不等式与不等式组复习讲义全
第九章不等式与不等式组复习
第九章不等式与不等式组复习主要内容：1、基本概念（1）不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子。
不等号包括大于，小于，大于或等于，小于或等于，不等于。
（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值（3）不等式的解集和表示：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
求不等式解的过程叫做解不等式。
（4）一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
2、不等式的性质（1）不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示为：如果a■b，那么a■c■b■c。
（2）不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示为：如果a■b,c■0，那么ac■bc（或a■b）cc（3）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示为：如果a■b,c■0，那么ac■bc（或a■b）。
cc3、解不等式一元一次不等式的解法：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为1。
一元一次不等式的特殊解先求出不等式的解，再根据题目要求，求出符合题意的解。
4、一元一次不等式组（1）概念：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组（2）解一元一次不等式（组）（3）一元一次不等式组的解集将一元一次不等式组与方程组做对比。
5、用一元一次不等式组解应用题列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）找出能够包含未知数的所有不等关系；（4）列出不等式组；（5）求出不等式组的解集（6）在解集中找出符合题意的解（7）写出答案。
知识点与典型基础例题 一不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？ 三22x■4x■x BIE 2■5■335x二不等式的解：三不等式的解集：例判断下列说法是否正确，为什么？是不等式<的解。
是不等式<不等式x 的解 四一元一次不等式：例判断下列各式是否是一元一次不等式—x<52x —y<0^x■X ■22■5三3x3x五．不等式的基本性质问题例1指出下列各题中不等式的变形依据）由得2由得）由得1由得35不等式组解集的情况：的解。
中考数学复习专题三-不等式和不等式组(解析版)
中考专题复习知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。
知识点3、不等式的解集在数轴上的表示： （1）x ＞a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的右边部分来表示；（2）x ＜a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的左边部分来表示；（3）x ≥a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的右边部分来表示；（4）x ≤a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的左边部分来表示。
在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。
画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）。
如图所示：同样，如果某个不等式的解集为x ≤－2， 那么它表示x 取－2左边的点 画实心圆点。
如图所示：总结：在数轴上表示不等式解集的要点： 小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。
知识点4、不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
知识点5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
知识点6、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。
通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x ＞a （x ≥a ）或x ＜a （x ≤a ）的形式。
知识点7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
知识点8、知识点9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。
知识点10、解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式，然后再求出这几个不等式解集的公共部分。
(完整版)不等式与不等式组知识点总结
不等式和不等式组
不等式的解集
用数轴表示不等式的解集
第二节一元一次不等式一元一次不等式
解一元一次不等式
一元一次不等式的整数解
一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解
第三节一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个
由实际问题抽象出一元一次不等式组
一元一次不等式组的应用。
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义(解析版)
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义【典例解析】题型一、不等式及其性质【例1】（2020·嵊州市期中）式子：①35；②450x +>；③3x =；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +≥+．其中是不等式的有（ ）． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C.【解析】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式， ∴共4个不等式． 故答案为：C ．【例2-1】（2021·浙江杭州模拟）若x y >，则（ ） A ．22x y < B ．1x y >+C ．2222x y --<--D ．11x y -<-【答案】C.【解析】解：A ．∵x>y ，∴2x>2y ， A 不正确；B ．∵x>y ，∴x+1>y+1， B 不正确；C ．∵x>y ，∴-2x-2<-2y-2， C 正确；D ．∵x>y ，∴x-1>y-1， D 不正确； 故答案为：C ．【例2-2】（2019·云南玉溪期末）已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．20182018a b< B ．﹣2a ＜﹣2b C ．a ﹣2018＞b ﹣2018 D ．a+2018＞b+2018【答案】A.【解析】解：A 、∵a<b ，2018>0， ∴20182018a b<，正确； B 、∵a<b ，-2<0，∴ -2a>-2b ，错误； C 、∵a<b ，∴a-2018<b-2018，错误； D 、∵a<b ，∴a+2018<b+2018，错误； 故答案为：A ．【例3】若不等式(2)2a x a ->-的解是1x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．2a >C ．2a <D ．2a <-【答案】C.【解析】解：不等式（a -2）x ＞a -2的解集为x ＜1， ∴a -2＜0， 解得：a ＜2， 故答案为：C ．