一阶系统

一阶系统：凡是能够用一阶微分方程描述的系统。

典型环节：比例环节，惯性环节，微分环节，积分环节，震荡环节。 时间相应的组成：按振动性质分为自由响应强迫响应，按振动源分为零输入响应零状态响应。

时间响应：是指控制系统在输入作用下，被控变量（即系统的输入）随时间的变化情况。

传递函数：为当系统初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（激励函数）的拉普拉斯变换之比。 频率响应：系统对正弦输入信号的稳定响应称为。

稳定性：是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。 2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？

答：如果系统的数学模型是线性的，这种系统就叫做线性系统。线性系统最重要的特性，是适用于叠加原理。叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入

量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。

3-1 时间响应由哪两个部分组成？各部分的定义是什么？

答：根据工作状态的不同，把系统的时间响应分为瞬态响应和稳态响应。系统稳定时，它的自由响应称为瞬态响应，即系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。而稳态响应一般就是指强迫响应，即当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。

2-7证明图（题2-7）所示两系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

C

o

u 2

R 1

R i

u

1C

2

o

x i

x k 1

c 1

c 2

k 2

()

a (

b )

解：根据图)(a 的已知内容可得：

1

1R C I I I += ① 0

11V IR R V i += ② ⎰

+

=idt C i R V 2201

③ ⎰=dt

i C IR R C 11

111

④

由②有：

1

1R V V i i

R -= ③求导：

2

20C i i R V +

=

②求导：

1

0111V c i V R i R V C i +=

+=

1

0)(1C V V i i C -=

1

01

)(11C V V R V V i i i i i C R -+-=

+=

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=10102101020)(1)(C V V R V V C C V V R V V R V i i i i ∴

1

)(1)()()(1122212121221121210+++++++=

=s C R C R C R s R R C C s C R s C R s R R C C s V s V s G i

根据图b)可得：

⎩⎨⎧=--=-+-1

110101002)()()()(x k x x C x x C x x k x x C i i i

1)(1

)()()()()()(2

1

2211221212

2

1122121211112212

212112212210+++++++=+++++++==s k C k C k C s k k C C s k C k C s k k C C k k s k C k C k C s C C k k s k C k C s C C s X s X s G i

1-1 试举日常生活工程中开环和闭环控制系统的两个例子，说明其工作原理。 答：（1）控制系统的输出量不影响系统的控制作用，即系统中输出端与输入端之间无反馈通道时称开环系统。如普通的车削加工或没有反馈通道的控制车床进给系统。其工作原理为：

指令

(系统输入

)(系统输出)工作台

控制装置 输入装置伺服装置工作台位置（2）控制系统的输出与输入间存在着反馈通道，即系统的输出对控制

作用有直接影响的系统，称为闭环系统。因此，反馈系统也就是闭环控制系统。如数控机床进给系统（采用闭环系统时）。系统的输出（工作台的移动）通过检测装置（同步感应器或光栅等）把信号反馈到输入端，与输入信号一起通过控制装置对工作台的移动进行控制。其工作原理为：

工作台

控制装置

指令

输入装置

驱动装置

工作台位置

检测装置

1-2 图（题1-2）是控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图。图中电位器P1,P2并联后跨接到同一电源E0的两端，其滑臂分别与输入轴和输出轴相联结，组成方位角的给定元件和测量反馈元件。输入轴由手轮操纵；输出轴则由直流电动机经减速后带动，电动机采用电枢控制的方式工作。

手轮

输入轴

输出轴

放大器

发射架

i

θo

E o

θo

E 2

P 1

P e

u a

u o

u 1

u u +-

题 1-2 导弹发射架方位角控制系统原理图

试分析系统的工作原理，指出系统的被控对象、被控量和给定量，画出系统的方框图。

解 当导弹发射架的方位角与输入轴方位角一致时，系统处于相对静止状态。

当摇动手轮使电位器P1的滑臂转过一个输入角i θ

的瞬间，由于输出轴的转角i o θθ≠,于是出现一个误差角o i e θθθ-=，该误差

角通过电位器1P

、

2P 转换成偏差电压o i e u u u -=，e u

经放大后驱动电动机转动，在驱动导弹发射架转动的同时，通过输出轴

带动电位器

2P 的滑臂转过一定的角度o θ，直至i o θθ=时，

o i u u =，偏差电压0=e u ，电动机停止转动。这时，导弹发

射架停留在相应的方位角上。只要o i θθ≠，

偏差就会产生调节作用，

控制的结果是消除偏差e θ，使输出量o θ严格地跟随输入量i θ的变

化而变化。

系统中，导弹发射架是被控对象，发射架方位角o θ是被控量，通过

手轮输入的角度

i θ是给定量。系统方框图如图解1-4所示。

1-3 许多机器，像车床、铣床和磨床，都配有跟随器，用来复现模板的外形。图（题1-3）就是这样一种跟随系统的原理图。在此系统中，刀具能在原料上复制模板的外形。试说明其工作原理，画出系统方框图。

