高数九大曲面方程总结
曲面方程一般表达式
曲面方程一般表达式
曲面方程是描述三维空间中曲面的数学公式。
一般来说，曲面方程可以用一般表达式来表示。
一般表达式是指一个包含三个变量x、y、z的二次方程，其形式为：
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
这个方程描述了一个三维空间中的曲面，它的形状和大小取决于方程中的系数。
例如，当A、B、C都为正数时，曲面是一个椭球体；当A、B、C中有一个为0时，曲面是一个抛物面或一个圆锥面；当A、B、C中有两个为0时，曲面是一个平面或一个圆柱面。
曲面方程的一般表达式可以用来解决许多实际问题。
例如，在物理学中，曲面方程可以用来描述电场、磁场、重力场等物理现象；在工程学中，曲面方程可以用来设计汽车、飞机、船舶等产品的外形；在计算机图形学中，曲面方程可以用来生成三维模型，实现真实感渲染等。
曲面方程的求解是一个复杂的数学问题。
一般来说，可以通过数值计算或解析方法来求解。
数值计算是指通过计算机程序来求解方程的数值解，这种方法适用于一般表达式比较简单的情况。
解析方法
是指通过数学推导来求解方程的解析解，这种方法适用于一般表达式比较复杂的情况。
曲面方程的一般表达式是描述三维空间中曲面的重要工具，它在许多领域都有广泛的应用。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面方程及其方程
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
z x2 y2 cot
o y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶双曲面
绕z轴旋转而成的曲面：
x
2
a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
x2 a2
y2 c2
z
母线 L
oo
x
准线C'
y
准线C
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征
方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量)
如：F ( x, y) 0
z
表示母线 // z 轴的柱面. 事实上， M( x, y, z) 过点M 作垂直于 xoy 面 的垂线，则此垂线与 C 的交点M1(x, y, 0)的坐标 必满足 ：F ( x, y) 0.
F(x, y, z) 0
z
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
S
曲面的实例：
oy
水桶的表面、台灯的罩子面等． x
高等数学曲面及其方程-2022年学习资料
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线一-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。-心
1、yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程：-设y0z面的曲线C:fy,z=0，点M10y121在曲线C -则f6y1,z=0-4-M0,y1,z1->Mx,y,ES,z=Z.-M点到z轴的距离d=Vx2+y2= 1-M0,y1,31-将z1=z,y1=±Vx2+y2代入（4得Mx,z}-ft2+y,=0-5-就是所求 转曲面的方程.
思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？-M-C:fy,z=0-X-------------------fy ±Vx2+z2=0
2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变-1oz平面上的母线C:f0,2=0-绕0z轴旋转得旋转曲面-x=0±Vx2+y2,z=0-2.oz平面上的母线C:fy2=0-绕oy轴旋转得旋转曲面-fy,±Vx2+z2= -3.xoy平面上的母线C:-fx,y=0-绕ox轴旋转得旋转曲面-1z=0-fx,±Vy2+z2=0
例2求到A1,2,3,B2,-1,4两点距离相等的点的轨迹方程.-解：设轨迹上的动点为Mx,y,z-有MA MB-即Vx-12+0-2+-3-=Vx-2}+6+1+-4-整理得2x-6y+2z-7=0-线段AB的垂 平分面-即为所求点的轨迹方程
各种曲面的标准方程
各种曲面的标准方程《各种曲面的标准方程（一）》嘿，朋友们！今天咱们来聊聊各种曲面的标准方程。
比如说，大家都知道的球面方程。
想象一下，一个完美的皮球，它表面上的每一个点到球心的距离都是相等的。
如果球心在原点，半径是 r ，那它的方程就是x² + y² + z² = r² 。
再举个例子，有一个旋转抛物面。
就好像把一个抛物线绕着它的对称轴转了一圈，得到的这个面的方程是z = x² + y² 。
是不是觉得挺有意思的？其实这些方程在我们生活中也有不少应用呢。
比如建筑师在设计圆形的建筑时，就会用到球面方程来计算相关的数据。
各种曲面的标准方程虽然看起来有点复杂，但只要我们多想想实际的例子，就能更好地理解啦！《各种曲面的标准方程（二）》亲爱的小伙伴们，咱们接着讲讲各种曲面的标准方程。
先来说说椭圆抛物面，它的方程像x² / a² + y² / b² = z 这样。
打个比方，就像一个碗的形状。
还有双曲抛物面，方程是x² / a² y² / b² = z ，看起来有点特别。
比如说，在一些大型的桥梁设计中，工程师们就得考虑这些曲面的方程，来保证桥梁的稳固和美观。
想象一下，如果没有这些标准方程，那我们的世界可能就没有那么多奇妙的建筑和结构了。
所以啊，别小看这些方程，它们的作用可大着呢！《各种曲面的标准方程（三）》朋友们，今天咱们继续探索各种曲面的标准方程。
比如说圆柱面，它的方程如果母线平行于 z 轴，那就是x² + y² = r² 。
还有圆锥面，方程是x² + y² = z² 。
给大家讲个小故事，有一次我去参观一个工厂，看到一个巨大的圆柱形的储存罐，当时我就在想，这就是圆柱面方程在实际中的应用啊！这些曲面方程在制造业、航空航天等领域都有着至关重要的作用。
曲面及其方程,二次曲面
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
41
f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
四、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
35
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
36
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
f ( y, z) 0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
40
问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
z2 c2
1
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
曲面、曲线及其方程
03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常 由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
THANKS
感谢观看
曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲 面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用
几种常见的曲面及其方程
二、二次曲面 三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准下方面程仅, 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(x 2)2 y2 (z 1)2 5.
