3.2圆的对称性(1)0

O
E
练习:在圆 中 直径CE⊥ 于 练习 在圆O中，直径 ⊥AB于 在圆 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， ， 求圆O的半径 的半径。 求圆 的半径。
O
r
D A
4
B
r-4
C
思考题
已知： 是 直径， 已知：AB是⊙O直径， 直径 CD是弦，AE⊥CD， 是弦， ⊥ ， 是弦 BF⊥CD ⊥ 求证： ＝ 求证：EC＝DF
⌒=BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的 两条弧. 两条弧 C 是直径, ∵ CD是直径 是直径 A B CD⊥AB, ⊥ M└ └ ∴ AM=BM, O
●
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD.
课堂小结： 课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 请说出本节所学习的主要内容。 请说出本节所学习的主要内容 2.还有什么疑惑请提出来 还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以 为圆心的两个同心圆中 为圆心的两个同心圆中， 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于 、D两点。 圆的弦 交小圆于C、 两点。 交小圆于 两点 求证： 求证：AC=BD 证明： 证明：过O作OE⊥AB于E， 作 ⊥ 于 ， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE － － 即AC=BD
③直径平分弦
D
条件
①一条直径
②垂直于弦
结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
下列图形是否具备垂径定理的条件？ 下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
如图，已知在⊙ 中 A 如图，已知在⊙O中， 的长为8厘米 弦AB的长为 厘米，圆心 的长为 厘米， O到AB的距离为 厘米， 的距离为3厘米 到 的距离为 厘米， 的半径。 求⊙O的半径。 的半径
●
D
2.已知⊙O的直径 已知⊙ 的直径 的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 已知 ， ， 垂足为M， 垂足为 ，OM=3，则CD= 8 . ， 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 在 为直径， 中 于 ， 为直径 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . ， ， 的半径是
B
做一做
A H N B E M C G D
· 0
F
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 的圆柱形油槽内装入一些油后， 在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油后 若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度 示.若油面宽 若油面宽 ，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
垂径定理的应用
九年级数学(下 第三章圆 九年级数学 下)第三章圆
圆的对称性(1) 3.2 圆的对称性(1) -----垂径定理 -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？ 1.圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形吗
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 折叠的方法即可解决这个问题. 方法即可解决这个问题 用折叠的方法即可解决这个问题.
1 1 AD = AB = × 37.4 = 18.7, 2 2 OD =ห้องสมุดไป่ตู้OC − DC = R − 7.2.
37.4
C
7.2
A
OA2 = AD 2 + OD 2 , 即R 2 = 18.7 2 + ( R − 7.2) 2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 △ 中 由勾股定理，
D
B
R
解得 R≈27.9（m）. （ ） 赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为
3、思考题 、
。O A C E D B
已知：在以 点为圆心 已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。 的两个同心圆中。大 圆的弦AB交小圆于 交小圆于C、 圆的弦 交小圆于 、 D. 求证：AC＝DB 求证： ＝
如图,圆 与矩形 与矩形ABCD交于 、F、G、 交于E、 、 、 如图 圆O与矩形 交于 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长 的长. 求 的长
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦 且AM=BM. 是 的一条弦,且 的一条弦 过点M作直径 过点 作直径CD. 作直径 下图是轴对称图形吗?如果是 其对称轴是什么? 如果是,其对称轴是什么 下图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 你能发现图中有哪些等量关系?与同 你能发现图中有哪些等量关系 与同 伴说说你的想法和理由. 伴说说你的想法和理由 C
AB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母 用三个字母). 用三个字母
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦 如弦AB). 如弦
●
A
O
C D
经过圆心的弦叫做直径(如直径 经过圆心的弦叫做直径 如直径 直径 如直径AC).