【例4】（2020·山西期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为x m ，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 （ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤D ．2x <【答案】C.【例5】（2020·成武县期中）关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤1，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B.【解析】解：2x−a≤−1，2x≤a−1，x≤12a -， ∵x≤1， ∴12a -＝1， 解得：a ＝3， 故答案为：B ．【例6】（2020·哈尔滨月考）若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1m B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B.【解析】解：∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1， ∴m-1＜0，即m ＜1， 故答案为：B ． 题型二、含参数类【例7-1】（2020·湖南株洲市）关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______ 【答案】6≤a ＜9．【解析】解：原不等式解得x≤3a， 解集中只有两个正整数解，这两个正整数解是1，2， ∴2≤3a＜3， 解得：6≤a ＜9． 故答案为：6≤a ＜9．【例7-2】（2020·广西南宁市期末）若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣6≤a ≤﹣4 B ．﹣6＜a ≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣4【答案】B.【解析】解：解不等式2x +a ≤0，得：x ≤﹣2a，不等式只有两个正整数解，这两个正整数解为1、2， 则2≤﹣2a＜3， 解得：﹣6＜a ≤﹣4， 故答案为：B ．【变式7-1】（2021·北京专题练习）已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（ ） A ．34m < B ．34m <C ．811m <D ．811m <【答案】C.【解析】解原不等式得：13m x +<不等式的正整数解为1，2，3，∴1343m +<解得：8<m≤11 故答案为：C.【变式7-2】（2021·中山大学附属中学）若关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是_____． 【答案】13.【解析】解：解不等式3x ＋1＜m ，得13m x -<． ∵关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3， ∴1343m -<≤， ∴1013m <≤，∴整数m 的最大值是13． 故答案为：13．【变式7-3】（2020·海淀区期中）已知关于x 的不等式2x ﹣k ＞3x 只有两个正整数解，则k的取值范围为_____． 【答案】-3≤k ＜-2. 【解析】解：∵2x -k ＞3x ， ∴2x -3x ＞k ， ∴x ＜-k ，因为只有两个正整数解，则2＜-k ≤3， ∴-3≤k ＜-2， 故答案为：-3≤k ＜-2．【变式7-4】若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．74a -<<- B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-【答案】D.【例8-1】（2021·陕西西安市月考）不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A ．2m B ．1mC ．1mD ．1m <【答案】C.【解析】解：解不等式①得x>2，解不等式②得：x>m+1， ∵不等式组的解集是x>2， ∴m+1≤2 解得：m≤1， 故答案为：C ．【例8-2】（2020·浙江期末）若关于x 的不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．2m >C ．2m ≥D ．2m ≤【答案】C.【解析】解：∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，∴m -1≥1， 解得：m ≥2， 故答案为：C ．【例8-3】若不等式组5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．53m ≤B ．5＜3m C ．53m ＞D ．53m ≥【答案】A.【解析】解：5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩①②由①，得x 53≤；由②，得x ≥m ， ∵不等式组有实数解， ∴m 53≤． 故答案为：A ．【例8-4】（2020·宁波市期末）若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ） A ．68m << B ．67≤<mC ．67m ≤≤D ．67m <≤【答案】D. 【解析】解：解不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①式得，x<m ，由②式得x≥3，故m 的取值范围是：6<m≤7， 故答案为：D ．【变式8-1】若关于x 的一元一次不等式组2132x x x m ->+⎧⎨<⎩的解集是3x <-，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≥- B ．3m >-C ．3m ≤-D ．3m <-【答案】A.【解析】解：解不等式2x -1＞3x +2，得：x ＜-3， ∵不等式组2132x x x m->+⎧⎨<⎩的解集为x ＜-3，∴m ≥-3． 故答案为：A ．【变式8-2】若关于x 的一元一次不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A ．2m <B ．2m ≤C ．1m <D ．12m ≤<【答案】A.【解析】解：∵不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩有解，∴m ＜2， 故答案为：A ．【变式8-3】已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________． 【答案】2≤m ＜3.【解析】解：由题意得：符合题意的整数解为5，4，3 ∴m 不能取值3，可以取值2 ∴2≤m ＜3故答案为：2≤m ＜3． 题型三、不等式组及其解法【例9】（2020·成都市锦江区月考）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______．【答案】m ＞2.【解析】解：方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩，可转换为1112221(2)21(2)2a x y b x y c a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩，∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为3x my m =⎧⎨=+⎩，∴方程组1112221(2)21(2)2a x yb x yc a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩的解为：1223x y m x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩①②，由②-①得：x=2把x=2代入①得：y=m －1， ∴x+y=m+1>3， ∴m>2， 故答案为：m>2．【例10】（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】解：1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩①②，由①得：x ＞-3，由②得：x ≤1， ∴不等式组的解为：-3＜x ≤1，在数轴上表示如下：故答案为：A ．