数值分析1
数值分析第1章
4
误差来源
• • • • 模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差
2014/11/24
© Wuhan University Confidential
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来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
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数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * ( x1* x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * ( x1* x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x | ( x ) | x | ( x * * 1 2 2 1) ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
3
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。
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x x e 1 x ห้องสมุดไป่ตู้ 2! 3!
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
2014/11/24 © Wuhan University Confidential 8
来源四: 舍入误差
• 计算机长有限 3.14159
• 注意:少量运算的舍入误差一般是微不足道的,但是 在计算 机上完成千白万次运算后 误差的积累很惊人.
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析1
MATLAB作业1. 判断如下命题是否正确(a) 一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
(错) (b) 无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。
（错） (c) 计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。
(错) (d) 用一个稳定的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解。
(错) (e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布的 (错) (f) 浮点数的加法满足结合律 (错) (g) 浮点数的加法满足交换律 (错) (h) 浮点数构成有限集合 (对） (i) 用一个收敛的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解 (错)2. 函数sinx 有幂级数展开利用幂级数计算sinx 的Matlab 程序为 function s = powersin(x)% POWERSIN. Power series for sin(x).% POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s = 0; t = x; n = 1;while s + t ~= s; s = s + t;t = -x^2/((n+1)*(n+2))*t; n = n + 2; end(a) 解释上述程序的终止准则；(b) 对于，计算的精度是多少？分别需要计算多少项？答：（a ）当t 小于计算机的计算精度时，上述程序将终止。
（b ） x=/2π; n=23； s=1.0000x=11/2π; n=75； s= -1.0000x =21/2π; n=121； s= 0.9999/2,11/2,21/2x πππ=3. 考虑数列 ，它的统计平均值定义为它的标准差数学上等价于作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第一种算法共进行了n 次乘方运算，2n 次求和运算，第二种算法进行了2n 次乘方和2n 次求和，运算次数较多。
而且第二种算法中2i x 与误差较为接近，易造成舍入2x n 。
《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。
//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。
//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。
数值分析 (1)
e * − e = (e * − en ) + (en − e )
2009-09-26 zhwang@ 17
2. 误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系
2009-09-26
zhwang@
18
1）绝对误差
绝对误差定义：
zhwang@
22
相对误差（续2）
* * e ε ( x r 相对误差限： 的上界，记为 r ) 。 相对误差限：数值
相对误差限也可以通过
ε r* = ε * / x*
来计算。
Remark: 当要求计算相对误差，是指估计一个尽 可能小的相对误差限。 相对误差与相对误差限没有量纲。
分类方法1：若算法包含 有一个进程则称其为串行算法， 否则为并行算法。 分类方法2：从算法执行所 花费的时间角度来讲，若算术运 算占绝大多数时间则称其为数值 型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算 法。（其它类型算法参阅数据结 构、并行算法等课程）
2009-09-26
zhwang@
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绝对误差（续）
•绝对误差限：
* * 如果存在正数 ε = ε(x ) ，使得有绝对误差
e * = x * − x ≤ ε* ，
则称 ε* 为 x*近似 x 的一个绝对误差限 绝对误差限。 绝对误差限
x ∈ [x * − ε * , x * + ε * ] ， x = x * ± ε * 。
Remark: 通常计算中所要求的误差，是指 估计一个尽可能小的绝对误差限。 绝对误差与绝对误差限有量纲。
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算法应用状态
数值分析研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的。
数值分析(清华大学出版社)第1,2章
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x
它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10
m 1
r (x )
x x x
0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m
1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )
数值分析第一章1.3范数
A R ，令 A max X 0
nn
AX X
r
r
, ( r 1, 2, ),
r 则 为 与n 相容的范数，记为 。 A r Rn
称其为由向量范数诱导的矩阵空间的算子范数。
证明：1、向量范数与其诱导的矩阵空间的算子范数相容 证、 A R nn、Y R n , Y 0,
2
二、矩阵的范数 定义2 定义映射 ：R nn R, A A ，若满足： 1、 A
0, A 0 当且仅当
A 0;
2、 aA a A , a R, A R nn ;
nn 3、 A B A B , AB A . B , A, B R ,
n
2
2 2 x12 x 2 x n 0;
2
i1 axi
n
2
a
xi2 a X 2 ; i 1
n
（3）易见，X
2
X T X , 由Cauchy-Schwarz不等式
( X T Y ) 2 ( X T X )(Y T Y )
X Y
2 2
(X Y) (X Y) X
2、(齐次性).任意 a R ,有 aX a X ; 3、(三角不等式). X Y X Y 。 将向量模的概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 定义映射 ① ② ③
: R n ，若满足条件： R, X X
X 0;
X 0当且仅当 , X 0
aX a X , a R, X R n ;
X Y X Y , X ,Y Rn ,
n 则称其为 R上的一种范数。
最常用的如下三种向量范数： X x1 , x2 ,, xn T R n
数值分析_第1章
x * 的第一位非零数字为止的所有数字
称为 有效数字。 x * 的有效数字。
（关心有效数字的位数） 关心有效数字的位数）
数学语言描述： 数学语言描述：
设 x = ± 0 .a 1 a 2 L × 10 m ,
x * = ± 0 .a1 a 2 L a n × 10 m
= ± ( a 1 × 10 − 1 + a 2 × பைடு நூலகம்0 − 2 L a n × 10 − n ) × 10 m ,
1 而 ε r ( x) = , 8726
y* = 0.8727 × 10 99 .