跟随控制器

命令输入

Z 轴直流伺服马达

跟随刀头

触针

切割刀具

原料

X 轴直流伺服马达

Y 轴直流伺服马达

题1-3跟随系统原理图模板

解 模板与原料同时固定在工作台上。X 、Y 轴直流伺服马达接受控制

器的指令，按输入命令带动工作台做X 、Y 方向运动。模板随工作台移动时，触针会在模板表面滑动，跟随刀具中的位移传感器将触针感应到的反映模板表面形状的位移信号送到跟随控制器，控制器的输出驱动Z 轴直流伺服马达带动切削刀具连同刀具架跟随触针运动，当刀具位置与触针位置一致时，两者位置偏差为零，Z 轴伺服马达停止。系统中，刀具是被控对象，刀具位置是被控量，给定量是由模板确定的触针位置。系统方框图如图解1-9所示。最终原料被切割加工成模板的形状。

2-2 分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。

)

()

(t f t y k

m

(a )

)

(t y )

(t f 2

1k k m

(b )

c c 1

2

m x x i

o

(c )

1

k 2

k o

i

x x c

(d )

1

k 2

k x i

x o

c

(e )

解：)(a )()()(t f t ky t y m =+

)(b )()()()(21t f t y k k t y m =++

⋅

⋅⋅⋅+=-02010))((x c x

m c x x c i

2

12110)()()()

(K K s K K c cs

K s X s X d i ++=

02010)())((x K c x x

K x x e i i =-+-⋅

⋅

2-3 求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率

n ω及阻尼比ξ的表达式。

x i

x o

c

k

m

(a )

C

u u o

i

L

R

(b )

解：图)(a 有：m k

s m c s m

k s G +

+=

2)(

m k n =ω

mk C

2=ξ 图)(b 有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

=++=⎰⎰idt C V idt C R L V i i i 110

∴

LC s L R s LC s G 11)(2

+

+=

LC n 1=

ω L C

R 2=

ξ

2-4 求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。图中M 为输入转矩，

m

C 为圆周阻尼，J 为转动惯量。（应注意消去θθ ,及θ ）

x

m

k

R

c

M

m

,C J

题2-4

解：由已知可知输入量M 与输出量θ之间的关系为：

M

k C J m =++θθθ

经拉氏变换后为：

)

()()(2s M k s s C s Js m =++θθθ

∴ 2

22

222/11)()

()(n n n m m s J k s J C s J k s C Js s M s s G ωξωωθ++=

++=++==

其中，

J k n =

ω

Jk C m 2=ξ 3-2 设温度计能在1分钟内指示出实际温度值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10℃/min 的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？ 解1：依题意可得已知条件为1=t 分，98.0)(=t C 而一阶系统的传递函数为 11)()(+=Ts t R t C 即)(11)(s R Ts s C += 在上述第一问中，要求温度计在1分钟内指示出响应值的98%，这相当于对温度计输入一个单位阶跃。

亦即 )(1)(t t r = 则

s s R 1)(=

11111)(+-

=⋅+=

Ts T

s s Ts s C

即

]

11[)]([)(11+-==--Ts T

s L t C L t c

T

t

e T s L s L ----=+-=1]11

[]1[11

将1=t

分及98.0)(=t C 代入上式可得

T

e

1198.0--=

即 02.098.011=-=-T

e

将上式两端取自然对数化简后得

秒

分36.15256.09.31

02.0lg 3.21==--=-

=T

解2：在第二问中已知澡盆温度以分/10

线性变化，说明输入函数

t At t r 10)(==，为斜坡函数，此时温度计的误差为 )()()()(t c At t c t r t e -=-=

而当

At t r =)( 时2)(s A

s R =

即

]11[11)(11)(2

22++-=⋅+=+=

Ts T s T s A s A Ts s R Ts s C

则

]11[)()(2

1121

1++-==----Ts T L s T L s L A s C L t C

)(]11

11[112

1

T t

Te T t A T s TL s TL s L A ----+-=++-=

即

)1()()(T t

T

t

e AT Te

T t A At t e -

-

-=+--=

将已知和已求得之值数1=t 分、256.0=t 分、10=A 代入上式

即可求得温度

计

的

误

差

为

)(53.298.0256.010)(上式为近似计算

=⨯⨯=t e 。

3-3 已知系统的单位阶跃响应为

10t

t 02.12.01)(---+=e e t x ，试求：

（1）该系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比

ξ和无阻尼固有频

率

n ω。

解：（1）求解闭环传递函数)

(s Φ

由已知条件，当输入为单位阶跃信号时

]2.12.01[)]([1

)

()(106000t t e e t x s

s s X ---+℘=℘=Φ=

1012.16012.01+⨯-+⨯+=s s s

则

)

10)(60()

60(2.1)10(2.0)10)(60(102.1602.01)()(0+++-++++=+-++

==Φs s s s s s s s s s s s s sX s 60070600

60070722.122.0600702

2

222++=++--++++=

s s s s s s s s s s

（2）求解阻尼比ζ和无阻尼固有频率n ω 将闭环传递函数化为二阶振荡环节的标准形式

22

2

2

260070600)(n n n

s s s s s ωζωω++=++=

Φ

根据对应关系可得

⎪⎩⎪⎨⎧==70

26002n n ζωω

解得 s

ra d n /5.24=ω，43

.1=ζ。

3-4 图（题3-4（a ））是一个机械系统，当有20N 的力作用于该系统时，其质块m 作如图（题3-4（b ））所示的振动，试根据曲线上的