【例11】（2020·山东枣庄月考）若关于,x y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足 3x y +>-，求出满足条件的m 的所有正整数数值．【答案】1、2、3、4.【解析】解：由23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② ①+②得：3x+3y=-3m+6即x+y=-m+2>-3 ∴m<5满足条件的m 的所有正整数数值是1、2、3、4. 【例12】（2021·天津河西区）解不等式组321251x x x ≤+⎧⎨+≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______．【答案】（1）1x ≤；（2）3x ≥-；（3）见解析；（4）31x -≤≤【例13】（2021·江西模拟）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．【答案】x ≤1．【解析】解：3(2)4?121?3x x x x --≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＜4， ∴不等式组的解集为：x ≤1， 在数轴上表示不等式组的解集为：．【例14】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程．如一元一次方程213x -=的解是2x =，一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的解集是132x <<，我们就说一元一次方程213x -=是一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的一个关联方程． （1）在方程①310x -=，②240x -=，③(21)7x x +-=-中，不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩的关联方程是 ；（填序号）（2）若不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）（3）若方程92x x -=，132()2x x +=+都是关于x 的不等式组22x x mx m <-⎧⎨-⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）②；（2）x-1=0；（3）1≤m ＜2． 【解析】解：（1）解不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩得：712x <<， ∵方程①的解为13x =；方程②的解为x=2；方程③的解为：x=-2，∴不等式组的关联方程是②，故答案为：②；（2）解不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩ 得：1342x <<， 所以不等式组的整数解为：x=1，故答案为：x-1=0；（3）解不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩ 得：2m x m <+．方程9-x=2x 的解为：x=3， 方程132()2x x +=+的解为：x=2， 其是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩的关联方程， ∴m 222m 323m m <⎧⎪+≥⎪⎨<⎪⎪+≥⎩， 解得：1≤m ＜2∴m 的取值范围是1≤m ＜2．题型四、实际应用【例15】（2020·安徽合肥）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（ ）件．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B.【解析】解：设旗旗可以购买x 件商品，∵290＞250，∴旗旗购买的商品超过5件，50×0.8x≤290，解得：x≤714． ∵x 为整数，∴x 的最大值为7.故答案为：B ．【例16】（2021·合肥市期中）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买10盒蛋糕，花费的金额不超过500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）A ．430B ．450C ．460D ．490【答案】D. 【解析】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10-x ）盒金枣蛋糕，则()()7040105001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩， 解得：122≤x ≤133， ∵x 是整数，∴x =3，70×3+40×（10-3）=490（元）．故答案为：D ．【例17-1】（2020·河南驻马店期中）阅读以下结论：（1）若|x |＝a （a ≥0），则x ＝±a ． （2）若|x |＞a （a ＞0），则x ＞a 或x ＜﹣a ；若|x |＜a （a ＞0），则﹣a ＜x ＜a ．（3）若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0（0＜a ＜b ），则x ＞b 或x ＜a ；若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＜0（0＜a ＜b ），则a ＜x ＜b ．根据上述结论，解答下面问题：（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＞0．（3）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＜0．（4）解不等式：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0．（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0．【答案】（1）x ＝2或x ＝﹣23；（2）x ＞2或x ＜﹣23；（3）﹣23＜x ＜2；（4）x ＞5或x ＜2；（5）32＜x ＜52． 【解析】（1）解：|3x ﹣2|﹣4＝0，3x ﹣2＝4或3x ﹣2＝﹣4，解得x ＝2或x ＝23-； （2）解：|3x ﹣2|﹣4＞0，3x ﹣2＞4或3x ﹣2＜﹣4，解得x ＞2或x ＜23-； （3）解：|3x ﹣2|﹣4＜0，﹣4＜3x ﹣2＜4， 解得23-＜x ＜2； （4）解：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0，x ﹣5＞0或x ﹣2＜0，解得x ＞5或x ＜2；（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0，3＜2x ＜5， 解得32＜x ＜52． 【例17-2】（2020·北京通州区期末）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如： (](](]2.62,34,109=-=-=．（1）填空：(]2020___________-=，(]2.4___________-=，(]0.7___________=； （2）如果,a b 都是整数，(]a 和(]b 互为相反数，求代数式224a b b -+的值；（3）如果(]3x =，求x 的取值范围．【答案】（1）-2021，-3，0；（2）4；（3）-3＜x ≤-2或3＜x ≤4.【解析】解：（1）（-2020]=-2021，（-2.4]=-3，（0.7]=0；故答案为：-2021，-3，0．（2）∵a ，b 都是整数，且（a]和（b]互为相反数，∴a-1+b-1=0，∴a+b=2，∴a 2-b 2+4b=（a-b ）（a+b ）+4b=2（a-b ）+4b=2（a+b ）=2×2=4；（3）当x ＜0时，∵|（x]|=3，∴x ＞-3，∴-3＜x≤-2；当x ＞0时，∵|（x]|=3，∴x ＞3，∴3＜x≤4．