题提出（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝16，则AC ＝ ；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝12 AC＝5；（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴2214425620AC AB BC=++=，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE AF=，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC ＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④222EF BE DF=+；⑤△ECF面积的最小值为273．其中所有正确结论的序号是______【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝23勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF 3EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为34．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△EFC是等边三角形，故①正确；∵∠ECF＝∠ACD＝60°，∴∠ECG＝∠FCD，∵∠FEC＝∠ADC＝60°，∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝12∠ABC＝30°，∴AO＝12AB＝3，BO3＝33∴BD＝3∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，∴BE3＝3，BM＝2EM，∴BM＝3同理可得DN＝23∴MN＝BD−BM−DN＝23∴BM＝MN＝DN，故③正确；∵△BEC ≌△AFC ，∴AF ＝BE ，同理△ACE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∵∠BAD≠90°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2不成立，∴EF 2＝BE 2＋DF 2不成立，故④错误，∵△ECF 是等边三角形，∴△ECF 面积的34EC 2， ∴当EC ⊥AB 时，△ECF 面积有最小值，此时，EC ＝33，△ECF 面积的最小值为2734，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223;y x x =--（2）当32t =时，S 有最大值278；（3）()()2,5,1,4-- 【分析】（1）根据抛物线上的对称点B 和E ，求出对称轴从而可求出C 点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A 代入求出a 值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H ，分别根据抛物线和直线AE 的解析式表示出点P 和点H 的坐标，从而求出线段PH 的长，最后用含t 的式子表示∆APE 的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点()()1,03,0,B E -、 ∴抛物线的对称轴为1,x =点()0,3A -，点()2,3C -抛物线表达式为()()()23123,.y a x x a x x =-+=-- 33a ∴-=-,解得1,a =∴抛物线的表达式为223;y x x =--()2如图,过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H由点,A E 的坐标得直线AE 的表达式为3,y x =-设点()2,23P t t t --，则(),3H t t - ()()22213333273233222228PAES PH OE t t t t t t ∆⎛⎫∴=•=--++=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当32t =时，S 有最大值278()3直线AE 表达式中的k 值为1,则与之垂直的直线表达式中的k 值为1-① 当90PEA ︒∠=时，直线PE 的表达式为1,y x b =-+将点E 的坐标代人并解得13b =,直线PE 的表达式为3,y x =-+联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ 解得2x =-或3（不合题意，舍去）故点P 的坐标为()2,5-② 当90PAE ︒∠=时，直线PA 的表达式为2,y x b =-+将点A 的坐标代人并解得23b =,直线PE 的表达式为3,y x =--联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=--⎩解得1x =或0（不合题意，舍去）故点()1,4P -综上，点P 的坐标为()2,5-或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣25；（3）(1，﹣2677)或(1，﹣4)【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣ka＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF ＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣ka＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，。
相似三角形与面积有关的问题-含详细参考答案
中考数学复习之相似三角形有关的面积问题（学案）知识与方法梳理 处理面积问题的三种方法 1. 公式法2. 割补法（分割求和，补形作差）3. 转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化； 探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比． 面积问题中的常见结构举例例1：如图，在Rt ABC △中，1D 是斜边AB 的中点.过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连接1BE 交1CD 于2D ，过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ，过3D 作33D E AC ⊥于3E ，连接3BE 交1CD 于4D …如此继续.11E BD 1S S ∆=22E BD 2S S ∆=33E BD 3S S ∆=nn E BD n S S ∆=则n S =____________ABC S △（用含n 的代数式表示）．32E 1D 4D 3D 2D 1CBA分析：题目中的相似三角形非常之多，三角形的面积关系也非常之多，这是面积问题同学们需要面对的第一大难题，处理好这些关系，才能最终解决问题； 解：1.易知E 1为AC 的中点，S ∆ABE1=12S ∆ABC ，D1为AB 的中点，S ∆BD1E1=12S ∆ABE1，故S ∆BDE =14S ∆ABC ；2. D 1E 1||BC ，1112D E AC =，故E 2为E 1C 的三等分点，12113BE E BCE S S ∆∆=，D 2为BE 1的三等分点，故222123BD E BE E S S ∆∆=，112BE C ABC S S ∆∆=，故2219BD E ABC S S ∆∆=3. 易知221123D E D E =,111AC 2D E =，故221AC 3D E =，D 3为BE 2的四等分点，231211212BE E BE E ABC S S S ∆∆∆==，，而33116BD E ABC S S ∆∆=；综合上述，猜想S n =21(1)ABCS n ∆+练习题1. 如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE △AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CDF 的面积为 ．FED CBA2. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．G ODCAE BF3. 