四次bezier曲线
Bezier曲线原理及实现代码（c++）
Bezier曲线原理及实现代码（c++）Bezier曲线原理及实现代码（c++）2009-06-30 18:50:09| 分类： |字号⼀、原理：贝塞尔曲线于，由⼯程师（Pierre Bézier）所⼴泛发表，他运⽤贝塞尔曲线来为的主体进⾏设计。
贝塞尔曲线最初由于运⽤开发，以的⽅法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的。
这条线由下式给出：且其等同于。
⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。
字型就运⽤了以组成的⼆次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0⾛向 P1，并从 P2的⽅向来到 P3。
⼀般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
P0和 P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进 P3之前，⾛向 P2⽅向的“长度有多长”。
形式为：。
现代的成象系统，如、和，运⽤了以组成的三次贝塞尔曲线，⽤来描绘曲线轮廓。
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：⽤表⽰由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则⽤平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
⼀些关于参数曲线的术语，有即多项式，定义 00 = 1。
点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。
以带有的贝塞尔点连接⽽成，起始于 P0并以 P n终⽌，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由 P0⾄P1的 B(t) 所描述的曲线。
例如当t=0.25时，B(t) 即⼀条由点 P0⾄ P1路径的四分之⼀处。
就像由0 ⾄ 1 的连续t，B(t) 描述⼀条由 P0⾄ P1的直线。
为建构⼆次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 ⾄ 1 的t：由 P0⾄ P1的连续点 Q0，描述⼀条线性贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线：贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
十九世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
19世纪70年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
【作用】由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。
这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。
使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
【发现者】“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
【贝赛尔工具】“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
带形状参数的四次Bezier曲线曲面
ｔｒ ａｅ ． ｒｏｅ ｔｅｓａ ｅ ｆ ｅ ｎｖ ａｄｓｒａｅ ａ ｂ ｄ ｓ ｄ ｎｉ ｌ ｒｏ ａｙｔｒｕ ｈｃａ ｇ ｇ ｅ ａ ｅ ｆｈ ａｅ ａａ － ｅｓ Ｍｏｅｖｒ ｐ ｔ ｒｅ ｆｃ ｎ ｅ ｊ ｔ ｔｅ ｒ １ ｈ ｈ ｏｈ ｃ ｎ ｕ Ｃ ａ ｕ ｅ ｅ ｒ ｙｏ ｌｃｌ ｈｏ ｇ ｎ ｉ ｔ ｖ ｌ ｓ ｔｅ ｈｐ ｐｒ ｌ ｈ ｎｈ ｕ ｏ ｓ ｍ
贝塞尔曲线 坐标 算法
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
Bezier曲线B样条曲线
5.1 曲线的参数表示
参数的含义： 时间，距离，角度，比例等等； 规范参数区间[0，1]：归一化； 矢量表示： 切矢量（导函数）： 例：已知直线段的端点坐标： 段的参数表达式为：
，则此直线
相应的x,y坐标分量为：
' ' 1 p ( t ) [ x ( t ) y (t )] [3 1] 切矢量为：
(1 t ) Bi ,n 1 ( t ) tBi 1,n 1 ( t )
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
性质6：导函数
i i t (1 t )ni 对参数t求导得： 因为将Bi ,n (t ) Cn
n! Bi, n ( t ) [ it i 1 (1 t )n i t i ( n i )(1 t )n i 1 ] i !( n i )! ( n 1)! n t i 1 (1 t )( n 1) ( i 1) ( i 1)![( n 1) ( i 1)]! ( n 1)! i 1 n t i (1 t )( n 1) i Cn 1 i ![( n 1) i ]! n[ Bi 1, n 1 ( t ) Bi , n 1 ( t )]
u1
Z
Y
0
p(u1)
u2
p( u2)
u
注：这里讨论的动点轨迹 是在三维空间中所表 示的曲线，平面轨迹 曲线只是一种特殊情 况
X
5.1 曲线的参数表示
向量P与时间t有关：P=P(t),就是说P是时间t的函数。用 坐标表示为 ：
x x(t ) y y( t ) z z(t )
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 5.2 5.3 曲线的参数表示 Bezier、B样条曲线的生成 曲面的参数表示
bezier曲线
T1
T (s )
N1 B1
N0 B0
O （a） 曲率和挠率比较图
（b）
插值、拟合、逼近和光顺
插值 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点 进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
线性插值:假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的 值，用一个线形函数: y = (x) =ax+b，近似代替f(x)， (x) 称 为f(x)的线性插值函数。
抛物线插值:已知在三个互异点
x1 , x2 , x3 的函数值 为 y1 , y2 , y3，要求构造一个函数 ( x) ax2 bx c 使抛物线 (x)在结点 xi (i 1,2,3) 处与 f (x)在 xi 处的 值相等,求得a,b,c即构造了插值函数。
实例图示
对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢
P(0)、P(1)描述。 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和 P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0 t [0,1] (5-1) P1，代入
得
则有
(5-2)
参数曲线的几何形式
s 0
△s→0时，得到曲线上P(s)点的曲率k(s)，即k(s)= lim
,其几何意义是曲线的单位的切矢量对弧长的转动率，
s
与主法矢量同向。曲率的倒数1/ρ,称为曲率半径.即
是曲率反映的是曲线的弯曲程度. 对于直线它的弯曲程度处处为零,从而其曲率处处为 零.而对于圆,其上各点的弯曲程度相等,从而其曲率 为常数,其曲率半径即等于它的半径。
曲线、曲面的基本理论
曲线的表示形式
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
§2 贝塞尔曲线
n次Bezier曲线参数矢量方程的一般形式：
xi 其中：Pi（i=0 ,1 , … , n）为n+1个平面离散点，P i y ; i n ! i i i ( n i ) B ( t ) C t ( 1 t ) ， Cn i , n n
i!(n i)!