1 ε r ( y) = . 8726
ε ( x) = 0.0001×10 −99 , ε ( y ) = 0.0001×1099 .
三．有效数字 如果近似值
x * 的绝对误差限不超过
的某一位上的半个单位， x * 的某一位上的半个单位，则从该位起到
取 x * = xR = sR ×10 P , 则xR为 x 的舍入, xR ∈ F 且
1 1 −t P ×10 ×10 ×10−t xR − x 2 1 1−t 1 −t 2 ≤ = ≤ ×10 ×10 = ×10 . P x s ×10 s 2 2
p -1
s = 0 . d1 d 2 L d t L
1 (19) ( ≤ 10) s (20)
d1 ≠ 0 , d i = 0,1, L 9, i = 2, 3, L ,
0 . d1d 2 L d t 1.舍入法 : sR = 0 . d1d 2 L d t + 10 −t
0 ≤ d t +1 ≤ 4 < 5 1 d t +1 ≥ 5 = ×10 2
课件-数值分析(第五版)1-3章
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
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14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
数值分析 第1-4章习题
第1-4章一、叙述1．内积2．泛函数列强收敛3．Bessel不等式4．距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。
5．Cauchy点列6．距离空间的稠密性、可分性7．范数8．Cauchy-Schwarz不等式9．赋范线性空间成为内积空间的条件10．广义Fourier级数11．商高定理并证明。
12．内积与范数关系。
13．叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。
二、举例1.完全规范正交系2.有界线性泛函，有界非线性泛函。
3.不完备的线性空间4.Bessel不等式5.由内积导出的范数6.由内积导出的距离7.不完备的内积空间8.Cauchy点列9.泛函的范数10.距离空间的稠密性和可分性，并各举一例。
X的强收敛，举例。
11.n12.线性算子、非线性算子各一例。
13.稠密子集14.不完备的内积空间Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念，并举例说明。
15.距离空间(,)16.什么是可分的Hilbert空间，并举例说明。
17.什么是巴拿赫(Banach)空间，举一个Banach空间的例子。
18.19.三、证明T有界。
1.线性算子T有界的充要条件是||||2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离，证明：(,)1(,)x y x y ρρ+也是距离空间的距离。
3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。
4. 证明距离空间中，距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。
5. 距离空间成为赋范线性空间的条件，并证明。
6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y −≤−，并由此推出范数的连续性。
7. 在实数空间中，求证||(,)1||x y x y x y ρ−=+−满足距离公理。
8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间；9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间：（1）X 是线性空间；（2）(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=−=。
第1章数值分析-绪论
实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
数值分析第一章
21024(2-2-52) ≈10308 The smallest normalized positive machine number： 2-1024(1+2-52) ≈10-308
If ︱x︱< 10-308 , then result in underflow, fl(x) is set to zero； If ︱x︱>10308, then result in overflow, the computation will halt.