如图，在梯形ABCD 中，AB △CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF 与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．474. 如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1△A 2B 2△A 3B 3，A 2B 1△A 3B 2△A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．12345.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP△BE，且AP=BE（点P，E在直线AB的同侧），若14BD AB，则△PBC的面积与△ABC的面积的比值是___________．ABCD EFPG6.如图，已知直线l1：y=23x+83与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:S△ABC=____________．7.已知：如图，DE是△ABC的中位线．点P是DE的中点，连接CP并延长交AB于点Q，那么S△DPQ:S△ABC=_________．QP EDC BA8.如图，在△ABC中，CE:EB=1:2，DE△AC．若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________．9.如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC，CE，EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC，DC，DE于点P，Q，K．若△DQK的面积为2，则图中阴影部分的面积为__________．10.如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM交于点F．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为___________．参考答案1．422．7 4 S3．C4．21 25．3 46．8:9 7．1:248．2 9 S9．26 10．30cm2。
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 16 解三角形中三角形面积和周长(边)的最值问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
【典例1】若π3A =，3a =，求ABC S 的最大值．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．9二、题型精讲精练一、知识点梳理【典例2】若π3A=，3a=，求ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．即ABC 周长的取值范围为(]6,9.【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c+的最小值．2．（2020·全国·统考高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题(1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.2.周长（边）的最值（范围）问题一、解答题【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
三角形面积通关100题 (含答案)
晦
． ．
，
面积为
晦
晦 ㄠ，则
′㠹
′㠹 的
的值为
′㠹 中，角 ，′，㠹 所对的边分别为 ， ， ，且
ㄠ ㄠ 䁪
晦 䁪 ， 晦 䁪 ㄠ， 为
晦 㠹 ㄠ，那么 晦 㠹t ， ′㠹 外接圆 ′㠹
15.
晦 ， 晦
′㠹 中，内角 ，′，㠹 所对的边长分别为 ， ， ，记 ，则 晦 ，cos′ 晦 ．
′㠹 的面积，若
′㠹
16. 在
半径为 ㄠ，则 晦 的面积是 ′㠹 中，
′㠹 的内角 ，′， 㠹 的对边分别为 ， ， ， ． ．
π ㄠ
晦 㠹t，面积
晦 㠹 ㄠ，
， ′ ， 㠹 的对边分别是 ， ， ，若 ′㠹 的面积为
， ㄠ
晦 ， 晦 ㄠ ， 㠹 晦 ㄠt ，则 ．
17. 在
′㠹 中， 晦 ， ′ 晦 ，，且
，则边 㠹 的长为
三角形面积通关 100 题 （含答案）
1. 在 为 为 3. 在 4. 在 ′㠹 中，角 ，′，㠹 所对的边分别为 ， ， ．若 ． ． ′㠹 中，若 ′㠹 中 ， ′ 晦 䁪 ， ′㠹 晦 㠹 ， 晦 䁪， 晦 㠹， 晦 㠹，则 ′㠹 ′㠹 的面积 的面积
2. 设 平 行 四 边 形
′㠹 晦 㠹t ， 则 平 行 四 边 形 ′㠹 的面积 晦 ．
′㠹 中，已知 ′ 晦 ， ㄠ，′㠹 晦 ㄠ，其面积
′㠹
晦 ㄠ ，，则 㠹 晦
π 䁪
． ′㠹 的面积为 㠹，
′㠹
晦 ， 晦 㠹， ′㠹 的面积为 ㄠ
㠹 边上的中线，且 ′ 晦 ㄠ，则
′㠹 的 面 积 最 大 值
39. 在 40. 晦
′㠹 面积的最大值为 ′㠹 的内 角 ．
三角形的面积(平行转化)(人教版)(含答案)
三角形的面积（平行转化）（人教版）一、单选题(共8道，每道10分)1.已知△ABC中，AB=10，BC=15，CA=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO的面积比是( )A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形面积问题2.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为( )A.4B.6C.8D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：面积处理思路（转化法）3.如图，边长分别为5，7，10的三个正方形放在一起，则其中四边形ABCD的面积是( )A.60B.72C. D.145答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：面积处理思路（割补法）4.如图，小正方形的边长为5cm，大正方形的边长为6cm，则阴影部分的面积为( )cm2．A.15B.C.18D.25答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：面积处理思路（转化法）5.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF的中点，正方形BEFG的面积为4，则△DEK的面积为( )A.4B.8C.12D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：面积处理思路（转化法）6.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：面积处理思路（转化法）7.如图，边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则图中阴影部分的面积是( )A.8B.4C.2D.不能确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形面积问题二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，一个边长为6的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ACE的面积是____．答案：18解题思路：试题难度：知识点：面积处理思路（转化法）10.四边形ABCD，四边形BEFG和四边形CHIJ均为正方形，正方形ABCD与正方形BEFG的边长分别为6和4，则图中阴影部分的面积是____．答案：6解题思路：试题难度：知识点：面积处理思路（转化法）第11页共11页。
高中数学解三角形面积周长问题训练(含解析)
