九年级数学下册第27章圆27.1.2圆的对称性第1课时圆心角、弧、弦的关系作业课件(新版)华东师大版
九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第1课时弧、弦、圆心角之间的关系练习华东师大版
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27.1 2。
第1课时弧、弦、圆心角之间的关系一、选择题1．如图K－13－1，在⊙O中,错误!＝错误!，下列结论错误的是( ）图K－13－1A．AB＝CDB．∠AOC＝∠DOBC．∠OCD＝∠OBAD。
错误!＝错误!2．下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角;②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等;③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离也相等；④在等圆中，圆心角不相等，它们所对的弦也不相等．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③3．在⊙O和⊙O′中，已知∠AOB＝∠CO′D，则（)A。
错误!＝错误! B。
错误!〈错误! C。
错误!〉错误!D.错误!与错误!的大小无法确定4．在同圆或等圆中，若错误!的长度等于错误!的长度，则下列说法中正确的有( )①错误!的度数＝错误!的度数；②错误!所对的圆心角等于错误!所对的圆心角；③错误!和错误!是等弧；④错误!所对的弦的长度等于错误!所对的弦的长度．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图K－13－2，已知AB是⊙O的直径，错误!＝错误!＝错误!，∠BOC＝40°，那么∠AOE的度数为( ）图K－13－2A．40° B．60° C．75° D．120°6．如图K－13－3，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD，则下列结论中正确的是( )图K－13－3A．AB＝AD B．BC＝CDC。
华东版九年级数学下册第27章 27.1.2第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系定理
证明：在△AED 和△CEB 中，
∠A＝∠C， ∠D＝∠B， DE＝BE，
∴△AED≌△CEB(AAS)， ∴AD＝BCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径
作⊙A，⊙A 交 AD、BC 于点 E、F，延长 BA 交⊙A 于点 ︵ ︵ G，求证：GE＝EF.
解：作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连结 DC′，与线 段 AB 交于点 P，则 DC′即为 PC＋PD 的最小值． ︵ ∵AC的度数是 96°， ︵ ︵ ∴BC的度数＝BC′的度数＝84°. ∴∠DOC′＝84°＋36°＝120°.
过点 O 作 OE⊥C′D 于点 E， ∴∠OC′D＝∠ODC′＝30°， 3 ∴C′E＝ 2 R，∴DC′＝ 3R. 即(PC＋PD)min＝ 3R.
弦相等，那么它所对的圆心角 相等 弧 相等 ．
知识点
圆的对称性
1. 下列命题中，正确的是( D ) A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是 它的对称轴
2. 等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是 轴对称图形，又是中心对称图形的是( C ) A．等边三角形和圆 B．等边三角形、菱形和矩形 C．菱形、矩形和圆 D．等边三角形、矩形和圆
11. 若 CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB 交 AB ︵ ︵ 于点 M，则可得出 AM＝MB，AC＝BC等多个结论，请 你按如图所示图形再写出另外两个结论： AC＝BC，
∠CAM＝∠CBM
．
12. 如图所示，AB、CD、EF 都是⊙O 的直径，且 ∠1＝∠2＝∠3，则⊙O 的弦 AC、BE、DF 的大小关系 是 AC＝BE＝DF ．
13. 如图，AB 是半圆 O 的直径，E 是 OA 的中点， F 是 OB 的中点，ME⊥AB 于点 E，NF⊥AB 于点 F.在下 ︵ ︵ ︵ 列结论中：①AM＝MN＝BN；②ME＝NF；③AE＝BF； ④ME＝2AE.正确的有
圆心角弧弦之间的关系课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
九年级下册圆的对称性圆心角弧弦弦心距之间的关系市公开课一等奖省优质课获奖课件
如图: 顶点在圆心角叫做圆心角. 如图:∠AOB是圆心角. 图中还有哪些圆心角？
第5页
如图: AB是AOB所对的弧, AB是AOB所对的弦 OM 是弦AB的弦心距.
当AOB A'OB '时, AB与A' B ',弦AB与A' B ', 弦心距OM 与OM '之间有什么关系?