P2
P1
P3
P2
P1
P3
P4
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行 光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？ 给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同的 切线），或者说一阶导数连续，即 pj 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续 在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即 ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p 及 j j j j
6.Bezier曲线曲面解析
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 递推性
Jn,n-i(u)= Jn,i(1-u)
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)- Jn-1,i(u)} 递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)- uJn-1,i-1(u)
•不适合于外形设计
xj
1.2 提出Bezier曲线的理由
• 参数样条曲线不 适合于外形设计 • 三次样条曲线采 用Hermit基函数， 如果用其他基函 数，就可以得到 另外的曲线。
1.3 Bezier曲线的产生和发展
• Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺 汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线 和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始 研究集合化的曲面构造方法。1962年、 1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型 系统。 • De Casteljau工作于Citroen公司，1959年提 出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发 表。所以曲线称为Bezier曲线。
i=0: Jn-1,i-1(u)=0 i=n: Jn-1,i(u)=0
2.2 Bezier曲线的几何性质
n 由r (u ) J n ,i (u )Vi , 0 u 1 有 i 0
' r (0) n(V 1 V 0 )
同理可得，当 u=1 时
' r (1) n(V n V n1 )
r (u ) J n ,i (u )Vi 0 u 1
i 0
n
i i J n,i (u) Cn u (1 u)ni
贝塞尔曲线——精选推荐
贝塞尔曲线贝塞尔曲线为什么要讲贝塞尔曲线，实际上 Android 中很多效果都有⽤到贝塞尔曲线。
可以先对贝塞尔曲线有⼀个⼤概的认识。
历史贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就⼴为⼈知的伯恩斯坦多项式。
但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进⾏图形化应⽤的尝试，并提出了⼀种数值稳定的 de Casteljau 算法。
然⽽贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另⼀位就职于雷诺的法国⼯程师 Pierre Bézier 的⼴泛宣传。
他使⽤这种只需要很少的控制点就能够⽣成复杂平滑曲线的⽅法，来辅助汽车车体的⼯业设计。
正是因为控制简便却具有极强的描述能⼒，贝塞尔曲线在⼯业设计领域迅速得到了⼴泛的应⽤。
不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是⽮量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。
今天我们最常见的⼀些⽮量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，⽆⼀例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。
甚⾄像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的⽮量绘制⼯具（钢笔⼯具）包含其中。
贝塞尔曲线在 Web 开发领域同样占有⼀席之地。
CSS3 新增了 transition-timing-function 属性，它的取值就可以设置为⼀个三次贝塞尔曲线⽅程。
在此之前，也有不少 JavaScript 动画库使⽤贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。
公式线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的直线。
这条线由下式给出：⼆次⽅贝塞尔曲线⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：三次⽅贝塞尔曲线P0、P1、P2、P3 四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0 ⾛向 P1 ，并从 P2 的⽅向来到 P3 。
⼀般不会经过 P1 或 P2 ；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
图形学模拟试题-(含答案)