故x 的范围取值为-3＜x≤-2或3＜x≤4．【例18】（2020·四川南充期末）已知方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩的解中，x 是非负数，y 是正数．（1）求k 的取值范围；（2）化简：21k k --+；（3）当k 为何整数时，不等式221x k kx +<+的解集为1x >．【答案】（1）425k -<≤；（2）-2k+1；（3）1或2.【解析】解：（1）解方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩①②①＋②，得 22x k =-+ ∴12kx =-+①－②，得 254y k =+ ∴522ky =+ 已知102k x =-+，且5202ky =+>∴k 2≤且45k >- ∴425k -<≤（2）∵425k -<≤∴20k -≤且10k +＞． ∴21k k --+(2)(1)k k =---+21k =-+ 即21k k --+21k =-+；（3）∵221x k kx +<+∴221kx x k ->-∴(21)21k x k ->-∵解集为 1x >，∴210k ->． ∴12k > 结合425k -<≤ 得122k <≤．∴整数k=1或k=2．【例19】某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B 两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x ≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，得：y =90x +70（21﹣x ）=20x +1470，所以函数解析式为：y =20x +1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x ＜x ，解得：x ＞10.5，又∵y =20x +1470，且x 取整数，∴当x =11时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1690元．【例20】（2021·河南郑州市期中）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元． （1）求百乐笔、展光笔的单价；（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？【答案】见解析．【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x 元/支、展光笔的单价为y 元/支，根据题意得，15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理得：34502545x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×2－②×3得：y=5把y=5代入①得：x=10105x y =⎧∴⎨=⎩答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．（2）设购买百乐笔m 支，则晨光笔（35-m ）支，由题意得：()10535300m m +-≤，解得：m ≤25，答：至多购买25支百乐笔．【例21】某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设购买一根跳绳需要x 元，购买一个毽子需要y 元，依题意，得：25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：64x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；（2）设购买m 根跳绳，则购买（54−m ）个毽子，由题意，得：()645426020m m m ⎧+-≤⎨>⎩，解得：20＜m ≤22．∵m 为正整数，∴m 可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．。
不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。
《不等式与不等式组》复习课件 PPT
同小
2
取小
X>6
4.不等式组
X－5＞1 X
大小,小大中间找, 大大小小无解7 答
生活与数学
当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多,少,不 小于,不大于,至少,至多等,应属列不等式(组)来解 决的问题,而不列方程(组)来解.
8
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
并把它的解集在表 数示 轴出 上. 来
解:去分母得:
4(2x1)12(5x5) 4
去括号得: 8x-4≥15x-60
移项得: 8x-15x≥-60+4
合并同类项得: -7x≥-56
系数化为1得:
x≤8
这个解集在数轴上表示为
5
0
8
. 知识拓展
四.一元一次不等式组的解法
1).分别求出各个不等式的解集
2).借助数轴求出它们的公共部分,得到不等式组的解集.
C. 3 D. 0
值65是..不 关_－等于_1_2 x式的组不等2x式－x 32x7＞-023ax－≤-12的的解解集集为如图-1所2≤示0x,＜则18a的
返回
16
7.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的
解集为x<1,那么a的取值范围是_D__
A.a>0 B. a<0
C. a >-1
D. a<-1
t跑步= 5
秒
解: 设导火索需要x厘米长,据题意有:
x ＞ 400
1.2 5
解得: x＞96
答:导火索需要大于96厘米.
想一想
10
例4.根据下列条件,分别求出a的值或取值范围: • 1)已知不等式 x23xa 的解集是x<5;
七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆 你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时 干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格 就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市 场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨 数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种 产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需 甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克 （1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组 （2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲 不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不 变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”
第9讲 《不等式与不等式组 》复习讲义
16．（12分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万 元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1 200
1 000
售价（元/件）
1 380
1 200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不 变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B
题型三：列不等式组 某中学有若干名住读生,如果每间宿舍住4人,则有20人没宿舍住;
如果每间住8人,则有一间宿舍住不满,求住读生的人数及宿舍的间数.
