最短路模型的构建与求解方法方案(曹利国教案)
第2讲最短路问题PPT教案
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 4 1 3 5 0
插入点 v1，得： di(jk ) min{di(jk1) , di(kk 1) dk(jk 1)},
0 1 2
1
0
4 3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
1
D (1)
4
0 2
2 0
3
1 3,
1
R (1)
1
2 2
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二、Dijkstra算法
算法思想： 按距离u0由近及远为顺序，依次求得 u0到G的各顶点的最短路和距离，直至 所有顶点，算法结束。
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Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
1) 置l(u0) 0，对v u0 ，l(v) ，S0 {u0} i 0 且 2) 对每. 个 v Si ，用 min{l(v),l(ui ) w(ui,v)}
于是，D( ) (di(j )) 中元素di(j )就是从vi到v j 的路径中间可 插入任何顶点的路径中最短路的长度，即D( )就是所求距离矩阵.
第19页/共37页
（II）求路径矩阵的方法.
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
设 R(k) (ri(jk) ) ，这里ri(jk)的含义是从vi到v j 的最短
第2讲最短路问题
会计学
1
定义 1) 若H是赋权图G的一个子图，则称H的各
边的权和 w(H ) w(e) 为H的权. 类似地，若
eE(H )
若P(u,v)是赋权图G中从u到v的路,称 w(P) w(e)
称为路P的权．
eE ( P )
2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权 的路P*(u,v)，称为u到v的最短路．
最短路课程设计
最短路课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的基本概念，掌握其在现实生活中的应用。
2. 学生掌握图的基本表示方法，能够建立问题的图模型。
3. 学生能够阐述Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理，并理解其适用场景。
技能目标：1. 学生能够运用图的相关知识建立实际问题模型，解决最短路径问题。
2. 学生通过案例学习和实践操作，掌握Dijkstra算法和Floyd算法的具体步骤，具备运用算法解决问题的能力。
3. 学生能够运用所学知识，对实际生活中的最短路径问题进行合理分析和有效解决。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对图论和算法的兴趣，激发他们探究问题的热情。
2. 培养学生面对复杂问题时，运用所学知识进行分析和解决的能力，增强自信心。
3. 通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高他们的集体荣誉感。
本课程针对学生年级特点，结合图论和算法知识，以实际问题为载体，引导学生通过自主学习、合作探究和实际操作，培养解决问题的能力。
课程目标具体、可衡量，旨在使学生在掌握知识、技能的同时，培养积极的情感态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念：图、顶点、边、权、路径、最短路径等。
相关教材章节：第二章 图论基础2. 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等。
相关教材章节：第二章 图论基础3. 最短路径问题：介绍最短路径问题的背景和应用。
相关教材章节：第三章 最短路径问题4. Dijkstra算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题5. Floyd算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题6. 实践案例分析：结合实际案例，运用Dijkstra和Floyd算法解决最短路径问题。
相关教材章节：第三章 最短路径问题教学内容安排和进度：第一课时：图的基本概念及表示方法。
第二课时：最短路径问题引入，介绍Dijkstra算法。
第三课时：Dijkstra算法实践操作。
最短路径问题说课稿
最短路径问题说课稿最短路径问题说课稿作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以有效提升自己的能力。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是为大家提供的最短路径问题说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、特点与地位：重点中的重点。
本课是教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在运输、通讯网络等方面具有一定的实用意义。
2、重点与难点：结合学生现有抽象思维能力水平，已掌握基本概念等学情，以及求解最短路径问题的自身特点，确立本课的重点和难点如下：（1）重点：如何将现实问题抽象成求解最短路径问题，以及该问题的解决方案。
（2）难点：求解最短路径算法的程序实现。
3、安排：最短路径问题包含两种情况：一种是求从某个源点到其他各结点的最短路径，另一种是求每一对结点之间的最短路径。
根据教学大纲安排，重点讲解第一种情况问题的解决。
安排一个课时讲授。
教材直接分析算法，考虑实际应用需要，补充旅游景点线路选择的实例，实例中问题解决与算法分析相结合，逐步推动教学过程。
二、教学目标分析1、知识目标：掌握最短路径概念、能够求解最短路径。
2、能力目标：（1）通过将旅游景点线路选择问题抽象成求最短路径问题，培养学生的数据抽象能力。
（2）通过旅游景点线路选择问题的解决，培养学生的独立思考、分析问题、解决问题的能力。
3、素质目标：培养学生讲究工作方法、与他人合作，提高效率。
三、教法分析课前充分准备，研读教材，查阅相关资料，制作多媒体课件。
教学过程中除了使用传统的“讲授法”以外，主要采用“案例教学法” ，同时辅以多媒体课件，以启发的方式展开教学。
由于本节课的内容属于图这一章的难点，考虑学生的接受能力，注意与学生沟通，根据学生的反响控制好教学进度是本节课成功的关键。
四、学法指导1、课前上次课结课时给学生布置任务，使其有针对性的预习。
2、课中指导学生讨论任务解决方法，引导学生分析本节课知识点。
最短路模型的构建与求解方法方案曹利国教案
最短路模型的构建与求解方法教案长沙市一中曹利国课题：最短路模型的构建与求解方法重点：最短路问题的求解方法难点：最短路问题的模型构建方法过程：一、最短路问题的原型（1）单源最短路问题问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点——表示城市边——表示城市间的交通联系权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。
用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。
Repeat找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]<disk[j] thendisk[j]=disk[i]+g[I,j]）Until 所有节点都扩张过了。
（2）任意顶点对之间的最短路问题求解方法：Floyed算法。
➢方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)➢方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。
具体步骤：❖初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ❖逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值❖所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。
微专题7 模型构建 利用勾股定理解决最短路径问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八上
=
+ 5 =10 (cm),
即这只蚂蚁从点A处出发,翻越木块后到达点C处需要走的最短路径为
10 cm.
本课结束
4 km,现欲在河岸上建一个水泵站向两村送水,当建在河岸上何处时,到两村铺设水管总长度最
短?求出此最短距离.