计算机数系
(Collection of machine numbers)
reference books
误差及其运算
(Errors and Operations)
▲
什么是算法和计算量？ 什么是算法和计算量？ （Algorithm and Calculated Quantities ）
▲
Calculated Quantities
A
cij = ∑ a ik b kj i = 1,
k =1
n
,m; j = 1,
B
( ((anx + an−1)x + an−2)x + + a1)x + a0
The Number of Operations of AB is
N= (m ×n ×s )flop
计算机数系(Collection of machine numbers)
Basic Concepts in Numeric Analysis 算法与计算量
(Algorithm and Calculated Quantities)
2.<应用计算方法教程>, 张晓丹,郑连存等编,机械出版 社,2008,6 3. 《科学和工程计算基础》，施妙根、顾丽珍 编著，清华大学 出版社。1999
数值分析-第一章ppt课件
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4
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
可编辑课件PPT
11
二、相对误差与相对误差限
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
[4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York:
Springer-Verlag, 2003.
可编辑课件PPT
1
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
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2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
可编辑课件PPT
12
数值分析 第1章
3．计算复杂性尽可能小 从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小， 即所谓计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的： 使用中央处理器 CPU）的时间，主要由四则运算 使用中央处理器（ 的时间 主要由四则运算 的次数决定； 占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决 定。
4．要有数值化结果 数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进 行的， 其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似 解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导 致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进 行分析、比较来选定算法。 对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其 收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明 提供线索。
x2 =
−b − b 2 − 4ac 2c = 2a −b + b 2 − 4ac
9
来严重影响 应尽量避免 来严重影响，应尽量避免。 例3
，
在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程
⎧0.00003 x1 − 3 x 2 = 0.6 ⎨ x1 + 2 x 2 = 1 . ⎩
组
2 ×10 =1 . 109 + 109
§1.1
预备知识
一、集合
把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一 个整体，称为集合。 表示方法：描述法；列举法。 分类：有限集；无限集（可列集，不可列集） 。
9
10
可列集（可数集） ： 设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数 编号（即 A 与自然数集 N 一一对应） ，使 A 写成 A={ A { a1 , a2 , a3 ,L an ,L },则称 A 为可列集 （或可数集） 。 否则，称为不可列集。 如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列 集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不 可列集。
数值分析_第一章_误差
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245
数值分析第一章思考题
第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
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课程属性 学科基础
课程代码 课时/学分
075303101325
80 / 4.0
课程性质 必修
实践学时
32
责任教师 曹圣山
课外学时 96(48×2)
课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修
10 课 时
