中考数学压轴题提升训练：圆中证明及计算问题

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中考数学压轴题提升训练：圆中证明及计算问题【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：AB•CP＝BD•CD；

（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴弧BD=弧CD，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥P A，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

即OD⊥P A，

∴PD是⊙O的切线．

（2）证明：∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，

∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，

∴AB BD CD CP

，

∴AB•CP＝BD•CD．

（3）∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

由勾股定理得：BC＝13，

由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝CD，

∵AB•CP＝BD•CD．

∴PC＝169 10

．

【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，BE=8，则EF的长为．

【答案】（1）见解析；（2）60；9 2 .

【解析】（1）证明：连接CE，

∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，∴∠ECD=∠BAE，

同理，∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB，

∴△ABE≌△CDE；

（2）①60；

连接AO、OC，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC=180°，

∵∠ABC=60，

∴∠AEC=∠AOC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，

∴∠CAD=∠D=30°，

∴∠ACE =30°， ∴∠OAE =∠OCE =60°， 即四边形AOCE 是平行四边形， ∵OA =OC ，

∴四边形AOCE 是菱形； ②由（1）得：△ABE ≌△CDE ， ∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ， 由∠CED =∠ABC =∠ACB ， 得△ECD ∽△CFB ， ∴

CE CF DE BC =

=6

8

， ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ， ∴△AEF ∽△BCF ，

∴

EF CF

AE BC =

， 即668EF =，

∴EF =92

．

【例2】如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交⊙O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．

（1）求证：△CDE ≌△CBE ； （2）若AB ＝4，填空：

①当弧CD 的长度是 时，△OBE 是等腰三角形； ②当BC ＝ 时，四边形OADC 为菱形．

【答案】（1）见解析；（2）

2

π

；2．

【解析】（1）证明：延长AD 交直线l 于点F ，

∵AD垂直于直线l，

∴∠AFC＝90°，

∵直线l为⊙O切线，

∴∠OCF＝90°，

∴∠AFC＝∠OCF＝90°，

∴AD∥OC，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠OEB＝90°，

∴OC⊥DB，

∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，∵CE＝CE，

∴△CDE≌△CBE；

（2）①如图2，连接OD，

由（1）知∠OEB＝90°，

当△OBE是等腰三角形时，

则△OEB为等腰直角三角形，

∴∠BOE＝∠OBE=45°，

∵OD＝OB，OE⊥BD，

∴∠DOC＝∠BOE＝45°，

∵AB ＝4， ∴OD ＝2， ∴弧CD 的长=

452180π⨯=2

π

； ②当四边形OADC 为菱形时， 则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2， 由（1）知，BC ＝DC ， ∴BC ＝2.

【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（

）

A. 2π

B. π

C.

2

π

D.

3

π

【分析】根据弧长公式180

n r

l π=

，需先确定弧AC 所对的圆心角∠AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC =2∠D ，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D =180°－∠B =45°，再代入弧长公式求解即可.

【解析】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D =180°－∠B =45°，

∴弧AC 所对圆心角的度数为：2×45°=90°， ∵⊙O 的半径为2， ∴弧AC 的长为：902180180

n r l ππ

⨯==

=π， 故选B .

1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O ，与斜边AB 交于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；