【解析】水泵站建在河岸上如图所示的位置时,到两村铺设水管总长度最短,
最短距离为 + =5(km).
2.(2024·重庆期末)如图,小区A与公路l的距离AC=200米,小区B与公路l的距离
BD=400米,已知CD=800米,现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A,B两小区的
路程之和最短,超市应建在哪?
(2)求PA+PB的最小值.
【解析】(2)由对称性得PA+PB的最小值即为线段A'BБайду номын сангаас长,
作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,在Rt△A'BE中,
A'E=CD=800米,BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600(米),
B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,
130
请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬_________cm.
7.如图,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点,已知圆柱底
13
面周长是3 m,高为5 m,则所需彩带最短是________m.
针对训练
3.(2024·泸州期末)如图,已知BC是圆柱底面的直径,AB是圆柱的高,在圆柱的侧面
构造法解题——精选推荐
构造法在数学解题中的应用陕西省丹风中学曹飞摘要：构造和创新是数学教育一直培养的综合目标，也是遨游数学知识海洋的最高境界之一，构造法解题既具有一定的独立性，又具有一定的灵活性和综合性.因而在数学教育中，构造法是数学解题中一种十分重要和基本的方法，有着广泛的用途和生命力.根据问题所给的条件不同或者结论不同，可构造与之相应的合适函数、图形、向量、例子、复数、数列等，使原问题得到解决，本文主要探究了这六种类型的具体构造，并从多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径，最后总结出构造法解题过程的大致模式.关键词：构造；构造法；创造性的思想；构造法解题；应用一代数学宗师乔治波利亚（George 说Polya1887.12.3——1985.9.7）：，而这一重要的思维活动就是我们“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动”通常所说的构造法，那么何为构造法？所谓构造法就是运用数学的基本思想，经过认真的观察和分析，深入的思考，把所要解决的问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已知解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，或者去先解决一个更特殊更一般的问题，最终使数学问题得到解决的方法. 根据马克思主义哲学原理知，任何事物都有其本质的一面.而构造法的本质就是——依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维过程中构造出一系列相关的数学对象、一系列新的数学形式；或利用问题的特殊性，为待解决问题构造一个合理的数学框架，从而使数学问题成功解决. 在数学解题中，恰当地、合理地运用构造法，不仅能够收到简洁明快、出奇制胜的效果，同时还有利于培养我们的抽象思维能力和发散思维能力，因而这种数学解题方法具有独特的数学价值和解题意义：构造法体现了化归的思想.在构造法运用过程中，常常把一个个零散的知识点（构造元素）由表及里，由浅入深地集中和联系，通过恰当的方法加以处理化归为已有的认识，从而形成了一种构造法解题的手段. 构造法体现了创造性的思想.乔治波利亚作为一名教育家，他的教育思想的宗旨是“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，而构造法恰恰就是一种创造性的解题方法.所以在数学发展的过程中，构造法一直伴随着这门基础学科. 构造法体现了数学美的思想.数学家庞加莱等曾说：数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足.而我们每一次成功运用构造法解题，在精美数学问题的伴随下，都在寻求优美的解题思路，运用完美的数学形式，绘制精美的数学王国. 除此之外，构造法在数学解题中的应用还渗透着猜想、发现、归纳、数形结合等数学思想.因此，掌握和运用构造法解决问题，对我们学好数学，提高解决问题能力是十分必要和有益的. 用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的原问题，而是构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出的新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决原问题.如果构造的新问题比原问题更简单、更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.一、构造函数在解决某些数学问题时，构造一个适当的函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的思想叫做构造函数思想.函数是数学知识的一个中心和基础，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，函数图象可以作为研究函数性质的工具，进而解决一类有关问题. 构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题，构造函数的前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程就是要求我们敏锐地观察、正确的判断、合理的选择恰当的函数，并且准确地运用函数性质.有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系、构造出函数，在利用函数性质就能解决问题.有些问题实质上与函数的某些性质有关，可以归结为研究相关的函数，便可通过构造函数来解决.1.1 构造一次函数对于某些数学问题，观察其题设和结论，特别是含有关于一次未知数的式子，不妨采用构造一次函数的方法去尝试解决. 例1．设0 lt x lt 1 ，0 lt y lt 1 0 lt z lt 1 ，求证：x1 y y 1 z z 1 x lt 1. 分析：可构造一次函数试解本题. 