题型四 增长率问题（理解增长关系，会列增长后的表达式）
.据统计，连云港港口2002年、2003年的内外贸吞吐总量分别为 3300万吨和3760万吨，其中2003年外贸和内贸吞吐量分别较2002年增长 10%和20%．
14.（9分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答 都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
15.（12分）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖 共100块，共花费5 600元.已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的 单价是40元/块. (1)两种型号的地砖各采购了多少块？ (2)如果厨房也铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超 过3 200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
A、 B、
C、 D、
考点二 不等式的解法及表示
1.下列不等式中，与≤－1同解的不等式是 （ ）
A．3－2x≥5 B．2x－3≥5 C．3－2x≤5 D．x≤4
2.不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）
A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解.doc
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩（基础）知识讲解【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“〈”（或“彡”），“〉”（或“彡”），乒连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集. 解集的表示方法一般有两种：一种是川最简的不等式表示，例如X〉6/, 等；另一种是用数轴表示，如下图所示:x>aa（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.2.不等式的性质：不等式的基本性质1:不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方句不变.用式子表示：如果a〉b，那么a±c〉b±c不等式的基本性质2:不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用式子表示：如果a〉b，c>0,那么ac〉bc（或f〉&）.c c不等式的基本性质3:不等式两边乘（或除以）冋一个负数，不等号的方叫改变.用式子表示：如果a〉b，c<0，那么ac<bc（或.c c要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的S高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b〉O或ax+b<O（a.类0）叫做一元一次不等式的标准形式.2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：(1)审：认真审题，分清己知量、未知量；(2)设：设出适当的未知数；(3〉找：找出题中的不等关系，要抓住题屮的关键字，如“大于” “小于”“不大于” “至少” “不超过” “超过”等关键词的含义；(4)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(5)解：解出所列的不等式的解集；(6)答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题吋，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄淸它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的儿个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：(1)不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.(2)解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.(3)一元一次不等式组的解法：分别解岀各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.(4)一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案.【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系.。
不等式与不等式组复习
a b _____ 5 5
(3 )- 3 a 1 ___- 3 b 1 (4 ) a b _____2 b a b (5 )- - 2 ______- 2 3 3 (6 )b a_____0
4、求不等式10(x＋4)＋x≤84的非负整
数解．
5、求不等式 的非负整数解
5x 9 2 x (1 x) 6 3
x x2 3 5 2
把解集表示在数轴上时，需注意： (1)空心、实心小圆圈的区别； (2)“＞、≥”向右拐，“＜、≤”向左拐.
不等式的解集在数轴上的表示:大向右,小
向左,有等号是实心,无等号是空心.
求几个不等式的解的公共部分的方法和规律:
(1)数轴法
(2)口诀法： 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小解不了
1 a 1 a 6、代数式a 的值不小于1 3 2 的值，求a？ xk 7、关于x的方程( x 2) 3k 的解 3 为负数，求k？
8、 m为何值时，关于x的方程
3(2x－3m)－2(x＋4m)＝4(5－x)的解是
非正数？
2 9、k为何值时，方程 x 3k 5( x k ) 1 3 的解为非负数？
同大取大,同小取小 大小小大中间找, 大大小小解不了.
解下列不等式组：
5x 6 4x 15 9x 10 4x
3(x 2) x 4 x 1 x 3 2 0
Байду номын сангаас
1 、指出下列各式成立的条件： n （1）mx n x m （2）a b ma mb （3）a 5 a 5a （4）3x 4y 3x m 4y m
2
2、根据基本性质，把下列不等式化 成x>a或x<a形式:
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《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解责编：某老师【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c )．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系.。
不等式(组)的知识点
不等式与不等式组知识点总结一、知识导航图二、课标要求一元一次不等式(组)的应用一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念不等式的性质一元一次不等式和一元一次不等式组三、知识梳理考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
