振动模式

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3
薄圆片压电振子的压电方程组
因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r 方向 和 方 向 的 Xr0 ， X0 ， 而 切 应 力 Xr=Xrz=Xz=0。因为电极面就在圆片面上， 所以只有沿z方向的电场强度分量Ez0，而沿r 和方向的电场强度分量Er=E=0。
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Ez
（5-37）
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5
第二类压电方程组
若以（x、E）为自变量，有（5-37）式可得
Xr
s1E1 (s1E1)2 (s1E2 )2
xr
s1E2 (s1E1)2 (s1E2 )2
x
d31 s1E1 s1E2
Ez
X
s1E1 (s1E1)2 (s1E2 )2
x
s1E2 (s1E1)2 (s1E2 )2
1
Ez
X 33
Ez
2ur
t 2
X r r
Xr
X r
将压电方程组（5-38）式代入上式，并注意到 （Ez/r）=0，即得
2ur
t 2
1
Y
2
xr r
x r
1
Y
2
1
r
xr
x
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13
利用关系
xr 2ur , x 1 ur ur r r2 r r r r2
)
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9
薄圆片压电振子的质量元
图5-7
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由于dr和d都很小，故有
X
' r
(r
dr)d
X rrd
( X rr) drd
r
X rrd
X r r
rdrd
Xr r
rdrd
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忽略X与X’的差别（即认为X=X’）。将这些结 果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，
rdrd 2ur X r rd dr X r rd dr X rd dr
t2 r
r
r
即：
2ur
t 2
X r r
Xr
X r
（5-39）
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12
Xr
1
Y
2
[
xr
x
]
d31Y
1
Ez
X
Y
1 2 [x
xr
]
d31Y
1
Ez
D3
d31Y
1
( xr
x )
2d321Y
18
利用边界条件r=a时，Xr|a=0，即可确定任 意常数A，由
AkJ0 (ka)
J1
(ka) a
d
31
(1
)E
0
0
即得
A
(1 )d31E0
1
kJ1(ka) J1(ka)
（5-43）
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Ae jt
J1(kr) r
d31Y
1
Ez
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若电场强度分量为:
E z E 0e jt
并注意到
J1 (kr) r
kJ0 (kr)
J1 (kr) r
代入到上式得：
Xr
Y
12
Ae jt
kJ
0
(
kr
)
J1( kr r
)(1
)
d 31Y
1
E0e jt
（5-42）
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又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0。选X、 E为自变量，并注意到弹性柔顺常数s11=s22以 及压电常数d31=d32，于是薄圆片压电振子的压 电方程组为：
xr s1E1X r s1E2 X d31Ez x s1E2 X r s1E1X d31Ez
Dz
d31X r
d31X
X 33
1
2
[ xr
x
]
d31Y
1
Ez
X
Y
1 2 [x
xr
]
d31Y
1
Ez
D3
d31Y
1
( xr
x )
2d321Y
1
Ez
X 33
Ez
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（5-38）式就是以应变和电场（x、E）为自 变量，用柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其 中沿r方向的伸缩应变xr=（ur/r），沿方 向的伸缩应变x=ur/r+(u/)/r。因为薄圆 片的径向伸缩振动具有圆对称性，所以 (u/)=0。在此情况下，沿方向的伸缩应 变简化为x=ur/r。
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薄圆片压电振子的振动方程
若圆片密度为，则小的质量为（见图5-7）；若 为小块bcde沿径向的位移rddr，则小块沿径向 加速度为2ur/t2。小块的运动方程为：
rd dr 2ur
t 2
X
' r
(r
dr)d
X rrd
X dr
sin( d
2
)
X
'
dr
sin(
d
2
其它振动模式
➢ 薄圆片压电振子的径向伸缩振动; ➢ 其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄球
壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动 ➢ 能陷振动模
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1
材料参数
振动模式 阻抗、导纳
等效电路
器件设计
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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2
薄圆片压电振子的径向振动
对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数s11=s22的 压电晶体，例如钛酸钡、铌酸锂等晶体，可用它 的z切割薄圆片的径向振动。 用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直。因为 是薄圆片，所以可以近似认为垂直于圆片面方向 的应力Xz=0。
代入
2ur t 2
Y
1 2
xr r
x r
1
Y
2
1
r
xr
x
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薄圆片压电振子的波动方程。
2ur
t 2
c2
2ur r 2
1 ur r r
ur r2
（5-40）
其中波速：
c
Y (1 2 )
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波动方程式的解
薄圆片压电振子的波动方程式的解为
xr
d31 s1E1 s1E2
Ez
D3
d31 s1E1 s1E2
( xr
x
)
2d321 s1E1 s1E2
Ez
X 33
Ez
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6
实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性柔顺 常数sE11、sE12，将Y=1/sE11， =-sE12/sE11关 系代入上式得：
Xr
Y
D3
d31Y
1
( xr
x )
2d321Y
1
Ez
X 33
Ez
（5-38）式
现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边 界为机械自由，则在边界上的应力Xr等于零。 即
r a, 时 Xr |a 0
由（5-38）式的第一式
Xr
1
Y
2
ur r
ur r
d31Y
1
Ez
Y
1
2
Ae
jt
J1(kr) r
u r (r, t) Ae jt J1 (kr ) （5-41）
其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。 First order Bessel function
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Xr
Y
1 2 [ xr
x
]
d31Y
1
Ez
X
Y
1 2 [x
xr
]
d31Y
1
Ez