证明：构造一次函数f x x1 y y 1 z z 1 x 整理，得： f x 1 y z x y z yz 0 lt x lt 1 ∵0 lt x lt 1 ，0 lt y lt 1 0 lt z lt 1 ∴1 lt 1 y z lt 1 . 1 当0 lt 1 y z lt 1 时 f x 在01 上是增函数，于是f x lt f 1 yz lt 1 1 2当1 lt 1 y z lt 0 时 f x 在 1 0 上是减函数，于是f x lt f 0 y z yz 1 1 y 1 z lt 1 3当1 y z 时，即y z 时 f x y z yz 1 yz lt 1 . 0 1综上所知，所证不等式成立. 小结: 1为了利用所构造的一次函数的单调性，将1 lt 1 y z lt 1 分成“ 0 lt 1 y z lt 1 1 lt 1 y z lt 0 1 y z ”三种情况进行了讨论，使问题得0以解决. 2解决本题有两个关键的地方，其一是将证式构造成一次函数，其二是对一次项系数进行逻辑划分. 3本题也可以构造关于y 或z 的一次函数，这就需要真正理解函数的实质含义. 1.2 构造二次函数一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题. 例2.设a1 a2 a3 an 都是正整数证明对任意的自然数n 下面不等式成立a1 a2 an 2 ≤ na12 a2 2 an 2 . 分析：可用构造二次函数试解本题. 证明:因为下面对任意的x ∈R n ∈N 都成立：a12 a2 2 an 2 x 2 2a1 a2 an x n ≥ 0 . 即a1 x 1 2 a2 x 1 2 an x 1 2 ≥ 0 .构造二次函数 f x a12 a2 2 an 2 x 2 2a1 a2 an x n 其中ai ≥ 0i12 n .由于 f x ≥ 0故其判别式4a1 a2 an 2 4a12 a2 2 an 2 n ≤ 0 由此，得：a1 a2 an 2 ≤ na12 a2 2an 2 . 1.3 构造高次函数对于构造高次函数，它的构造常常与根的存在性定理、极限思想等联系起来. n 1 例 3 证明代数方程a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 0 a2 n 1 ≠ 0 n 3 4 至少有一个实根. 分析:只要证明高次函数 f xa0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 至少有一个零点即可.因为当x 充分大时，函数 f x 的符号取决于a2 n1 x 2 n1 ，由此易知，x → ∞ 当时的函数值与x → - ∞ 时的函数值是异号的，根据根的存在性定理即可得证. 证明:不妨设a2 n 1 gt 0 构造函数f x a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 ，则lim f x ∞ ，lim f x ∞ ，x →∞ x →∞故存在x1 gt 0 x2 lt 0 使得 f x1 gt 0 f x2 lt 0 .因为 f x 在x2 x1 上连续，故由根的存在性定理知，存在x0 ∈x2 x1 ，使得 f x00 ，即代数方程a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 a2 n1 ≠ 0，n 3，4，）至少有一0（个实根. 1.4 构造三角函数对于在题设和结论中如果涉及三角形的边、角及其边角关系时，可通过构造三角函数，利用三角函数特有的性质和概念解决问题. 例4 在锐角三角形中，求证: sin A sin B sin C gt cos A cos B cos C . 分析及解: 考虑到 A 、B 、C 均为锐角故可构造三角函数：xf sin x0 lt x lt 90 其中x1 A 90 B 90 C 均为定义域中的值. x2 x3∵ A B C ∴A 90 B 90 C . 180∵x1 x2 x3 均为正值，∴A gt 90 B .而在0 90 ，f x sin x 为增函数所以有sin A gt sin90 B B . cos同理可得: sin B gt cos C ，sin C gt cos A ，三个不等式同侧相加有sin A sin B sin C gt cos A cos B cos C . 1.5 构造其它函数观察问题的条件特征，联想有关函数方面的数学知识来构造函数是最奏效的构造方法.除了构造以上四类函数外，还可以构造其他函数，如指数函数或各类初等函数的复合等等. 例 5.已知: a gt b gt 0 求证: a a bb gt a bb a . a 证明:∵ a gt b gt 0 ，∴gt1 a b gt 0 . b x a构造函数 f x x ∈R 则根据指数函数的性质，得 b a b a a a bbf a b gt 1 即gt 1 .整理，得: gt 1 b abb a所以有a a bb gt a bb a .二、构造图形图形是数学关系的一种反映，在几何方面，题设给出的条件大多图形一般，解证有一定的困难，如果我们根据题设巧妙地构造出特殊的规则图形，利用所构造图形的性质解题，可以把观察、分析、联想、推理于一体，开拓解题思路. 构造图形是用来解决问题的一个重要方面，对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或以某种方式可以将问题转化为几何图形，借助于对几何图形性质的研究，从而获得解决，它的实质就是将“数转化为形”，借助图形来实现解题的目标. 2.1 构造三角形构造三角形是构造图形及其构造思想的一个重要应用，构造三角形就是要充分利用三角形中的边角关系，特别是构造那些特殊的三角形（如直角三角形、等腰三角形、等边三角形），更有利于解决问题. 例 6.已知如图所示，在ABC 中，∠B 2∠C ，AD ⊥BC 于 D ，求证: BD AB . CD 分析:此题在构造三角形的过程中，有A两种方法.其一就“补”，延长CB 到 E ，使DE CD ，连接AE ，构造出等腰三角 E B D F C ∠形ACE ，则∠E C .而∠ABC 2∠C ∠E ∠BAE ，∠E则有∠BAE ，即AB EB ，所以得到BD AB BD EB DE CD ；其二就是“截”，在DC 上截取DF DB ，连接AF ，则△ ABF 为等腰三角形，只要证明AF FC 即可，而这是很容易做到的.（证明略）对于某些代数问题，特别是题设中涉及到三角形的某些理论知识时（如勾股定理、正弦定理、余弦定理），经过观察和分析，也可以通过构造三角形来解决问题. 例7.