计算机图形学课程模拟试卷（参考答案含评分标准）2010—2011学年第二学期年级专业学号姓名得分一、简要回答题（每题7分，共7题，共49分）1.被誉为“图形学之父”的伊万•萨瑟兰(Ivan Sutherland)对计算机图形学理论和应用的主要贡献有哪些？答：（1）（3分）萨瑟兰在MIT攻读博士学位时,在著名的林肯实验室完成基于光笔的交互式图形系统：Sketchpad。
这一系统中许多交互式图形设计的创意是革命性的,它的影响一直延续到今天。
（2）（4分）用于显示立体和彩色图像的“Lorgnette”技术和一系列图形图像算法，如分区编码的直线段裁剪算法、多边形裁剪算法、曲面的表示和消除隐藏线算法等等。
2.有人认为图形学算法主要依赖于点和向量的数学运算，你是否认同这一观点？给出同意或反对的理由，并举例说明。
答：这一观点是正确的（2分），主要理由和举例如下（5分）：（1）图形学的很多算法属于几何算法，点（从三维、二维到一维）是最基本的几何要素，也是统一基本几何的计算机表示形式。
例如，在观察流水线上的主要图形学算法，无论是表示和生成（显示）、建模（造型）、变换（包括投影、观察、消隐）都可以统一到建立基于点的几何模型；（可以以典型的光栅图形学的算法如基本图形的生成和变换、三维观察、Z-Buffer算法为例说明）（2）向量几何是图形学的重要数学基础、建立了以“方向性”概念的基本理论、思想方法、几何结构、几何算法与复杂性分析的几何计算理论体系。
例如，借助向量几何可以将二维布尔运算降为一维向量计算、将三维布尔运算下降为二维布尔运算、将三维消隐算法最终归结为一维交集算法等等，从而使几何计算的复杂性大为简化。
（可以以比较典型的Liang-Barsky裁剪算法、三维实体造型CSG树生成，隐藏线消除算法等为例说明）。
『评分说明』若认为这一观点是错误的或持有含糊的态度，且给出的例子是片面的、主观的，则本题不得分。
其他错误情况者，如未举例说明，酌情扣2分左右。
bezier曲线
n
n
P * (t) Pi*Bi,n (t) PniBi,n (t)
i0
i0
n
n
PniBni,n (1 t) PiBi,n (1 t)
i0
i0
P(1 t) , t 0,1
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(3) 凸包性
n
由于
Bi,n (t) 1,
(7) 最大值
Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(1) 端点性质
曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ;
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。
4.2 Bézier曲线
Bézier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近 为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成 了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该 系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2,,n 1)
(2) 端点性质
Bi,n(0)=
1, i=0 0, i≠0
Bi,n(1)=
1, i=n 0, i≠n
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
n
Bi,n (t) 1, t 0,1
四阶贝塞尔曲线公式
四阶贝塞尔曲线公式
四阶贝塞尔曲线公式是用于描述二维平面上点的轨迹的数学公式。
它可以通过
控制点来实现平滑的曲线绘制。
四阶贝塞尔曲线由四个控制点A、B、C和D组成，其中A和D是曲线的起始点和终点，而B和C是曲线的控制点。
四阶贝塞尔曲线的公式可以表示为：
B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3(1-t)^2 * t * P1 + 3(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3
其中，B(t)是曲线上的点，t是一个介于0和1之间的参数，P0、P1、P2和P3
是控制点的坐标。
通过不同的控制点坐标，可以创建出各种形状和曲线。
四阶贝塞尔曲线的特点是平滑且具有可控性。
通过调整控制点的位置，可以改
变曲线的形状。
例如，将控制点P1和P2拉近或推远可以改变曲线的曲率，从而
实现不同的线型效果。
对于计算机图形学和动画设计来说，四阶贝塞尔曲线是一个重要的工具。
它可
以用来创建平滑的路径、绘制曲线和形状，以及实现各种动画效果。
总结起来，四阶贝塞尔曲线公式是描述二维平面上点轨迹的数学公式。
通过调
整控制点的位置，可以实现不同的线型效果，这在计算机图形学和动画设计中具有重要的应用价值。
ae 常见曲线
ae 常见曲线AE常见曲线Adobe After Effects（简称AE）作为视频处理和特效制作软件中的大佬，其动画制作和控制的能力也不可小觑，其中曲线编辑器是其中的重要工具之一。
曲线可以很好地表现出动画素材的速度、角度、透明度、颜色等属性的变化，因此深入了解AE常用曲线是非常有必要的。
一、Bezier曲线在AE中，大部分曲线默认使用的是Bezier曲线。
Bezier曲线的特点是自由度高，可以随意调整曲线的弹性和速率。
在AE中，Bezier曲线默认使用的是贝赛尔曲线。
1.1 控制点贝赛尔曲线由起始点、终止点和中间的贝塞尔点（控制点）组成，控制点的位置可以影响曲线的弯曲程度。
在AE中，在工具栏中选择Bezier曲线工具（Ctrl+B）后，拖动曲线即可添加控制点。
选中控制点可以拖动它来调整曲线。
1.2 曲线类型AE中的Bezier曲线有线性Bezier曲线、光顺Bezier曲线、尖顶Bezier曲线、光顺角Bezier曲线四种类型。
- 线性Bezier曲线：两个控制点位置相同，产生一条连续的直线。
- 光滑Bezier曲线：控制点相互作用形成的动态曲线，光滑的弧度感觉很自然。
- 尖顶Bezier曲线：由两个一光滑一锐利的Bezier点共同构成，曲线简单。
- 光滑角Bezier曲线：两个钝角轮廓（外环）的控制点构成的光滑段的曲线。
二、Ease In和Ease Out曲线用于控制运动的加速和减速，让动画更加自然，使得运动不再是匀速的。
2.1 Ease InEase In效果即从静止开始慢慢加速的过程，就像物体启动后开始加速一样，通常用Ease In的曲线效果可以使得初始的运动增加快感，良好的Ease In效果可以许多动画的一大亮点。
在AE中，要使用Ease In效果，需要在特效控制器栏中找到物体运动路径的选项并调整Ease In。
Ease In效果有三种类型：加速Ease In、移动Ease In和贝塞尔Ease In。
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printf("please input the n:\n");
/*输入精度值n*/
scanf("%d",&n);
outtextxy(x2,y2,msg);
sprintf(msg,"%s%d%s%d,%d%s","P",3,"(",x3,y3,")");
outtextxy(x3,y3,msg);
sprintf(msg,"%s%d%s%d,%d%s","P",4,"(",x4,y4,")");
5． 自己保留一份可执行程序,考试前统一检查和上交。
三、实验题目
上机编写一个通用的绘制Bezier曲线的程序，并调试成功。具体要求如下说明：
1 该程序可用来绘制任意个控制点的Bezier曲线；
2 控制顶点的坐标要求可以随机输入；
3 当用户输入控制点的坐标位置后，屏幕上生成曲线的同时显示其特征多边形；且在特征多边形的顶点处输出该顶点坐标；
编写程序首先输入5点坐标，其次输入曲线的精度，绘制曲线
五、程序如下
#include"graphics.h"
#include"math.h"
main( )
{
int x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4;
int x,y,n;
initgraph(&gdriver,&gmode,"D:\\TC");/*初始化图形系统*/
printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\t\t--------4_Bezier---------\n");
printf("\n\t ---hui zhi yi duan san ci Bezier qu xian duan---\n");
（C语言相关解析）生成4次Bezier曲线算法实现C/C++语言 2007-11-06 19:57:4验目的和意义
掌握曲线的生成算法思想，并上机编程实现相应的算法。为更深入的了解Bezier 算法，并能熟练运用C语言编写程序。
outtextxy(x4,y4,msg);
getch(); /*等待按一键结束*/
closegraph(); /*关闭图形系统，回到文本模式*/
}
4 要求在可执行程序后附上运行结果，且运行结果图大致如下。
图：生成4次Bezier曲线
四、程序制作步骤
实现4次bezier算法
C=p0*(1-t)*(1-t)*(1-t)*(1-t)+p1*4*t*(1-t)*(1-t)*(1-t)+p2*6*t*t*(1-t)*(1-t)+p3*4*(1-t)*t*t*t+p4*t*t*t*t;
float i,dt,t;
char msg[80];
int gdriver=DETECT,gmode;
printf("please input thepoint x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:\n");
/*输入五个节点的坐标*/
printf("\n\t ------- graphics:hugang 2007.11.5 --------\n");
setbkcolor(BLUE);
setcolor(YELLOW);
dt=1/(float)n;
/*4_Bezier绘制曲线图*/
for(i=0;i<=n;i++)
{
t=i*dt;
x=x0*(1-t)*(1-t)*(1-t)*(1-t)+x1*4*t*(1-t)*(1-t)*(1-t)+x2*6*t*t*(1-t)*(1-t)+x3*4*(1-t)*t*t*t+x4*t*t*t*t;
y=y0*(1-t)*(1-t)*(1-t)*(1-t)+y1*4*t*(1-t)*(1-t)*(1-t)+y2*6*t*t*(1-t)*(1-t)+y3*4*(1-t)*t*t*t+y4*t*t*t*t;
if(i==0) moveto(x,y);
lineto(x,y);
}
line(x0,y0,x1,y1);
line(x1,y1,x2,y2);
line(x2,y2,x3,y3);
line(x3,y3,x4,y4);
sprintf(msg,"%s%d%s%d,%d%s","P",0,"(",x0,y0,")");
outtextxy(x0,y0,msg);
sprintf(msg,"%s%d%s%d,%d%s","P",1,"(",x1,y1,")");
outtextxy(x1,y1,msg);
sprintf(msg,"%s%d%s%d,%d%s","P",2,"(",x2,y2,")");
二、实验要求（Direction）
1． 每个学生单独完成。
2． 开发语言规定为TurboC。
3． 请在自己的实验报告上写明姓名、学号、班级。
4． 每次交的实验报告内容包括：实验目的和意义、题目、程序制作步骤、主程序（包括源代码注释）、参考文件。