考点二、不等式基本性质（3～5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 （6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母,得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
不等式与不等式组复习讲义
第八讲 不等式与不等式组一、知识网络结构图二、考点精析考点一:不等式基本性质运用1．由x<y,得ax≥ay 的条件是（ ）.A ．a≥0 B. a≤0 C. a>0 D. a<02. 不等式(2a －1)x<2(2a －1)的解集是x>2,则a 的取值范围是（ ）A ．a<0 B. a<12 C. a<－12 D. a>－123. 若a>b,则下列不等式中，不成立的是（ ）A ．a －3＞b －3 B. －3a>－3b C.33a b D. －a<－b 4. 下列各不等式中，错误的是（ ）.A ．若a+b>b+c,则a>c B. 若a>b,则a －c>b －cC. 若ab>bc,则a>cD. 若a>b,则2c+a>2c+b5．若a <b <0，则下列答案中，正确的是（ ） Ａ、a <b Ｂ B 、a >b Ｃ、2a <2b D 、a 3>b 26. 按要求填空：（1）∵2a>3a,∴a 是_____数； （2）∵32aa ,∴a 是_____数； （3）∵ax<a 且x>1,∴a 是_____数.7.如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,求a 的取值范围。
注：解这类题型的不等式，关键看不等号的方向是否发生变化，若发生变化，则说明未知数的系数是负数（<0），若未发生变化，则说明未知数的系数是正数（>0）考点二:整数解相关1.若不等式03≤-a x 有6个正整数解，求a 的取值范围2. 若不等式03<-a x 有6个正整数解，求a 的取值范围3. 不等式732122x x --+<的负整数解有__________个. 4. 不等式3x －4≥4+2(x －2)的最小整数解是________.5. 不等式17－3x>2的正整数解的个数有__________个.6. （1）53x -≥的解集为______,其中正整数的解为____________.（2）13x -≥-的解集为______,其中负整数的解为____________.7. 当x_____时，x －4的值大于12x ＋4的值. 8. 关于x 的方程3（x+2）=k+2的解是正数，则k 的取值范围是_______.9. 当y 为何值时，22y -的值不大于33y -的值？10. 如果代数式4x+2的值不小于3x+12,求x 的取值范围，并求出满足这一条件的最大负整数和最小正整数.11. 不等式组3100,482x x x +>⎧⎨-≤-⎩的整数解的个数是（ ）. A ．9 B. 8 C. 7 D. 61．12. 不等式组20,30x x -<⎧⎨->⎩的正整数解是（ ）. A ．0，1 B. 2，3 C. 1，3 D. 1，213. 不等式组2,3482x x x⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的最小整数解为（ ）. A ．－1 B. 0 C. 1 D. 414. 求不等式组2(6)3,2151132x x x x -<-⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩的整数解.0-1D x ≠ 101C x ≠ 001B x>1A x ≤ 2210201-19题图（2）-210（1）01215. 解不等式组2(2)33,1,34x x x x +≤+⎧⎪+⎨<⎪⎩并写出不等式组的整数解.考点三:绝对值非负性1.若1212-=-x x ，求x 的取值范围2.若x x 2112-=-，求x 的取值范围3．若1212->-x x ，求x 的取值范围4.若0=+x x ，求x 的取值范围（ ）A ．x≤0 B. x<0 C. x>0 D. x≥05.若a a -=-则有（ ）(A) a≥ 0 (B) a≤ 0 (C) a≥－1 (D) －1≤a≤0考点四:解集的表示1.下列各项表示的是不等式的解集，其中错误的是( ).2.已知关于x 的不等式x>a,如图表示在数轴上，则a 的值为（ ）.A ．1 B. 2 C. －1 D.－2 3.写出下列数轴上表示的解集：（3）03-24、已知，关于x 的不等式23x a -≥-的解集如图所示，则a 的值等于（ ）A 、 0B 、1C 、-1D 、25.已知点M （－35－P,3＋P ）是第三象限的点，则P 的取值范围是 。
第九章 不等式与不等式组 复习提纲
第九章 不等式与不等式组知识点归纳1、不等式：用“>” “<” “ ≠” “≤ ”“≥”号表示大小关系的式子叫做不等式.2、不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.3、解集：使不等式成立的x 的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集.4、一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.5、不等式的性质：(1)、不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变; (2)、不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变; (3)、不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改.6、 解一元一次不等式的一般步骤是：（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）将x 项的系数化为1.7、一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 8、不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集. 口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）. 8．解一元一次不等式组的步骤：（1）先分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，也就是得到了不等式组的解集. 9、不等式（组）的解集的数轴表示：（1）、用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号的画实心原点，无等号的画空心圆圈；（2）、不等式组的解集，可以在数轴上先画同各个不等式的解集，找出公共部分即为不等式的解集.公共部分也就各不等式解集在数轴上的重合部分.知识点一：基本概念 例 1、若23396a x+->是关于x 的一元一次不等式，则a=______2、不等式2X<7的解有（ ）个，其中自然数解有（ ）个。
3、如图所示，数轴上所表示的不等式组的解集分别是：（1）_________ (2)__________ (3)___________ (4)___________ 小结： 大于号向 画 小于号向 画。
初中复习方略数学第八讲 不等式与不等式组
5x－1＞3x－4
1．(2021·邵阳中考)下列数值不是不等式组－31x≤23－x
的整数解的是( A )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
2．(2021·荆州中考)若点 P(a＋1，2－2a)关于 x 轴的对称点在第四象限，则 a 的取值
范围在数轴上表示为( C )
3x＋2>x－2， 3．(2020·仙桃中考)解不等式组x－3 3≤7－53x， 并把它的解集在数轴上表示出来．
并将解集在数轴上表示出来．
3 ＞－1.