证明: m 2 n 2 2mn n 2 gt mm gt n gt 0分析及证明：由于条件m gt n gt 0 及m 2 n 2 的形C 式很容易启发并构造一个a 2 b2 直角n m2 -n ABC ，使AB m ，BC n ，∠C ，90 A B m显然AC m 2 n 2 ，∴m 2 n 2 n gt m .又∵m gt n gt 0 ，∴mn gt n 2 则2mn gt 2n 2 .∴2mn n 2 gt n 2 即有2mn n 2 gt n .故有m 2 n 2 2mn n 2 gt mm gt n gt 0 . 2.2 构造四边形对于一些代数问题，特别是直接解决较为棘手甚至无从下手的代数问题，如果其形式可以转化为图形或者可以借助构造四边形等图形来解决，便可以寻找到新的解题途径，以形助数，充分利用图象的形象直观可以使我们更快地进入问题情景. 例8.已知正数a 、b 、c 、a1 、b1 、c1 ，满足条件 a a1 b b1 c c1 k ，求证: ab1 bc1 ca1 lt k 2 . 分析：此题通过构造性思维发现可以把ab1 、bc1 、ca1 均看成三个矩形的面积. k 2 可以看成边长为k 的正方形的面积，从中可以构造出前面的三个矩形.证明：构造一个特殊的四边形——边长为k 的正方形ABCD ，且令DF a ，DC1 AH b1 ，AC1 BH b ，BE c1 ， c ，CECF a1 ，并作出相应的矩形S1 、S 2 、S3 ，由于S ABCD gt S1 S 2 S3 ，故有k 2 gt ab1 bc1 ca1 . 构造图形可以增强解题的直观性，有助于问题的解决.几何中的添加辅助线、图形的补割、变换等都是构造图形的实例.在构造四边形上，当然也不例外. ∠例9.如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ，∠B D ，BC 2 ，60 90CD 3 .求AB 的长. A F 解:过 D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，过 A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，构造出一个特殊的四边形——矩形ABEF .根据已知条件 D B C E ∠ADF 60 ，∠DAF 30 ，在直角三角形易知∠BCD ∠DCE ∠CDE 120 ，3 7 7DCE 中，CD 3 ，可得CE 1.5 ，DE 3 ，BE AF ，得到DF 3， 2 2 6 8 从而得到AB EF 3.3 2.3 构造其它图形除了构造三角形和四边形，还可以构造其他图形进行解决数学问题，如可以构造单位圆来研究极限等问题. sin x 例10.证明: lim 1. x →0 x B 证明:构造图形（如图所示）——单位圆，当 D π0lt xlt 时，显然可得: △ OAD 的面积lt 扇形OAD 2的面积lt △ OAB 的面积，所以有O C A1 1 1 sin x lt x lt tan x ，即有：sin x lt x lt tan x ，此式2 2 2 x tan x sin x同除以sin x ，则有1 lt lt 或cos x lt lt 1 . 由于偶函数的性质，上式sin x sin x x π sin x对lt x lt 0 也成立.由lim cos x 1 及函数收敛性定理可得lim 1. 2 x →0 x →0 x三、构造向量由于向量具有代数和几何的双重性质，所以有时构造向量能够实现代数问题和几何问题的互化，这使得构造向量法在数学解题中也有广泛的应用.向量数量积公式m n m n cos θ （θ 为m 与n 的夹角）蕴涵着重要的不等关系：2 2 2m n ≤ m n （当且仅当m 与n 共线时取等号）；以及等式关系：m m m .可利用它们来解决一类数学问题，如求值计算、不等式的证明、等式证明等，可根据题设中的条件和结论，独辟蹊径，将其化为向量形式，利用上述关系式可辟免复杂的凑配变形技巧，使解题的过程和方式变得简洁明了，问题最终得已解决. 3.1 求值计算例11.已知a 、b 、c gt 0 ab 2 a 2 b 2 c 2 bc ca 的最大值. 6 求解:构造两个向量m a b c ，n b c a ，由于m n ≤ m n cos θ ≤ m n （θ 为向量m 与n 的夹角），故可得: a b ca ≤ a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 6 ，当且仅当m 与n同向时，a b c ，ab 2 ，即而故当且仅当 a b c 2 时取等号，所以bc ca的最大值为 4. 3.2 不等式证明把一些貌似不等式证明的问题构造为向量的问题来解决，这对某些问题，特别是对一些复杂的不等式证明问题特别有效. 3 例12.已知≤ x ≤ 5 ，证明不等式2 x 1 2 x 3 15 3 x lt 2 19 . 2 证明:设y 2 x 1 2 x 3 1 x 1 x 1 1 x 1 1 2 x 3 1 1 x ，53 53则可以构造向量m 1111 与n x 1 x 1 2 x 3 15 3 x ，于是有y mn ≤ m n 4 x 14 ≤ 2 19 . 3当≤ x ≤ 5 时，2 x 4 lt 2 19 ，故y lt 2 19 . 2 当x 5 时，2 x 4 9 ，但由于x 1 2 2x 3 15 3 x 无解，故m n lt m n ，即y lt 2 19 .因此原不等式成立，即有：2 x 1 2 x 3 15 3 x lt 2 19 .3.3 等式证明例13.已知a 、b ∈R ，且a 1 b 2 b 1 a 2 1 ，求证: a 2 b 2 1. 证明:构造向量m a 1 a 2 ，n 1 b 2 b ，则m n 1 ，且m n a 1 b 2 b 1 a 2 1 ，得m n m n ，故可知m 与n 同向且m n ，从而有 a 1 b 2 ，所以 a 2 b 2 1.四、构造例子“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰”. 解题最好单刀莎士比亚说的好：直入，直接解剖问题的核心. 而利用构造例子做题，往往可以“一招破敌”，主要表现在做选择题和判断题的应用上，有时候分析某些复杂的问题也是十分需要的. 4.1 构造特例构造符合题设中的特殊常数，巧用条件或结论的特殊常数解题，不但应用广泛，而且也是一条解题原则.运用.。
运筹学-最短路问题[课件参考]
![运筹学-最短路问题[课件参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/199eaa4c5727a5e9846a6140.png)
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1、最短路算法基于以下原理：
一个最优策略的任一子策略也是最优策略.