解三角形面积周长问题一、解答题（共16题；共155分）1.（2021高一下·湖南期末）内角，，的对边分别为，，，，.（1）证明：；（2）若，求的周长.2.（2021高一下·玉林期末）在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.3.（2021高一下·湖南期末）已为c分别为三内角的对边，且（1）求.（2）若，的平分线，求的面积.4.（2021高一下·红桥期末）在△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，若.（1）求a ，c的值；（2）求△ABC的面积5.（2021高一下·天津期末）在中，角所对的边分别为，已知（1）若，求角A的大小；（2）若，求的面积．6.（2021高一下·山西期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，的面积为，求.7.（2021高一下·东丽期末）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．8.（2021高一下·重庆期末）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的值；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.9.（2021高一下·怀化期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，且.（1）求的大小；（2）若，的面积为，求的周长.10.（2021高一下·潍坊期末）在中，、、分别是角、、的对边，_______________，从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的周长．11.（2021高一下·红桥期末）在锐角△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，且.（1）求角A的大小：（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.12.（2021高一下·吉安期末）在中，、、分别是角、、的对边，．（1）求角的大小；（2）若，的周长为，求的面积．13.（2021高一下·河北期末）在① ，② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分线，且，求面积的最小值．14.（2021高一下·海南期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．15.（2021高一下·南昌期末）已知锐角的内角的所对边分别为，其中，.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）求面积的最大值．16.（2021高一下·赣州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，设为直线上一点.（1）求角的大小：（2）若，求面积的最大值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）由，可得，所以，所以为锐角，，所以，由正弦定理可得.（2）由（1）知，所以，设，，，则，解得，所以的周长为.（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，再利用sinB>sinA,【解析】【分析】则，所以为锐角，再结合同角三角函数基本关系式求出角A的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合两角和的正弦公式，从而求出角C的正弦值，再利用正弦定理证出。
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例题：(2018·苏州调研测试三)已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a ＋1
a ＋4cos C ＝0，
b ＝1.
(1)若△ABC 的面积为3
2，求a ； (2)若A ＝π
6，求△ABC 的面积．
变式1在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B. (1)若a ＝2，B ＝π
12，试求△ABC 的面积； (2)若△ABC 中的面积S ＝a 2
4，求角A 的大小．
变式2已知在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足c ＋a ＝2b ，5(c －a)＝2b.
(1)若△ABC 的面积为157
4，求a 的值； (2)若a ＝37
sin C ，求△ABC 的面积．
串讲1(2018·北京西城模拟)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知3a·
sin C ＝c·sin 2A. (1)求∠A 的大小；
(2)若a ＝7，b ＝23，求△ABC 的面积．
串讲2(2018·苏州期中)设△ABC 角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 的面积最大值为________________．
(2018·全国Ⅲ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝________________．
(2018·苏北四市)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝3
5，tan (B －A)＝1
3.
(1)求tan B 的值；
(2)若c ＝13，求△ABC 的面积． 答案：(1)3；(2)78.
解析：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝4
5， 所以tan A ＝sin A cos A ＝4
3，2分
所以tan B ＝tan [(B －A)＋A]＝tan （B －A ）＋tan A 1－tan （B －A ）·tan A .＝13＋4
3
1－13×43＝3.6分
(2)在三角形ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝10
10，8分 由sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1310
50，10分 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝13×310
10
131050
＝15，12分
所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝
12×15×13×4
5＝78.14分
例题
答案：(1)7；(2)32或3
4.
解法1(1)由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32得a sin C ＝3，即sin C ＝3a .又a ＋1
a ＝－4cos C ，那么(a ＋1a )2＝16cos 2C ＝16(1－sin 2C)＝16－48
a 2，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2
＝7，即有a ＝7.
(2)由题意有a ＋1a ＝－4cos C 及余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 有a ＋1
a ＝－4·a 2＋
b 2－
c 22ab ＝ －2（a 2＋1－c 2）
a ，即a 2＋1＝ 2
3c 2
，①
又由b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A 可知c 2－a 2
＋1＝3c ，②
由①②得到c 2
－33c ＋6＝0，亦即(c －3)(c －23)＝0，可知c ＝3或c ＝2 3.
经检验，c ＝3或c ＝23均符合题意； 那么，△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝32或3
4. 解法2(1)a ＋1
a ＋4cos C ＝0得， －a cos C ＝14(a 2
＋1)，①
又由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝3
2可得a sin C ＝3，②
由①②平方相加得a 2
＝1
16(a 2＋1)2＋3，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2
＝7，即有a ＝7.
(2)如图，
HC ＝BC·cos ∠BCH ＝－a cos ∠BCA ，由(1)HC ＝1
4(a 2＋1)，在Rt △BHA 中，cos A ＝14（a 2
＋1）＋1c
＝3
2，化简得a 2
＋5＝23c ，③ 又由a ＋1a ＋4cos C ＝0可得：a ＋1a ＋4（a 2＋b 2－c 2）2ab ＝0，又b ＝1，所以a 2＝2
3c 2
－1，④ 由③④可得c 2
－33c ＋6＝0(下面同解法1 )．。