Lagrange 插值，分段线性插值， Hermite 插值，分段三次 Hermite
插值，样条插值
实验五:插值法； 课后练习:教材中
的课后习题。
-3-
最小二乘原理，多变量数据拟合， 实验六:数据拟合；
10 数据拟合，算例 5 课时 非线性数据拟合，正交多项式拟 课后练习:教材中
合简介。
（2）借助于计算机，通过 MATLAB 等程序设计语言或软件，实现基本的数值方 法的算法编程实现，求得相关数学问题的数值结果，并能对部分较为简单问题的数值 结果给予初步的分析；
（3）针对具有实际背景的问题，应用所学专业知识，组织开展研究性小组活动， 包括问题分析、简化假设、建立数值方法、算法实现、算法分析、结果分析、算法优 化等，书写研究报告，组织学术研讨会研讨交流研究成果，提高学生设计和应用数值 方法的能力，培养学生开展学术研究的综合素质和能力。 三、学习要求
性； 课后练习:教材中
的课后习题。
解线性代数方程
实验二:消元法；
3 组的直接法—— 5 课时 Gauss 消元法,主元素消元法。 课后练习:教材中
消元法
的课后习题。
解线性代数方程
4
组的直接法—— 三角分解法及算
5 课时
例
几种基本的三角分解法。
实验二:消元法； 课后练习:教材中
的课后习题。
5
解线性代数方程 组直接法的误差
数值逼近是数值分析理论与方法的基础工具，包括误差分析、插值与拟合、数值 积分数值微分等经典内容。
数值代数是数值分析理论与方法的基础及核心，包括线性代数方程组的数值解法， 求矩阵特征值和特征向量的数值方法，非线性方程及方程组的数值解法等内容。
-1-
微分方程数值解法是数值分析方法的重要内容，本课程中，主要介绍常微分方程 数值解法的基本内容。 3. 课程与其他课程的关系：
的课后习题。
7
矩阵特征值和特 征向量的计算方
法
5 课时
乘幂法，幂法的加速与降阶，反 幂法。
实验三:迭代法； 课后练习:教材中
的课后习题。
非线性方程及非
实验四:特征值及 特征向量，非线性
8 线性方程组数值 8 课时 迭代法及其加速算法，牛顿法等。
方程；
解法及算例
课后练习:教材中
的课后习题。
9
插值法、数值微 分，算例
本课程需要先修数学分析，高等代数，常微分方程，程序设计语言等课程。也是 数学实验，数学模型，算法等课程的基础。 二、课程目标
本课程目标是使数学、统计学相关专业学生理解并掌握借助于计算机数值求解若 干数学问题的数学理论、方法与实践技能，本课程结束时，学生应能：
（1）理解并初步掌握数值分析的理论与方法，对于基本的函数逼近问题、线性代 数问题、常微分方程初值问题等，能够选择适当的求解问题的数值方法，从理论上完 整实现求解相应问题的过程，以及给出相应的理论上的数值分析；
分析概念
7 课时
解线性代数方程组直接法误差分 析的相关概念。
实验二:消元法； 课后练习:教材中
的课后习题。
6
解线性代数方程 组的迭代法、算 例及其相关理论
分析
5 课时
Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代 法,松弛法；迭代法的收敛性判别
及其误差估计理论。
实验三:迭代法； 课后练习:教材中
-2-
（3）完成教师布置的、以小组为单位实施的、求解具有实际背景问题的作业， 通常需要学生通过阅读一定量的参考文献、小组或班级集体讨论、数学建模论文或研 究报告写作等工作，此类作业能加深对课程内容的理解和掌握，有利于提高学生的表 达、交流能力，培养学生的团队合作意识。
四、教学进度
序
专题
计划
号
或主题
要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试，课堂表现 和出勤率是成绩考核的组成部分。 （2）按时完成教师布置的各类作业，包括书面形式的常规练习、实验课布置的 算法编程实现练习，这些作业分别要求学生按书面形式提交、通过电子邮件提交实验 报告及电子版的可执行程序，按时提交各类作业，有利于掌握本课程所要求的内容。 延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。
一、 课程介绍
1.课程描述： 数值分析是介绍借助于计算机数值求解各类数学问题的数学理论、方法与实践技
能的一门引导性课程，是数学、统计学专业的专业必修课程，是计算数学学科基础课。 通过本课程的学习, 要求学生理解和掌握数值计算的基本理论、方法和技能，能够运 用所学的知识对一些基本问题，如函数逼近、线性代数、微分方程求解等问题，设计 求解的数值方法、编制程序（如 MATLAB 程序）在计算机上运行、对数值结果进行初步 的分析，培养学生运用所学专业知识，分析、解决具有实际背景问题的建模能力，为 进一步深入研究科学计算理论及应用打下坚实的基础。
课时
主要内容概述
实验实践 内容
或课外练习等
数值分析研究的问题，数值分析
1
课程简介，误差 的概念、来源
5 课时
方法发展，引出计算数学学科介 绍等；误差的来源；误差是数值
分析方法的基础和核心。
无实验； 课后练习:教材中
的课后习题。
... 实验一:算法稳定
2
误差在数值计算 中的影响
5 课时
误差的传播；近似计算中需要注 意的现象。
的课后习题。
Newton-Cotes 公式，梯形求积公
11
数值积分，算例
10 课 时
式、抛物线求积公式及其误差估 实验七:数值积分； 计，复化公式及其误差估计，加 课后练习:教材中 速收敛技巧，Gauss 型求积公式， 的课后习题。
数值算例。
12
常微分方程初值 问题的数值解法
2.设计思路： 理解并掌握借助于计算机数值求解若干数学问题的数学理论、方法与实践技能，
具备初步的分析、解决具有实际背景问题的建模能力。 课程内容的选取基于学生“掌握了数学分析、高等代数、空间解析几何、常微分
方程等的基础知识”。课程内容及讲解顺序包括三个模块：数值逼近、数值代数、微分 方程数值解法，以及三个模块相应的算法编程实现技能。