【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来 即可．
【自主解答】解不等式 2x－3≤1，得：x≤2， x＋1
解不等式 3 ＞－1，得：x＞－4， 则不等式组的解集为－4＜x≤2， 将不等式组的解集表示在数轴上如图：
x－1＜0，
【典例 4】(2021·宿迁中考)解不等式组5x＋2
3 ＞ 2 －1. 2(2x－1)＞3(3x－2)－6……第一步 4x－2＞9x－6－6……第二步 4x－9x＞－6－6＋2……第三步 －5x＞－10……第四步 x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________(运算律)进行变形的． ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【自主解答】(1)设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了(25－1－x)道题，依题意 得：4x－(25－1－x)＝86，解得：x＝22. 答：该参赛同学一共答对了 22 道题． (2)设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25－y)道题，依题 意得：4y－(25－y)≥90，解得：y≥23. 答：参赛者至少需答对 23 道题才能被评为“学党史小达人”．
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第八讲不等式与不等式组考点一：不等式基本性质运用1 .由xvy,得ax > ay 的条件是（ ）.A . a >0B. a <0C. a>0D. a<02.不等式（2a — 1）x<2（2a — 1）的解集是x>2,则a 的取值范围是（）A . a<0 B. a< 丄 C. a< —丄 D. a>——2 2 23.若a>b,则下列不等式中，不成立的是（ ）A . a — 3> b — 3 B. — 3a>— 3b C. 4. 下列各不等式中，错误的是（ ）一、知识网络结构图、考点精析—a<— bA.若a+b>b+c,则a>cB. 若a>b,贝卩a —c>b—cC.若ab>bc,则a>cD. 若a>b,则2c+a>2c+b5.若a<b<0,贝S下列答案中，正确的是( )A、a < b BB、a > bC、a2<b2 D 3a >2b6.按要求填空：(1)v 2a>3a,「.a 是___ 数；(2)v a音，「a 是______ 数；3 ' 2(3)_______________________ v ax<a 且x>1,「a 是数.7.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,求a的取值范围。
注：解这类题型的不等式，关键看不等号的方向是否发生变化，若发生变化，则说明未知数的系数是负数(<0),若未发生变化，则说明未知数的系数是正数( >0) 考点二：整数解相关1.若不等式3x a 0有6个正整数解，求 E a的取值范围2.若不等式3x a 0有6个正整数解，求< a的取值范围3.不等式X 72 1塞鼻的负整数解有2 个.4.不等式3x—4>4+2(x —2)的最小整数解是 ________5.不等式17- 3x>2的正整数解的个数有 __________ 个.6.(1) 5 x 3的解集为________ ,其中正整数的解为_____________ .(2) x 1 3的解集为_____ ,其中负整数的解为_____________ .7.当x 时，x-4的值大于+ 4的值.28.关于x的方程3 (x+2) =k+2的解是正数，则k的取值范围是_________9.当y为何值时，丄2的值不大于y 3的值2 310.如果代数式4x+2的值不小于3x+l,求x的取值范围，并求出满足这一条件的最大负2整数和最小正整数.11.不等式组3x 10 0，的整数解的个数是( ).x 4 8 2xA. 9B. 8C. 7D. 61.2x 012.不等式组2x 0,的正整数解是( ).3x0A. 0, 1B. 2, 3C. 1, 3D. 1, 2213.不等式组x 3，的最小整数解为( ).x 4 8 2xA.—1B. 0C. 1D. 42(x 6) 3 x,14.求不等式组2x 1 5x 1的整数解•13 22(x 2) 3x 3,15.解不等式组x x 1 并写出不等式组的整数解3〒，考点三：绝对值非负性1.若2x 1 2x 1，求x的取值范围2.若2x 1 1 2x，求x的取值范围3 .若2x 1 2x 1，求x的取值范围4.若x x 0，求x的取值范围()A . x < 0 B. x<0 C. x>0 D. x >05.若a a 则有( )(A) a 》0 (B) a w 0(C) a 》一1 (D) — 1 w a W0考点四：解集的表示1. 下列各项表示的是不等式的解集，其中错误的是 ().\_| 6^0 1B x>12. 已知关于x 的不等式x>a,如图表示在数轴上，则a 的值为(A. 1B. 2C. — 1D. — 23. 写出下列数轴上表示的解集:4、已知，关于x 的不等式2x a3的解集如图所示，则a 的值等于(0 1 2A x 23A、0 B 、1 C、-1 D 、25.已知点M （—35- P,3 +P）是第三象限的点，贝S P的取值范围是______ 。