E
A C
N ●O
└
B D
M
└
F
挑战自我 画一画
如图,M 为 内的一点, 利用尺规作一条弦AB, 如图 ,M为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, ,M AB过点 并且AM=BM 过点M AM=BM. 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
挑战自我 做一做
如图， 为圆 的直径， 为圆O的直径 如图，CD为圆 的直径，弦AB交CD于 交 于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， ， ° ㎝ ㎝ 求弦AB的长 的长。 求弦 的长。
A F D O E C B
反思小结：
1、对垂径定理的理解 、 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” 证明定理的方法是典型的“ 证明定理的方法是典型的 叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于 定理中反映的弦的中点， 定理中反映的弦的中点 弦所对的两条弧的中点都集中在“ 弦的直径” 弦又关于直径所在的直线对称。 弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。 2、关于垂径定理的运用 、 (1)辅助线的常用作法 辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题 注意把问题化为解直角三角形的问题
探求不断
如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为 。 是直径 垂足为M 如图 弦 ⊥ 垂足为 你能发现图中有哪些等量关系？ 你能发现图中有哪些等量关系？ 请你说说它们相等的理由。 请你说说它们相等的理由。 ⌒ ⌒ ，AD=BD ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC， ，
C
A
M└ └
●
B O
D
已知： 是 的直径， 是 的弦， 已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， 的直径 的弦 且CD⊥AB于M， ⊥ 于 ， 求证： 求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD ，⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连接OA,OB, 证明： 连接OA,OB, OA=OB. 则
如图， 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 (即图中 CD ，点o是 CD 的圆 心)，其 即图中 ⌒ 是 ⌒ ， 中CD=600m,E为 CD 上一点，且 为 ⌒ 上一点， OE⊥CD ，垂足为 ，EF=90m,求这段 垂足为F， ⊥ 求这段 C 弯路的半径。 弯路的半径。
E F O D
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A 在 为直径， 中 于 ， 为直径 则下列结论不正确的是（ 则下列结论不正确的是（ ） C C M└ └ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B、BC=BD A、AC=AD 、 、 O C、AM=OM D、CM=DM 、 、
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ AD=BD. ⌒
CD⊥AB, ⊥
D
判断： 判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对 的两条弧. 的两条弧 （ r ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ r ） 平分弦的直径一定垂直于这条弦 (3)弦的垂直平分线一定经过圆心 （ √ ） 弦的垂直平分线一定经过圆心. 弦的垂直平分线一定经过圆心
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 的圆柱形油槽内装入一些油后， 在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油后 面如图所示.若油面宽 若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 面如图所示 若油面宽 ， 度.
D
A
600
B
O ø 650
C
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 多年前 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长) 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 7.2m,求桥 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥 拱的半径(精确到0.1m). 拱的半径(精确到0.1m).
A C
•o
┐E
D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时， 解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的 如果圆的两条弦平行， 弧相等吗？为什么? 弧相等吗？为什么
C
A
M└ └
●
O
D
∵CD⊥AB于M ⊥ 于 B ∴AM=BM. A和点 关于CD对称 和点B关于 对称. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径 对称, 关于直径CD对称 ∵⊙ 关于直径 对称 当圆沿着直径CD对折时 对折时,点 与点 与点B ∴当圆沿着直径 对折时 点A与点 重合, AC和 ⌒重合 AD和 ⌒重合 重合 ⌒ 和BC重合 ⌒ 和BD重合 重合, 重合.
1 1 则AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4厘米 ＝ ＝ ＝ ＝ 厘米 2 2
E
B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为 连结 。 作 ⊥ ，垂足为E
厘米， 在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理 △ 中 厘米 OA＝ AE 2 + OE 2 = 3 2 + 4 2 = 5 厘米 ＝ ∴⊙O的半径为 厘米。 的半径为5厘米 ∴⊙ 的半径为 厘米。 为弦AB上一动点 取值范围是_______。 若E为弦 上一动点，则OE取值范围是 为弦 上一动点， 取值范围是 。
A ┗
●
B 小明发现图中有 小明发现图中有: O
M
●
由 ① CD是直径 是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB, ⊥
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
垂径定理的逆定理
平分弦 不是直径） 直径垂直于弦, 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 垂直于弦 ． 分弦所对的两条弧. 并且平 分弦所对的两条弧
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 圆弧 简称弧 两点为端点的弧 读作“ 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 两点为端点的 记作 AB 读作 AB”.小于半圆的弧叫做劣弧 如记作 ⌒(用两个字母 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 用两个字母). 用两个字母
布置作业： 布置作业：
3、思考题 、
。O C A E
1
F
B
已知：在以 点为圆心 已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。 的两个同心圆中。大 圆的弦CD交小圆于 交小圆于E、 圆的弦 交小圆于 、 F，OE、OF的延长线 ， 、 的延长线 交大圆于AB。 交大圆于 。 D ⌒ ⌒=BD. 求证： 求证： AC
赵州石拱桥
表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为 ，半径为 如图， ， 经过圆心O作弦 的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点 根 作弦AB的垂线 ， 为垂足 为垂足， 相交于点C.根 经过圆心 作弦 的垂线 据垂径定理， 是 的中点 的中点， 是 的中点， 就是拱高 就是拱高. 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高 由题设 AB = 37.4, CD = 7.2,