数值分析 第四章 基于MATLAB的科学计算—解线性方程组的迭代法

科学计算—理论、方法

及其基于MATLAB 的程序实现与分析

三、 解线性方程组的迭代法（Iteration ）

线性方程组的理论求解公式

b

A x 1

-= （１）

在应用于实际问题的计算时，通常面临两方面的问题 １、计算过程复杂， ２、不能保证算法的稳定性；

此外，当初始数据（可能）存在误差时，按公式（１）即使求出了“精确解”意义也不大，因此，对于存在初始数据误差、特别是大型的线性方程组求解，需要寻求能达到精度要求的、操作和计算过程相对简单的求解方法。下面将要介绍的迭代法就属于这类方法。

迭代法求解线性方程组的基本思想是

１） 不追求“一下子”得到方程组的解，而是在逐步逼近方程组的精

确解的迭代过程中获得满足精度要求的近似解，这一点与直接法不同；

２） 通过对问题的转化，避免（困难的）矩阵求逆运算。

用迭代法求解线性方程组，首先要把线性方程组写成等价的形式

f Mx x b Ax +=⇔= （２）

式（２）的右端称为迭代格式，由迭代格式（２）确定如下的迭代算法：

,2,101=⎩

⎨⎧∈∀+=+k R x f

Mx x n

k k （３）

对于给定的线性方程组，可以写成不同的（无穷多）迭代格式，有意义的（可用的）迭代格式应具有收敛性―生成的解向量序列{}x n 收敛于方程组的解；而好的迭代法应具有较高的收敛速度。

关于迭代法收敛性的两个判别条件：

a 、充分必要条件是：矩阵M 的谱半径

(){}1,,2,1max <==n i M i

i

λρ

b 、充分条件是：矩阵M 的某个算子

范数

M <1。

设x 是方程组（２）的解，{}m x 是迭代法（３）生成的任一序列，因为

f Mx x +=，f Mx x m m +=+1

所以

()()()022

1x x M

x x M

x x M x x m

m m m -

==-

=-=--- （４）

设1

1--=⇔=TJT

M J MT

T ，其中矩阵J 是矩阵M 的Jordan 标准型，那么容易验证1

-=T

TJ M m m

，并且

()[

]()

()()1

lim ,2,10lim lim 0

lim lim 01

0<⇔=⇔==⇔-

⇔=-

⇔=+∞

→+∞

→-+∞

→+∞→+∞

→M M

n i x x T

J

T x x M

x x m

m m

i n m

m m

m m m ρρλ （５）

此外，因为

(

)0

2

2

11x x M

x x M x x M x x M x x m m m m m -≤≤-≤-≤-=---- （６）

所以

x x x x M

M m m m m m

m =⇔=-⇒=⇒<+∞

→+∞

→+∞

→lim 0lim

0lim

1

（７）

注：迭代格式（２）所确定的迭代法收敛与否，完全由系数矩阵M 决定，而与常数项f 无关．

常用的迭代法

１、Jacobian 迭代法:

U

L D a a a a a a a a a a a a a a a a a a A n n n nn n nn nn n n n

n --=⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--

--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=--00

0000000

000011121

1

2122112

122221

11211

()()

⎩

⎨⎧=+=⇒++=⇒⎩⎨

⎧--==----+b D f U L D M b D x U L D x U L D A b Ax m m 1

11

11 （８）

例1 解下面方程组（精确解为T x )1,1,1(*=）.

⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=+-=++.

14103,53102,

14310321

321321x x x x x x x x x

解 1） 改写成等价形式

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧--=++=----=--=).314(101),325(101)325(101),314(101213213

12321x x x x x x x x x x x 2） 构造迭代公式，即为雅可比迭代公式

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=--=++=--=+++.,2,1,0),314(101),325(101),314(101)

(2)(1)1(3)

(2)(1)1(2

)

(3)(2)1(1 k x x x x x x x x x k k k k k k k k k 3） 取初始向量T x )0,0,0()0(=，即,0)0(3)0(2)0(1===x x x 代入上式，求出

4.110

14,5.010

5,4.110

14)

1(3)

1(2

)

1(1

==

===

x x x .

再代回公式中，求出

11

.1)4.15.0314(101)

2(1

=-⨯-=

x ， 2

.1)5.034.125(101)

2(2

=⨯+⨯+=x ，

11.1)2.1311.114(10

1)

2(3

=⨯--=

x .

依次迭代，计算结果如表4-1.