若P是从vs到vt间的最短路, vi是P中的一个点,则vs到vi的最
短路就是从vs 沿P到vi的那条路。 v2
v4
v1
v3
v5
v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路，
v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
3.比较与vi相邻的所有具有T标号的节点，把最小者改为P 标号，即： P(vk ) min[T (vi )]
精选课件
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
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Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
精选课件
§8.3 最短路问题
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解 :(1)首先给v1以P标号，给其余所有点T 标号。
P(v1) 0,T (vi ) (i 2, 3, , 8)，(v1) 0;
(2) T (v2 ) min{T (v2 ), P(v1 ) w12 } min{ , 0 3} 3
T (v4 ) min{T (v4 ), P(v1 ) w14 } min{ , 0 7} 7
精选课件
§8.3 最短路问题
最短路课程设计
最短路课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的基本概念，掌握其在现实生活中的应用。
2. 学生掌握Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理，能运用算法解决特定条件下的最短路径问题。
3. 学生了解最短路径问题与其他数学问题的联系，如图论、线性规划等。
技能目标：1. 学生能运用所学算法，自主编写程序解决最短路径问题，提高问题解决能力。
2. 学生通过小组合作，培养团队协作和沟通能力，提高问题分析、方案设计的能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过解决实际生活中的最短路径问题，培养对数学学科的兴趣和热情。
2. 学生在学习过程中，培养勇于尝试、克服困难的精神，增强自信心。
3. 学生了解最短路径问题在交通、物流等领域的应用，认识到数学知识在实际生活中的价值。
课程性质：本课程为信息技术与数学相结合的实践性课程，旨在培养学生的计算思维和问题解决能力。
学生特点：学生处于高中阶段，具有一定的数学基础和编程能力，对实际问题具有较强的探究欲望。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践和小组合作，提高解决问题的能力。
教学过程中，关注学生的个体差异，给予个性化指导，确保课程目标的达成。
通过课程学习，使学生将所学知识应用于实际问题的解决，达到学以致用的目的。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 最短路径问题的基本概念：- 定义及其相关术语- 最短路径问题的分类和应用2. Dijkstra算法：- 算法原理及步骤- 代码实现及案例分析- 算法优缺点分析3. Floyd算法：- 算法原理及步骤- 代码实现及案例分析- 算法优缺点分析4. 最短路径问题与其他数学问题的联系：- 图论基本概念- 线性规划简介- 最短路径问题在交通、物流等领域的应用5. 实践项目：- 设计实际场景下的最短路径问题- 分组讨论，制定解决方案- 编写程序，验证解决方案的正确性教学内容依据教材相应章节进行组织，确保科学性和系统性。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
在现实生活中，我们经常需要找到两点之间的最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，求解最短路问题具有重要的理论和实际意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定顶点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径；而多源最短路则是指图中任意两个顶点之间的最短路径。
在本文中，我们将重点讨论单源最短路问题的求解方法。
求解最短路问题的方法有很多种，其中比较经典的算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
下面将分别介绍这三种算法的原理和应用。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
该算法的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中顶点的个数。
该算法适用于没有负权边的图，且能够快速求解单源最短路的问题。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题，该算法允许图中存在负权边。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对图中的所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图中顶点的个数。
通过多次松弛操作，可以逐步逼近最短路径的结果。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示图中顶点的个数，E表示图中边的个数。
该算法适用于存在负权边的图，且能够求解单源最短路的问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
该算法的基本思想是通过对图中的所有顶点进行遍历，逐步更新每对顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的个数。
浅谈最短路的数学模型解问题
浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。
现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。
问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。
（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。
这是一般人都有的最直接最原始的思路。
我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。
本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。
1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。
其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。
2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
数学建模案例分析最短路问题实用教案
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
则称 w(P) w(e)为路径 P 的权． eE ( P )
(2) 在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P(u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
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常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
2 7 v1
0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0
v3 v4
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返回(fǎnhuí)
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念
二、固 定 起 点 的 最 短 路
三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
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aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设(jiǎshè)图为简单图
v1
0
