高中三角形中的面积问题(含答案)
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例题：(2018·苏州调研测试三)已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a ＋1
a ＋4cos C ＝0，
b ＝1.
(1)若△ABC 的面积为3
2，求a ； (2)若A ＝π
6，求△ABC 的面积．
变式1在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B. (1)若a ＝2，B ＝π
12，试求△ABC 的面积； (2)若△ABC 中的面积S ＝a 2
4，求角A 的大小．
变式2已知在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足c ＋a ＝2b ，5(c －a)＝2b.
(1)若△ABC 的面积为157
4，求a 的值； (2)若a ＝37
sin C ，求△ABC 的面积．
串讲1(2018·北京西城模拟)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知3a·
sin C ＝c·sin 2A. (1)求∠A 的大小；
(2)若a ＝7，b ＝23，求△ABC 的面积．
串讲2(2018·苏州期中)设△ABC 角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 的面积最大值为________________．
(2018·全国Ⅲ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝________________．
(2018·苏北四市)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝3
5，tan (B －A)＝1
3.
(1)求tan B 的值；
(2)若c ＝13，求△ABC 的面积． 答案：(1)3；(2)78.
解析：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝4
5， 所以tan A ＝sin A cos A ＝4
3，2分
所以tan B ＝tan [(B －A)＋A]＝tan （B －A ）＋tan A 1－tan （B －A ）·tan A .＝13＋4
3
1－13×43＝3.6分
(2)在三角形ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝10
10，8分 由sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1310
50，10分 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝13×310
10
131050
＝15，12分
所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝
12×15×13×4
5＝78.14分
例题
答案：(1)7；(2)32或3
4.
解法1(1)由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32得a sin C ＝3，即sin C ＝3a .又a ＋1
a ＝－4cos C ，那么(a ＋1a )2＝16cos 2C ＝16(1－sin 2C)＝16－48
a 2，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2
＝7，即有a ＝7.
(2)由题意有a ＋1a ＝－4cos C 及余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 有a ＋1
a ＝－4·a 2＋
b 2－
c 22ab ＝ －2（a 2＋1－c 2）
a ，即a 2＋1＝ 2
3c 2
，①
又由b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A 可知c 2－a 2
＋1＝3c ，②
由①②得到c 2
－33c ＋6＝0，亦即(c －3)(c －23)＝0，可知c ＝3或c ＝2 3.
经检验，c ＝3或c ＝23均符合题意； 那么，△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝32或3
4. 解法2(1)a ＋1
a ＋4cos C ＝0得， －a cos C ＝14(a 2
＋1)，①
又由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝3
2可得a sin C ＝3，②
由①②平方相加得a 2
＝1
16(a 2＋1)2＋3，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2
＝7，即有a ＝7.
(2)如图，
HC ＝BC·cos ∠BCH ＝－a cos ∠BCA ，由(1)HC ＝1
4(a 2＋1)，在Rt △BHA 中，cos A ＝14（a 2
＋1）＋1c
＝3
2，化简得a 2
＋5＝23c ，③ 又由a ＋1a ＋4cos C ＝0可得：a ＋1a ＋4（a 2＋b 2－c 2）2ab ＝0，又b ＝1，所以a 2＝2
3c 2
－1，④ 由③④可得c 2
－33c ＋6＝0(下面同解法1 )．