对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）, 半径5为的球面.
三、柱面
z
引例. 分析方 x2 y2 R2
表程示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2 y2 R2 表示圆C, C o
y
在圆C上任取一M1 (x, y, 0) , 过此点 x M1
平点行z轴的直线l, 对任意z,点M作(x, y, z)
l
的坐标也满足方 x2 y2 R2
程沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面
柱称面为.其圆上所有点的坐标都满足此 故在空
方程,x2 y2 R2 表示圆柱 间
面
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l
给定 yoz 面上曲线 C:f (y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1 ) 0
C
当绕 z 轴旋转 该点转到 时M,(x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
M (x, y, z)
o
M1 (0, y1, z1 )
y
故旋转曲面方程为
母线平行于 y 轴;
x
曲面及其方程部分
故所求方程为 2 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
M0
o
特别,当M0在原点时,球面方程为
M
y
x y z R
2 2 2
2
x
表示上(下)半球面 .
6
例2 研究方程 表示怎样的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0),
30
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x y z ( p , q 同号) 2 p 2q
z o x
31
2
2
y
内容小结
1. 空间曲面
2
三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2
• 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) =R
• 柱面 如,曲面 F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. • 旋转曲面 f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z
z c
22
x y z 2 2 1 (a , b, c 为正数) 2 a b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
2 2 y z x y 2 2 1 2 2 1, c , b b a x0 z0
2 2
x y z 2 2 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c
2 2 2
z
o
y
平面 y y1 上的截痕为双曲线
x
平面 x x1 上的截痕为双曲线
平面 z z1 ( z1 c )上的截痕为椭圆
曲面及其方程
绕 x轴旋转 绕 z 轴旋转
2
x y +z − =1 a c
2 2 2
2 2
x曲面都叫做旋转双曲面. 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 旋转双曲面
y z + =1 (2) 椭圆a c 绕 y 轴和 z 轴： x=0
2 2 2 2
例3 已知 A(1,2,3) , B(2,−1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程 .
解 设 M( x, y, z) 是所求平面上的任一点 ， 根据题意有 | MA |=| MB |,
( x − 1) + ( y − 2) + (z − 3)
2 2
2
=
( x − 2) + ( y + 1) + (z − 4) ,
绕 y 轴旋转
y x +z + =1 a c
2 2 2 2 2
绕 z 轴旋转
x +y z + 2 =1 2 a c
2 2 2
2
这两种曲面都叫做旋转椭球面. 这两种曲面都叫做旋转椭球面. y = 2 pz (3)抛物线 (3)抛物线 绕 z 轴： x=0
x2 + y2 = 2 pz 旋转抛物面
2 2 2 0 0 0
所求方程为 ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = R
2 2 2 0 0 0
2 2 2
2
特殊地：球心在原点时, 特殊地：球心在原点时, 方程为 x + y + z = R .
2
例2 求与原点O 及 M (2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 的点的全体所组成的曲面的方程 .
高等数学：曲面方程解析
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
2019年12月19日星期四
4
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例2 研究方程 的曲面. （课本 例3）
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
例如 :
2019年12月19日星期四
6
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0. 3:方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
高等数学：曲面及其方程
⾼等数学：曲⾯及其⽅程§6．5曲⾯及其⽅程⼀、曲⾯⽅程的概念⼆、旋转曲⾯三、柱⾯曲⾯的⽅程、研究曲⾯的两个基本问题旋转曲⾯、旋转曲⾯的⽅程锥⾯的⽅程球⾯的⽅程柱⾯、柱⾯的准线和母线柱⾯⽅程的特征四、常见的⼆次曲⾯⼀、曲⾯⽅程的概念在空间解析⼏何中，任何曲⾯都可以看作点的⼏何轨迹．与三元⽅程F(x，y，z)?0F(x，y，z)?0有下述关系：(1)曲⾯S上任⼀点的坐标都满⾜⽅程F(x，y，z)?0；OxyzS在这样的意义下，如果曲⾯SM(x，y，z)(2)不在曲⾯S上的点的坐标都不满⾜⽅程F(x，y，z)?0，那么，⽅程F(x，y，z)?0就叫做曲⾯S的⽅程，⽽曲⾯S就叫做⽅程F(x，y，z)?0的图形．(x，y，z)OzxyM0RM例1建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．解设M(x，y，z)是球⾯上的任⼀点，那么|M0M|?R．由于|M0M|所以?R，或(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．这就是建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．特殊地，球⼼在原点O(0，0，0)、半径为R的球⾯的⽅程为x2?y2?z2?R2．例2设有点A(1，2，3)和B(2，?1，4)，求线段AB的垂直平分⾯的⽅程．解由题意知道，所求的平⾯就是与A和B等距离的点的⼏何轨迹．设M(x，y，z)为所求平⾯上的任⼀点，由于|AM|?|BM|，所以等式两边平⽅，然后化简得2x?6y?2z?7?0．这就是线段AB的垂直平分⾯的⽅程．OzxyABM解通过配⽅，原⽅程可以改写成(x?1)2?(y?2)2?z2?5．研究这⽅程所表⽰的曲⾯的形状．研究曲⾯的两个基本问题：(1)已知⼀曲⾯作为点的⼏何轨迹时，建⽴这曲⾯的⽅程；(2)已知坐标x、y和z间的⼀个⽅程时，例3⽅程x2?y2?z2?2x?4y?0表⽰怎样的曲⾯？这是⼀个球⾯⽅程，球⼼在点M 0(1，?2，0)、⽐较：球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．，⼀般地，设有三元⼆次⽅程Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0，这个⽅程的特点是缺xy，yz，zx各项，⽽且平⽅项系数相同，只要将⽅程经过配⽅就可以化成⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．的形式，它的图形就是⼀个球⾯．⼆、旋转曲⾯以⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周所成的曲⾯叫做旋转曲⾯，这条定直线叫做旋转曲⾯的轴．设M1(0，y1，z1)为曲线C上的任⼀点，设在yOz坐标⾯上有⼀已知曲线C，它的⽅程为f(y，z)?0，把这曲线绕z轴旋转⼀周，就得到⼀个以z轴为轴的旋转曲⾯．它的⽅程可以求得如下：这时z?z1保持不变，且点M到z轴的距离为f(y1，z1)?0．当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴转到另⼀点M(x，y，z)，这就是所求旋转曲⾯的⽅程．Ozxy|y1|那么有CM1(0,y1,z1)M便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程．同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程为所以只要将⽅程z?ycot?中的y改成例4试建⽴顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶⾓为?的圆锥⾯的⽅程．解在yOz坐标⾯点，直线L的⽅程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，就得到所要求的圆锥⾯的⽅程或其中a?cot?．z2?a2(x2?y2)，Oxyza解绕x轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为例5将xOy坐标⾯上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转⼀周，求所⽣成的旋转曲⾯的⽅程．Oxyz这两种曲⾯都叫做旋转双曲⾯．绕z轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为Oxyz三、柱⾯例6⽅程x2?y2?R2表⽰怎样的曲⾯？解⽅程x2?y2?R2在xOy⾯上表⽰圆⼼在原点O、半径为R的圆．在空间直⾓坐标系中，这⽅程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满⾜这⽅程，那么这些点就在这曲⾯上．因此，过xOy⾯上的圆x2?y2?R2，且平⾏于z轴的直线⼀定在x2?y2?R2表⽰的曲⾯上．RRx2?y2?R2Oxyz所以这个曲⾯可以看成是由平⾏于z轴的直线l沿xOy⾯上的圆x2?y2?R2移动⽽形成的．l柱⾯：平⾏于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱⾯，定曲线C叫做柱⾯的准线，动直线L叫做柱⾯的母线．OxyzCL母线准线其准线是xOy⾯上的曲线C：F(x，y)?0．上⾯我们看到，不含z的⽅程x2?y2?R2在空间直⾓坐标系中表⽰圆柱⾯，它的母线平⾏于z轴，它的准线是xOy⾯上的圆x2?y2?R2．⼀般地，只含x、y⽽缺z的⽅程F (x，y)?0，在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，它的准线是xOy⾯上的抛物线y2?2x，该柱⾯叫做抛物柱⾯．⼜如，⽅程x?y?0表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，其准线是xOy⾯的直线x?y?0，所以它是过z轴的平⾯．Oxyzx?y?0yOxzy2?2x例如，⽅程y2?2x表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，类似地，只含x、z⽽缺y的⽅程G(x，z)?0和只含y、z⽽缺x的⽅程程H(y，z)?0分别表⽰母线平⾏于y轴和x轴的柱⾯．例如，⽅程x?z?0表⽰母线平⾏于y轴的柱⾯，其准线是zOx⾯上的直线x?z?0．所以它是过y轴的平⾯．四、常见的⼆次曲⾯定义:三元⼆次⽅程所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯.（1）椭球⾯（2）椭圆抛物⾯（3）马鞍⾯（4）单叶双曲⾯（5）圆锥⾯。
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
高数 空间曲面讲解
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
下面考虑母线为平面曲线的情形 ,把曲线所的 平面取作坐标面 ,把旋转轴取作坐标轴 .
设 yoz 面上的一条曲线 L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0
L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面 (如图6.9).
求该旋转面的方程 .
z
设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点 ,将该点旋转
P1(0,y1,z1) P(x, y, z)
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
所表示的曲面称为 单叶双曲面 .
o
y
它关于三个坐标面对称，关于 x 三个坐标轴和坐标原点都对称 .
称为 准线 .（图 6.1）
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)
§7.3曲面及其方程高数详解
设M1(0, y1, z1)为母线上任意点, 则有 f (y1, z1) = 0
当母线绕z轴旋转时, 点M1绕 z 轴旋转到曲面的另一点M(x, y, z),
2. 椭球面:
x2 y2 z2 1. a2 b2 c2
我们先用截痕法研究椭球面的形状:
由椭球面的方程可知: | x | a, | y | b, | z | c.
分别用平行于三个坐标面的平面 z=h, y=m, x=n截
曲面, 其中| n | a, | m | b, | h | c.
z c
c
当平面 z=c上下移动时, 得到一系列圆.
其圆心在(1, 2, c), 半径为 1 c .
o
y
曲面的最低点为(1, 2, -1), 由平 x 面z=–1截得, 截圆的半径随c的增大
而无限增大, 图形向上无限伸展.
以上几例表明研究空间曲面有两种基本方法:
(1) 已知曲面作为点的轨迹(即几何特性)时, 求曲
x2 y2 z2 R2. 例2: 求与原点O及M(2, 3, 4)的距离之比为1:2的 点的全体所组成的曲面的方程. 解: 设M(x, y, z)是曲面上任一点, 根据题意有
| OM | 1 , | M0M | 2
即
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
整理化简, 所求方程为
2q
2p
z
截痕法
用z = h截曲面
用y = n截曲面
用x = m截曲面
0
y
x
当p>0, q>0时, 椭圆抛物面开口向上, 当p<0, q<0时, 椭圆抛物面开口向下.