A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1
0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
d(j 1)}
最短路模型的构建与求解方法方案(曹利国教案)
最短路模型的构建与求解方法教案长沙市一中曹利国课题：最短路模型的构建与求解方法重点：最短路问题的求解方法难点：最短路问题的模型构建方法过程：一、最短路问题的原型（1）单源最短路问题问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点——表示城市边——表示城市间的交通联系权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。
用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。
Repeat找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]<disk[j] thendisk[j]=disk[i]+g[I,j]）Until 所有节点都扩张过了。
（2）任意顶点对之间的最短路问题求解方法：Floyed算法。
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。
具体步骤：初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。
数理与信息工程学院
数理与信息工程学院课程论文课程名称图论及其应用题目最短路Dijkstra算法姓名蒋黎锋学号06200104专业信息与运算科学06（1）指导师长教师卜月华最短路Dijkstra算法1、引言最短路径问题是图论研究的一个重要课题 ,它广泛应用于交通、收集寻优等范畴。
最短路径问题要解决的确实是求加权图 G= < V , E,W > 中两给定顶点之间的最短路径。
求最短路径的一个有名算法是迪克斯特拉(Dijkstra)算法 ,它能够求出图中从一个顶点到其它各顶点的最短路径的长度及一条最短路径。
然则 ,该算法具有其局限性 ,它不克不及求出从一个顶点到其它各顶点的所有最短路径。
本文经由过程对最短路径问题进行深刻的分析 ,提出了 Dijkstra 的一种改进算法。
该算法只需求出从一个顶点到其它各顶点的所有最短路径的长度 ,不需储备任何最短路径信息即可求出所有最短路径。
2、相干概念定义 1 给定简单加权图,,G V E W =<> ,设0v ,1v ,,m v V ∈,边12,,,m e e e E ∈,个中1,i i v v - 是i e 的结点,序列0v ,1v ,,m v 称为连接0v 到m v 的路,记为0v 1v ……m v 。
路中边的数量称为该路的秩。
0112(1)n n ωωω-+++称为该路的长度。
所有连接0v 到m v 的路中长度最小的路称为0v 到m v 的最短路径。
定义 2 给定简单加权图,,G V E W =<>,011{,,}n V v v v -=,称()ij A a =为图G 的邻接矩阵,个中ij ω表示i j v v 和之间边的权值。
求最短路径最有名的算法是 Dijkstra 算法 ,其全然思惟是按路径长度递增的次序产生最短路径 ,可由下式给出：[]min{[],[]}ji D i D i D i ω=+Dijkstra 算法具有其局限性 ,它只能求出一条最短路径 ,而不克不及求出所有最短路径。
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用之五兆芳芳创作姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的办法，为我们解决这类图论问题提供了根本思路与办法.关头字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建.目录第一章．研究布景1第二章．理论根本22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步调22.2.3 时间庞杂度22.3 复杂样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题阐发443.4 模型假定55555第四章. 参考文献5第五章．附录5第一章．研究布景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或原来暗示，边暗示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来暗示.顶点的荟萃是V，边的荟萃是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)暗示[1].最短问题是图论中的根本问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离.因此掌握最短路问题具有很重要的意义.第二章．理论根本2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题.最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路装置，厂区计划和设备更新等实际问题[2].2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解:Dijkstra 算法不克不及够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负.(1).先给图中的点进行编号，确定起点的编号. (2).得到图的组成，写出写出图的矩阵0000(,)(,)(,)(,)n n n n u u u u G u u u u=(3).按照要求求出发点S 到终点E 的最短距离，那么需要从当前没被拜访过的结点荟萃unvist={u | u {1,2,3...}}n ∈中找到一个距离已经标识表记标帜的点的荟萃中vist={u | u {1,2,3...}}n ∈的最短距离，得到这个顶点；(4).利用这个顶点来松弛其它和它相连的顶点距离S 的值(5).重复步调(2)和(3)，直到再也没有点可以用来松弛其它点，这样我们就得到了由起点S 到其它任意点的最短距离.时间庞杂度达到2()O N给出对应的结点之间的关系注释：其中（A,B）= 2 暗示结点A到B 的长度为2第一步：进行编号，假定A点即为起点.第二步：得到图02151010201115151102071012003105730G=第三步：首先从起点A开始找到距离A最近的点，那就是A点了；第四步：把A点标识表记标帜到已经用过的的集适用{}vist A=A来更新其它点{,,,}unvist B C D E=到起点的距离得到的荟萃dist =02151010A B C D E暗示起点到B,C,D,E的距离辨别为2,15,10,10第五步：重复上述步调：得到{,}vist A B=,{,,}unvist C D E=,dist =021337A B C D E持续重复上述步调，最后的到{,,,,}vist A B C D E=,unvist=∅,得到的dist =021336A B C D E，即最短路求解完毕.第三章．应用实例3.1 题目描述农村的孩子应该都会听到大人们经常谈论这样的问题-------修建水渠.在我们南方采取深井浇灌，所以说修建水渠加倍普遍，因为一般都是水渠直接引流到田地旁边.经常一些土地需要开发，在这个进程中，我们需要能够将在某一个地点的水源引流到新建的田地里面，这个进程很麻烦，有时候大家很冲动的去引流，结果最后修建的水渠其实不克不及满足要求，往往浪费了大量的物力人力和财力，所以现在我们要设计一定的数学模型来帮忙农民来计齐截下，如何修建的水渠最优，并且给出修建的路径.通常是通过步长来估量两个点之间的长度，我们通常可以这样理解，每两步可以认为是1米.给出的点之间的关系描述关系为（其他因素先可以不必考虑）：注：A暗示的是总的进水口，其余字母暗示的是每块田地的进水口的位置,这只是部分数据.3.2 问题阐发问题是让我们来计齐截下水渠该如何来修建的问题，并且已经知道了出水口所在的位置，并且复杂的知道了一些点之间的距离，让我们帮农民找到一条最优的水渠来完成引流任务.既然给出的是关于长度的问题，那么长度一定是很重要的标识表记标帜量了，那么我们只需要找到一条从总出水到某一块地的修建的距离最短便可.3.4 模型假定假定其余条件不会影响水渠修建，比方土壤硬度假定水渠宽度不会对水流量造成影响即水渠内的流量会满足要求最短路模型最短路模型解决的就是图论中任意两点之间的最短路问题.我们的指标是（X,Y） = min(x,y) | x{{,....},{,,...}}∈∈L A B y A B首先对数据进行抽取，得到我们所需要的数值，并把它存储到矩阵G这应该是一个9*9的矩阵，其次我们可以依照最短路的模型使用Dijkstra算法来进行求解，得到的值便是S到任一点的最短距离值，最后依照路径复原的思想复原修建的路径便可.最短路模型的是行能够较好的解决单源最短路径问题，可以较好的模拟出路径修建，得到的一定是最短的路径，能够达到预期要求的效果，得到的最终结果如附录里“3.应用实例结果输出”所示[1]. 韩中庚著，《数学建模办法与应用》，初等教育出版社[3].[美] Frank R.Giordano著《数学建模》（原书第五版）[4].刘晓妍著《基于最短路的设备更新问题的数学建模》河南教育学院学报(自然科学版) 第22卷第四期2013年12月[5].杨启帆、边馥萍著，《数学模型》，浙江大学出版社第五章．附录1.应用实例矩阵011120030040050060010234257312010611121314131001001234 G2004610001020304030021111005060604005122205002334500713330602301260031444060341202.应用实例C++程序#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <vector>usingnamespacestd;constdouble INF = 0xFFFFFFF;constint MAX_N = 10005;//暗示最大有顶点10005个；intn,m;//暗示有n个结点；给出了m条边double G[MAX_N][MAX_N];//用邻接矩阵来从这个图doubledist[MAX_N];//暗示起点到当前点的最短距离boolvist[MAX_N];intprev[MAX_N];vector <int>getpath(int t){ //路径复原可变长数组类型vector<int> path;for(; t !=-1; t =prev[t]){path.push_back(t);}reverse(path.begin(),path.end());return path;}voidDijkstra(int s){//求得最短路径dist[s]= 0;while(true){int v =-1;double mx = INF;for(inti= 1;i<= n;i++){//挑选出未被标识表记标帜荟萃最短的点if(!vist[i]&& mx >dist[i]){mx=dist[i];v =i;}}if(v ==-1){break;}vist[v]=true;for(inti= 1;i<= n;i++){ //用当前的到的值来松弛其他不在标识表记标帜的荟萃中的值if(!vist[i]&&dist[i]>dist[v]+G[v][i]){dist[i]=dist[v]+G[v][i];prev[i]= v;}}}}voidinit(){ //初始化值for(inti= 1;i<= n;i++){for(int j = 1; j <= n; j++){G[i][j]= INF;G[i][i]= 0;}dist[i]= INF;vist[i]=false;prev[i]=-1;}}int main(){cin>> n;init();for(inti= 1;i<= n;i++){for(int j = 1; j <= n; j++){cin>> G[i][j];}}Dijkstra(1);for(inti= 1;i<= n;i++){printf("出水口到目标点%d 的最短距离= %.0f\n",i,dist[i]);vector<int> q =getpath(i);printf("目标点%d 的路径为\n",i);printf("%d",q[0]);for(inti= 1;i<(int)q.size();i++){printf("-> %d ",q[i]);}printf("\n");}return 0;}3.应用实例结果输出出水口到目标点1 的最短距离= 0目标点1 的路径为1出水口到目标点2 的最短距离= 1目标点2 的路径为1-> 2出水口到目标点3 的最短距离= 1目标点3 的路径为1-> 3出水口到目标点4 的最短距离= 1目标点4 的路径为1-> 4出水口到目标点5 的最短距离= 5目标点5 的路径为1-> 2 -> 5出水口到目标点6 的最短距离= 2目标点6 的路径为1-> 4 -> 6出水口到目标点7 的最短距离= 3目标点7 的路径为1-> 4 -> 7出水口到目标点8 的最短距离= 4目标点8 的路径为1-> 4 -> 8出水口到目标点9 的最短距离= 4目标点9 的路径为1-> 2 -> 9。
第六章6.2最短路问题
第三步：若网络图中已无T标号点，停止 计算。否则,令 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。
T (v j0 ) min T (v j )
v j s
,
然后将 v j0 的T 标号改成P 标号 ，转入第
（5） D氏标号法（Dijkstra）的特点
（获得的附加信息）：
能得到从 1 （起点）到各点的最短 路线和最短路长。
v1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 8.8 8.6 5.6 8 6
v2 8.8 0 8 5 13 4
v3 8.6 8 0 3 4.8 12
v4 5.6 5 3 0 7.8 9
v5 8 13 4.8 7.8 0 9
v6 6 4 12 9 9 0
v1 v1 v2 பைடு நூலகம்3 v4 v5 v6 0
v
求A到H、I的最短路及最短路长，并对图 (a)和(b)的结果进行比较。
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最 短路长22；A到I的最短路 PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长 21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路 长20；
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的） （2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
二、最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra）
v5 8 100 4.8 12 0 9
数学建模最短路
图的矩阵表示
关联矩阵 邻接矩阵
2 1 0 0 1v1 M0 1 1 1 0v2
0 0 1 1 1v3
ee e e e 12345
1 1 1v1 A1 0 2v2
1 2 0v3
v1 v2 v3
8
§3最短路问题求解算法
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负。
1. Dijkstra Algorithm: 的最短路。
求G中从顶点u0到其余顶点
定义：
对每个顶点v，定义两个标号l(v), z(v), 其中l(v)为从 u0到v的路长； z(v)为v的父亲点（前一个点）。
S：具有永久标号的顶集。
算法的过程就是在每一步改进这两个标号，最终 l矩(v阵)为）u0w到(uv,的v)最. 短路长。输入带权邻接矩阵（距离
9
第11章 最短路问题
1. 问题的提出 2. 图论的基本概念 3. 最短路问题求解算法 4. 建模实例
1
§1 问题的提出
某学校行政部门u0经 常有人到7个部门办 事，希望在现有的道 路网络中确定他们行 走的路线，使他们到 各部门的路程最短。
图中已经标明了部门 到部门之间的距离。
2
§2 图论的基本概念
32
二部图的赋权匹配
Kuhn-Munkres算法： (1)设G=(X, Y, E)是二部图，从任一可
行顶点标号L开始，确定GL，并在GL 中选取一个匹配M。 (配2)，若是X是G的饱最和佳的匹，配则，M算是法GL终的止完；美否匹 则令，S=在{uG}，L中T=取Φ一；个M-非饱和点u∈X，
33
最短路问题求解算法
Dijkstra Algorithm
(1)赋初值:令S {u0},l(u0) 0,vS V \ S, 令l(v) , z(v) , u u0
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最短路模型的构建与求解方法教案长沙市一中曹利国课题：最短路模型的构建与求解方法重点：最短路问题的求解方法难点：最短路问题的模型构建方法过程：一、最短路问题的原型（1）单源最短路问题问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点——表示城市边——表示城市间的交通联系权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。
用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。
Repeat找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]<disk[j] thendisk[j]=disk[i]+g[I,j]）Until 所有节点都扩张过了。
