数值分析matlab完整版实验报告

《数值分析》报告运用Matlab求解非线性方程的根

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1. 目的

掌握非线性方程求根的方法，并选取实例运用MATLAB 软件进行算法的实现，分别用牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程的根。

2. 报告选题

报告选取《数值分析（第四版）》290页习题7作为研究对象，即求

3()310f x x x =--=在02x =附近的根。根的准确值* 1.87938524...x =，要求结果准确到四位有效数字。

（1） 用牛顿法；

（2） 用弦截法，取02x =，1 1.9x =； （3） 用抛物线法，取01x =，13x =，22x =。

3. 理论基础 (1) 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

1()

,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-

=

其迭代函数为

()

()'()f x x x f x ϕ=-

牛顿迭代法的收敛速度，当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时，容易证明,'(*)0f x ≠，

''(*)

''(*)0

'(*)f x x f x ϕ=≠，牛顿迭代法是平方收敛的，且 12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞=。 （2）弦截法

将牛顿迭代法中的'()k f x 用()f x 在1k x -，k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法

111()

()

()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=-

-- 。

（3）抛物线法

弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替

()0f x =的根。若已知()0f x =的三个近似根k x ，1k x -，2k x -用过

1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根，所得的

迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法。

4.MATLAB实现

根据牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程根的理论基础，为实现计算在MATLAB中编写了以下M文件：

（1） f.m,题目中的函数f

function y=f(x)

y=x^3-3*x-1;

（2） d.m,函数f的导数

function y=d(x)

y=3*x^2-3;

（3）newton.m，牛顿法

function newton(f,d,x0,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%d 是f(x)的导数；

%x0是所给初值,位于x*附近；

%e是给定允许误差；

%max是迭代的最大次数；

%x1是newton法求得的方程的近似解；

%err是误差估计；

%k是迭代次数；

%y是f(x)值；

k=0;

y=feval('f',x0);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,y)

for k=1:max

x1=x0-feval('f',x0)/feval('d',x0);

err=abs(x1-1.87938524);

x0=x1;

y=feval('f',x0);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,err,k,y) if (err

break;

end

end

（4）xjmethod.m弦截法

function xjmethod(f,x0,x1,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%x0,x1是所给初值,位于x*附近；

%e是给定允许误差；

%max是迭代的最大次数；

%x1是弦截法求得的方程的近似解；

%err是误差估计；

%k是迭代次数；

%y是f(x)值；

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f

y%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0))

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f

y%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1))

for k=2:max

x2=x1-(feval('f',x1)*(x1-x0))/(feval('f',x1)-feval('f',x0));

err=abs(x2-1.87938524);

x0=x1;

x1=x2;

y=feval('f',x1);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8e\n',k,k,x1,k,err,k,y) if (err

break;

end

end

（5）pwxmethod.m抛物线法

function pwxmethod(f,x0,x1,x2,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%x0,x1，x2是所给初值,位于x*附近；