曲面方程、曲线方程
曲线的几何性质
曲线的方程
曲线可以用一个或两个变量来表示，常见的曲线 方程包括直线、圆、抛物线等。
曲线的形状
根据方程的系数和常数项，可以确定曲线的形状。
曲线的长度
对于可求长的曲线，可以使用参数方程来计算其 长度。
交线的几何性质
交线的方程
当两个曲面或曲线相交时，交线可以用一个或两个变量来表示。
交线的形状
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的形状。
交线的位置关系
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的位置关系，如相交、 相切或相离。
05
曲面与曲线的解析几何 基础
解析几何的基本概念
点的坐标
在解析几何中，点的位置由坐标确定，通常采用二维或三维直角 坐标系。
向量与标量
向量表示大小和方向，标量只有大小。
它通常由两个或三个变量（x, y, z） 表示，并满足一定的条件或等式。
曲面方程的分类
根据方程的复杂性和形式，曲 面方程可以分为多种类型，如 平面、球面、旋转曲面、柱面 等。
每种类型的曲面方程都有其特 定的几何意义和形状特征。
例如，平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz = D，球面方程 的一般形式为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
在物理模拟中，交线可用于描 述物体的运动轨迹和碰撞过程
。
计算机图形学
在计算机图形学中，交线可用 于绘制三维场景和模拟光线追
踪等效果。
04
曲面与曲线的几何性质
曲面的几何性质
曲面方程的表示
曲面可以用方程组来表示，其中包含两个或三 个变量。
曲面上的点
高数讲义第五节 曲面及其方程(一)
o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R
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高数九大曲面方程总结
1. 一次曲面方程
一次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数均为1。
一次曲面方程的一般形式可以表示为：
Ax+By+Cz+D=0
其中A,B,C和D为常数。
一次曲面方程描述了一个平面，可以通过平面上的一点和法向量来确定。
平面的法向量可以通过将x,y和z的系数标准化得到。
2. 二次曲面方程
二次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数为2。
二次曲面方程的一般形式可以表示为：
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0
其中A,B,C,D,E,F,G,H,I和J为常数。
二次曲面方程可以描述各种曲面，例如椭球面、双曲面和抛物面。
通过适当选择系数，可以调整曲面的形状和方向。
3. 椭球面方程
椭球面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之和相等。
椭球面方程的一般形式可以表示为：
$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$
其中a,b和c是椭球面的半轴。
椭球面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转椭球面、长轴与x轴平行的旋转椭球面和长轴与y轴平行的旋转椭球面。
通过合适选择系数，可以调整椭球面的大小和形状。
4. 双曲面方程
双曲面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之差相等。
双曲面方程的一般形式可以表示为：
$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$$
或
$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$
其中a,b和c是双曲面的半轴。
双曲面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转双曲面、长轴与x轴平行的旋转双曲面和长轴与y轴平行的旋转双曲面。
通过合适选择系数，可以调整双曲面的大小和形状。
5. 抛物面方程
抛物面是一个光滑的曲面，其所有点到一个固定点（焦点）的距离等于到一个固定直线（准线）的距离。
抛物面方程的一般形式可以表示为：
y=Ax2+Bx+C
其中A,B和C为常数。
抛物面可以分为三种类型：开口朝上的抛物面、开口朝下的抛物面和侧开口的抛物面。
通过合适选择系数，可以调整抛物面的大小和形状。
6. 椭圆抛物面方程
椭圆抛物面是一个光滑的曲面，其所有点到一个固定点（焦点）的距离等于到一个固定直线（准线）的距离。
椭圆抛物面方程的一般形式可以表示为：
$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = z$$
其中a和b为椭圆抛物面的半轴。
椭圆抛物面是一个在z轴上打开的抛物面，其在x和y方向上都有椭圆截面。
通过调整半轴的大小，可以调整椭圆抛物面的大小和形状。
7. 双曲抛物面方程
双曲抛物面是一个光滑的曲面，其所有点到一个固定点（焦点）的距离等于到一个固定直线（准线）的距离。
双曲抛物面方程的一般形式可以表示为：
$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = z$$
或
$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = -z$$
其中a和b为双曲抛物面的半轴。
双曲抛物面是一个在z轴上打开的抛物面，其在x和y方向上都有双曲线截面。
通过调整半轴的大小，可以调整双曲抛物面的大小和形状。
8. 球面方程
球面是一个光滑的曲面，其所有点到一个固定点（球心）的距离相等。
球面方程的一般形式可以表示为：
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2
其中(a,b,c)为球心的坐标，r为球面的半径。
球面是一个旋转的曲面，其截面为圆。
通过调整球心的坐标和半径，可以调整球面的位置和大小。
9. 圆锥面方程
圆锥面是一个光滑的曲面，其在一个点（顶点）之外的每个点到顶点的距离相等。
圆锥面方程的一般形式可以表示为：
x2+y2=z2
圆锥面是一个旋转的曲面，其在x,y平面上有一个圆作为截面。
通过调整方程中的系数，可以调整圆锥面的形状，例如通过改变z轴的倾斜度来创建椭圆锥面。
以上是高数中九大常见的曲面方程。
了解这些曲面方程有助于我们理解空间几何和高级数学中的曲面概念。