（2）任意顶点对之间的最短路问题求解方法：Floyed算法。
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。
具体步骤：初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。
一个人带了一只狼、一只兔子和一棵白菜想要过河。
河上有一只独木船，每次除了人以外，只能带一样东西。
另外如果人不在旁时狼就要吃兔子，兔子就要吃白菜。
问应该怎样安排过河，才能做到既把所有东西都带过河，在河上来回的次数又最少？.分析：（一）构图（1）图的节点对于左岸的情况，我们可以用集合表示。
这样一共会有24=16种状态：[人、狼、兔、菜] [人、狼、兔] [人、狼、菜] [人、兔、菜][狼、兔、菜][人、狼][人、兔] [人、菜] [狼、兔][狼、菜] [兔、菜][人] [狼][兔] [菜] [ ]这其中有狼吃兔子、兔子吃菜的情况的有：[狼、兔、菜]，[人、狼]，[人、菜]，[狼、兔]，[兔、菜]，[人] 共6种情况。
将他们删掉后就剩下10个集合了。
将这10个集合看成我们的图中的10个节点。
（2）图的边与权这10个节点，若是一个节点的情况可以通过一次渡河得到另一个节点的情况，就在这两个节点之间连一条权值为1的无向边。
构建后的图论模型如下：（二）问题转化：构建好图论模型后，问题转化成了求[人、狼、兔、菜] 到[ ] 的最短路径了。
问题B：最优乘车（NOI97试题）问题描述：H城是一个旅游胜地，每年都有成千上万的人前来观光。
为方便游客，巴士公司在各个旅游景点及宾馆，饭店等地都设置了巴士站并开通了一些单程巴士线路。
每条单程巴士线路从某个巴士站出发，依次途经若干个巴士站，最终到达终点巴士站。
一名旅客最近到H城旅游，他很想去S公园游玩，但如果从他所在的饭店没有一路巴士可以直接到达S公园，则他可能要先乘某一路巴士坐几站，再下来换乘同一站台的另一路巴士, 这样换乘几次后到达S公园。
现在用整数1，2，……N 给H城的所有的巴士站编号，约定这名旅客所在饭店的巴士站编号为1，2，……S，公园巴士站的编号为N。
写一个程序，帮助这名旅客寻找一个最优乘车方案,使他在从饭店乘车到S公园的过程中换车的次数最少。
输入输出输入文件是INPUT.TXT。
文件的第一行有两个数字M和N(1<=M<=100 1<N<=500），表示开通了M条单程巴士线路，总共有N个车站。
从第二行到第M + 1行依次给出了第1条到第M条巴士线路的信息。
其中第i+1行给出的是第i条巴士线路的信息，从左至右按运行顺序依次给出了该线路上的所有站号，相邻两个站号之间用一个空格隔开。
输出文件是OUTPUT.TXT，文件只有一行。
如果无法乘巴士从饭店到达S公园，则输出“N0”，否则输出你的程序所找到的最少换车次数，换车次数为0表示不需换车即可到达。
样例INPUT.TXT3 76 74 7 3 62 13 5OUTPUT.TXT2[分析]此题是Noi97第一试的第二题，看完题目的描述后我们很容易就想到“这道题目是不是跟图论有关？”，然后我们发现问题是求最少的换车次数，于是又可以想到“这是不是可以用最短路来解决？”如果可以，问题就成了如何构建最短路的图论模型。
（一）模型的构建方法首先我们来分析样例所表示的图：考察4 ——> 7 ——> 3 ——> 6这条线路。
由于巴士在同一线路上行走不需换车，我们可设4 ——> 7，4 ——> 3，4 ——> 6，7 ——> 3，7 ——> 6，3 ——> 6这些边的权值都为1。
对每条线路我们都这样构图，然后问题就转化成求起点1到终点n的最短路。
图2：把图2中的编号一样的点合并，再求从1到n的最短路即可。
（二）问题转化：假设最短路长为m 。
由于坐车耗费在每条线路上的代价都是1，而不同线路间是通过同一站联系的，所以换线路并不耗时，因此m即表示从起点1到终点n所经过的最少线路数。
而最少换车次数即等于经过的最少线路数减一。
问题C：求解《01串问题》（NOI99试题）问题描述：给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一个01串S=s1s2…s i…s N，满足：（1）s i=0或s i=1，1<=i<=N；（2）对于S的任何连续的长度为L0的子串s j s j+1…s j+L0-1(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于B0;（3）对于S的任何连续的长度为L1的子串s j s j+1…s j+L1-1(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于B1;例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2，则存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。
输入仅一行，有7个整数，依次表示N,A0,B0,L0,A1,B1,L1（3<=N<=1000，1<= A0<=B0<=L0<=N，1<=A1<=B1<=L1<=N），相邻两个整数之间用一个空格分隔。
输出仅一行，若不存在满足所有条件的01串，则输出一个整数-1，否则输出一个满足所有条件的01串。
样例输入6 1 2 3 1 1 2样例输出010101[.分析]这是一道非常特别的最短路问题，它的点与边的建立借用了数学概念。
（一）构图既然是一道最短路问题，就一定要用到图论模型。
问题是如何构建本题的图论模型： （1） 图的节点用C i 表示s 1,s 2….s i 中1的个数，我们可以得到C 1,C 2….C n ，用他们作图的节点，将C 0也考虑进去（显然：C 0=0），我们就得到了N+1个节点。
（2）图的边与权。
若我们已找到一个串S ，则这个串S 必须满足如下性质：对任意的i ，C i 一定符合下面的不等式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥-+≥+≥-+≥+≥+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-≤≥+≥+-++-+-++--0)00000111111000011111()()(10)(10L i i L i i L i i L i i i i i i i L i i L i ii i i C L B C C A L C C B C C A C C C C C B C C L A B C C A C C C C于是，根据这些不等式，我们得到了点与点之间的关系。
按照这些不等式中大于等于符号的方向连接有向边，用加号后面的值作为边的权值，我们的构图就完成了。
例如，样例数据可以得到下面的图：得到的S 序列：101010 (二)模型求解 （1） 判断是否有解 考虑下面这样一种情况：ii i k k j j i C z y x C C z C C y C C x C ≥+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+)(若x+y+z < 0 则 C i < C i这显然是不可能得到的，所以若是出现了这种情况，则说明无解。
这种情况就是构建的图中出现负权回路的情况！ （2）求出S 序列要求出S 序列，我们只要求出C 数组就可以了。
因为C 数组和S 序列是一一对应的关系。
而C 数组的值，又可以通过构建的图论模型来求。
图中C 0节点到各个节点的最短距离，就是各个节点的值。
（3）算法思想从前两步得知，我们需要完成两件工作：第一件就是判断图中是否有负权回路；第二件就是求C 0到各个节点的最短距离。
要解决这两件事情，我们可以选择Bellman-Ford 算法。
[Bellman_Ford 算法思想]用d [ i ] 表示源点到其他点的最短距离值，用cost [ i , j ] 表示边（i ，j ）的权值。
Repeat标志变量置true 枚举所有的边（i ，j ）如果d [ i ] + cost [ i , j ] < d [ j ]， 则更新d [ j ] 值 = d [ i ] + cost [ i , j ] 标志变量置falseUntil 无法再更新到所有点的最短距离（即标志变量等于true ） （4）算法改进分析Bellman-Ford 算法的本质，我们可以在它的基础上得到一个更简单的迭代算法： 1）每一轮更新依次访问C 0到C n 。
每次访问到节点C i ，根据前面推出的6个不等式，更新另外6个节点的值。
2）重复1步骤，直到无法更新或更新的轮数大于2n为止。
显然，若更新的轮数大于2n，则说明有负权回路，问题无解；若更新的轮数小于等于2n，则说明没有负权回路，于是根据C数组构造出S序列输出。
三、总结最短路是图论的经典问题，解决的方法有：Dijkstra算法Floyd算法Bellman-Ford（迭代算法，判负权回路）广度优先搜索（也是迭代的思想）各种算法的复杂度不尽相同，在处理不同的题目时应视具体问题选用合适的算法，而构建正确高效的图论模型是解决这一类最短路问题的关键。