6.若点M2m 1,3 m关于y轴的对称点M在第二象限，则m的取值范围是_______________ 考点五：待定字母的确定1.若不等式组x 8 4x h的解集是x>3,则m的取值范围是（）.x mA. m> 3B. m < 3C. m=3D. m<32.若 | 2x —1|=2x —1, |3x —5|=5 —3x,贝S x 的取值范围是______3.已知方程组笃5T的解x，y都是正数，求m的取值范围.4.已知方程组爲阳有正整数解'求k的取值范围.5.关于x,y的方程组幕的解满足x>y，求m的最小整数值6.关于x的方程5x 12 4a的解都是负数，则a的取值范围（A、a>3 E、 a < 3 C、 a <3 D、 a >-37.不等式组 a 1 X a 2的解集是3 x a 2，则a的取值范围是（）3x5A、a 1 E、a 3 C、a 1 或 a 3 D、1 a 38.若不等式组 1 X 2有解，则k的取值范围是（）x kA、k 2 E、k 2 C、k 1 D、1 k 2x 29.已知关于x的不等式组x 1无解，则a的取值范围是（）x aA、a 110.不等式x>a 10的解集为x<3,则a _________________11•如果关于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a的值是_____________12.__________________________________________________________ 若不等式组2x a 1的解集是—1 v x v l,则（a 1）（b 1）的值为 ___________________________x 2b 313.__________________________________________________ 若不等式组x a的解集为x >3,则a的取值范围是____________________________________x 314.若不等式组x a 1无解，则a的取值范围是x 2a 115.当a 时，（a 2）x 2的解为x 1216._________________________________________ 当a 0时，不等式组x 2a的解集是x 4a17.若不等式组x m n的解是3x5，求不等式mx n 0的解集。
3 3x 5x 118.已知，x满足—1，化简x 2 x 519.若不等式5（x 2） 8 6（x 1） 7的最小整数解是方程2x ax 3的解，求4a 14的值。
a4 2 1 — 2 x 120.已知不等式x + 4 V 2x - a的解也是V $的解，求a的取值范围3 3 6 2本课小结：1.一元一次不等式（组）的求解；2.一元一次不等式（组）解集的应用，如求待定字母的取值范围；课后练习一.填空题：1.若x v y，则x 2 _________ y 2 ;（填“ ＜、＞或二”号）2 .若a 9，则3a__ b ；(填“<、>或「号)3•不等式2x ‘ x 2的解集是4.当v 时，代数式的值至少为1:5.不等式6 12x 0的解集是46 .不等式7 x 1的正整数解为：____________ ；7.若一次函数v 2x 6，当x _________ 时，V °:8.x的3与12的差不小于6,用不等式表示为：59.不等式组2x 3°的整数解是：3x 2 0 ----------------10.若关于x的方程组3x 2v P 1的解满足x>v ,则P的取值范围是：4x 3y p 1二.选择题：11.若a>b,则下列不等式中正确的是( )(A) a b 0 (B) 5a 5b (C) a 8 b 8 (D)12 .在数轴上表示不等式x > 2的解集，正确的是-3^ -L 0-^2-10 1 2 刁可T U13.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为3(A ) x > 1 (B )x 1(C )3x1(D )x 314 .不等式2(x 2) < x 2的非负整数解的个数为16. 把不等式组x 10的解集表示在数轴上’正确的是图中的17.如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量都是1g ,则物体A 的质量m (g)的取值范围.在数轴上：可表示为图1 — 1 — 1⑵中的 ( )(A )1 (B ) 215. 下列不等式求解的结果，正确的是(A )不等式组x 3的解集是x 3x 5(C )不等式组x 5无解x 7(C ) 3 (D ) 4(B )不等式组x5的解集是x 5x 4(D )不等式组 x 10的解集是3 x 10x 318 .已知关于x的不等式(1 a)x 3的解集为x ,则a的取值范围是327.我市移动通讯公司开设了两种通讯业务， A 类是固定用户：先缴50元基础费，然 后每通话1分钟再付话费元；B 类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话 1 分钟会话费元(这里均指市内通话)；若果一个月内通话时间为x 分钟，分别设A 类和B 类两种通讯方式的费用为 力元和y 2元：(A )a 0(B )a 1(C )a 0三. 解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：(D )a 121 . 2x 5 3x 4 22 . 10 4(x3) 2(x 1)23.3x 2 5x 6 3 2x 2 x24x 3(x 1 2x 32) 4x 125.x 为何值时，代数式宁亍的值是非负数26已知：关于x 的方程亍即m 的解是非正数，求m 的取值范围.(1)写出y i、y与x之间的函数关系式；(2)—个月内通话多少分钟，用户选择A类合算还是B类合算3)若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算28．有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了3 个，那么还剩59 个；如果每一个猴子分5 个，就都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够5 个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗。