十字相乘法分解因式
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法分解因式
五、选择题：
以下多项式中分解因式为
x 6x 4
B
的多项式是（ c ）
A
x 2 2 x 24
x 2 2 x 24
x 6x 4
C
x 2 x 24
2
D
x 2 2 x 24
试将
x 6 x 16 分解因式
分解因式
提取公因式:2x y+4xy 2 xy( x 2 y)
2 2
公式法:平方差公式、完全平方公式
十字相乘法 求根法
高中：分组分解法
待定系数法
一、计算：
(1)
( x 5)(x 9) x 14x 45
2
(2) ( x 12)(x 5) (3) (4)
x 2 7 x 60
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
2
、 符号
__ + __ +
1） 1）
__ + 3）（x = （ x x 4x 3
x 2 x 3 =（x __ 3）（x
2
-
y 2 9 y 20 =（y __ 4）（y __ 5）
-
-
t 2 10t 56 =（t
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
例2 分解因式 3x2 －10x＋3 解：3x2 －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 例3 分解因式 5x2－17xy－12y
x
－3
3x －1 －9x－x=－10x
5x
＋3y
解：5x2 －17xy－12y2
=(5x＋3y)(x－4y)
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
因式分解之十字相乘法几大类型
因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法1、分解因式：2421x x --.2、分解因式：2712x x -+.3、分解因式：21118x x ++.4、分解因式：2421a a --+.5、分解因式：2522+-x x .6、分解因式：2321a a --.7、分解因式：23145b b +-.8、分解因式： 2592a a -+.二. 两个字母的十字相乘法.9、分解因式：xy y x 2514422-+.10、分解因式：22152y ay a --. 11、分解因式：2210116y xy x ++-. 12、分解因式：()()220x y x y +++-. 13、分解因式：2278a x ax +-. 14、分解因式：222256x y x y x -+. 15、分解因式：3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式：3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法17、分解因式：233222+++-+y x y xy x . 18、分解因式：2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式：y x y xy x 422322++++.作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x5. 分解因式：2257x x +-.6. 分解因式：61362+-x x7. 分解因式：226420x y xy ++-8. 分解因式：2232x xy y -+9. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .10. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .11. 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++.12. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？13. 分解因式：1)1()2+-+ab b a （. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.。
如何利用十字相乘法分解因式
数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。
十字相乘法分解因式
练习：在 横线上 填 、符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
-__ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
- - __ __ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56=（t
a2 13a 42
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式
(1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1)
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式 因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分 解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好 是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
x2 px q x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
十字相乘法分解因式举例
十字相乘法分解因式举例十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
运算举例a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成-21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。
分解因式例1、因式分解。
x²-x-56分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
分解因式(十字相乘法)
(3)x2+6xy-16y2 (4)x2y2-7xy-18
（5）3x2 + 10x + 8 ( 6 ) （a+b）2 + 4(a+b) - 5
注意 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____．
下面我们就来试试
例1：用十字相乘法分解因式：对，怎么办呢？
十字相乘法
因式分解
复习
因式分解： 1.提取公因式法 2.运用公式法： 两项——平方差公式
三项——完全平方公式
3.分组分解法：2+2型 3+1型
随堂练习
39x2 x 2y y2 ；
3 解：9 x2 x 2 y y2
= 9 x2 y2 x 2 y
=x yx y 2x y =x yx y 2
例4;试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为负 时 ， 先提出负号再因式分解 。
练习 用十字相乘法分解因式：
-y2+7y-12
解：原式=-（y-3）（y-4）
例5;试因式分解（a+b）2+4（a+b）–5。
（a+b）2+4（a+b）–5 =(a+b+5)(a+b-1)
x
46
3x + 4x ≠ 7x 2x + 6x ≠ -8x
学以致用 例 2 分解因式：x2 7x 6
十字相乘法分解因式
十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
十字相乘法分解因式
课前练习 ：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15
2
4
2
3．x -7x +18；
．（ x+y ） 2-8 （x+y ） +48；
2
2
4． x -5xy+6y 。
答： 1．-（ x+3）（ x-5）；
2．（ x+y-12 ）（ x+y+4 ）；
3 ．（ x+3 ）（ x-3 ）（ x 2+2）；
4．（ x-2y ）（ x-3y ）。
课堂教学设计说明
1．为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，
在
教学设计中，先通过例 1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础
上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式
ax2+bx+c 进行因式分解的一般思路和方
法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法则， 才能进一步指导解决各种具体的问题， 这种
我们已经学习了把形如 x 2+px+q 的某些二次三项式因式分解， 也学习了通过设辅助元的
方法把能转化为形如 x2+px+q 型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题， 某些形如 ax2 +bx+c 的课 例1
把 2x2-7x+3 因式分解。
指出： 通过例 1 和例 2 可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项
式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是 1 的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何 把常数项分解因数。例如把 x 2+2x-15 分解因式，十字相乘法是
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• 5、x2+11xy+10y2; • 6、2x2-7xy+3y2;
答案(x+10y)(x+y) 答案 (2x-y)(x-3y)
• 7、-3a2+15ab-12b2; 答案 -3(a-b)(a-4b)
•
1 8、4
a2
3 4
ab
5 2
b2 答案
1/4(a-5b)(a+2b)
思考题
2(x y)2 (x y)( x y) 6(x y)2
pqBiblioteka 十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
x7x 6x
横写因式不能乱。
试一试：(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
第二：对形如ax2+bxy+cy2 (a≠0)的二次三项式 进行因式分解；
(a1x+c1) (a2x+c2) =ax2+bx+c (a≠0)
a1
c1
整
因
式 运
a2
c2
式 分
算
a1c2+a2c1=b
解
ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) (a≠0)
(a1x+c1y) (a2x+c2y) =ax2+bxy+cy2
a1
c1
整
因
式 运
a2
c2
式 分
算
a1c2+a2c1=b
解
ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y) (a2x+c2y)
例1:2x2－7x+3
总结: 1、由常数项的符号确定分解的两数的符号 2、由一次项系数确定分解的方向 3、勿忘检验分解的合理性
例2 分解因式 3x2 －10x＋3 解：3x2 －10x＋3 =(x－3)(3x－1)
下列各式是因式分解吗？
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
x2 px q x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
px q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
观察：p与a、b符号关系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式
(1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1)
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
十字相乘法分解因式（2）
本节课解决两个问题： 第一：对形如ax2+bx+c (a≠0)的二次三项式 进行因式分解；
x
－3
3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17xy－12y
解：5x2 －17xy－12y2 =(5x＋3y)(x－4y)
5x
＋3y
x
－4y
－20x＋3x=－17x
例4 将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
练一练： 将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
x2 7x 12
五、选择题：
以下多项式中分解因式为 x 6 x 4 的多项式是（ c ）
A x2 2x 24
C x2 2x 24
B x2 2x 24
x 6x 4
D x2 2x 24
试将 x2 6x 16 分解因式 x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
六、独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
y2 3y 18 y2 17 y 30
a2 13a 42
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
-__ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
- - __ __ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56=（t
4）（t + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
一、计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60 (3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式
1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 ) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、符号
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
本节总结
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之间的符号 关系 q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号） 与p符号相同
(x y)(2x 2 y 3) 2
(1)(-x+5y)(3x-y) (2)(2x-2y+1)(x-y-2)