一、复习引入：
1.圆对称性有哪些? 2.垂径定理、垂径定理推论内容各是什么? 3.什么叫弦心距? 4.你学过与圆相关第一条辅助线是什么?
圆不但是轴对称图形,中心对称图形, 而且还有旋转不变性.
本节课,我们来学习依据圆旋转不变性得到圆心角,弧, 弦,弦心距之间一些性质.
第2页
二、学习目标：
1、掌握圆心角定义，了解并掌握圆心角，弧，弦， 弦心距之间关系 2、了解并掌握圆心角度数与它所正确弧度数 之间关系。 3、能利用圆心角、弧、弦、弦心距之间关系处理相 关证实与计算问题。
第7页
4.把顶点在圆心周角等分成360份,每一份圆心角 是1°角.
因为同圆中相等圆心角所正确弧相等,所以整个圆周 也被等分成360份,我们把每一份这么弧叫做1°弧. 普圆通心地角:n度0圆数心等角于对它着所n正0弧确,弧n0度弧数对.着n0圆心角.
n°圆心角 C
O
n°
B n°弧
A
1°圆心角
1°弧
第8页
第3页
三、自学提要：
看书本上第18-19页内容，处理以下问题:
1.什么叫圆心角？ 2.圆心角，弧，弦，弦心距之间相等关系定理及其 推论内容是什么？怎样用符号语言来表述？ 3.圆心角度数等于它所对弧度数吗？ 4.阅读书本上例4、5、6.掌握解题方法与解题步骤。
九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.2 圆的对称性(第1课时)课件 (新版)华东师大版
2. 圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦的关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★教学目标★ 1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性； 2．掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题．
★情景问题引入★
(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ (2)如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等 量关系？为什么？
B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．如图所示，在⊙O 中，弦 AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等 关系的量共有(不包括 AB＝CD)( A )
A．10 组 B．7 组 C．6 组 D．5 组
︵ 3．如图所示，在⊙O 中，点 C 是AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( A ) A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图所示，AB 为⊙O 直径，点 C、D 在⊙O 上．已知∠BOC＝70°，AD ∥OC，则∠AOD＝_4_0___度．
︵︵ 5．如图所示，AB、CD 是⊙O 的两条直径，弦 BE＝BD.求证：AC＝BE.
证明：∵AB、CD 是⊙O 的两条直径， ∴AB、CD 的交点为圆心 O，
︵︵ ∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD.
归类探究
类型之一 利用圆心角、弧、弦之间的关系计算
︵︵︵ 如图， AB 是⊙O 的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO 的
度数是( A )
A．51°
B．56° C．68° D．78°
︵︵︵ 【解析】∵BC＝CD＝DE，∠COD＝34°， ∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°， ∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°. 又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，
九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 2 圆的对称性第1课时 圆的对称性教学课件
不可以(kěyǐ)，如图.
B D OC A
第十页，共二十三页。
题设
结论
( jiélùn)
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
在
圆心角所对的弦相等
同
圆
弧所对的圆心角相等
或 如果弧相等 等
那么 弧所对的弦相等
圆
中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
第十一页，共二十三页。
第十八页，共二十三页。
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD BC
求证:AB＝CD.
证 明 ： 连 接 A O , B O , C O , D O . AD BC，
AO D BO C .
C B
O.
D A
A O D + B O D = B O C + B O D .
即 A O B C O D ，
第二页，共二十三页。
导入新课
情境 (qíngjìng)引
入熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均(píngjūn)分成四块，你会 分吗？
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讲授(jiǎngshòu)新课
一 圆的对称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果(rúguǒ)是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么(zěn me)得出结论的？ 用折叠的方法
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
第二十一页，共二十三页。
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
27.1 圆的认识。课堂小结。1.理解掌握圆的对称性.（重点）。2.运用圆的对称性研究圆心角、弧、 弦之间的关系.。3.掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用.。如果是，它的对称轴是什么。
华师版九年级数学下册第27章圆PPT教学课件1
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35，
B
75 .
⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ， ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， · O C A
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1圆的基本性质考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。
（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径 平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。
（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
27.1.2圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的关系
教 学 反 思
学习目标： 1、知道和理解圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，还是旋 转对称图形，并能指出它的对称中心； 2、并能运用圆特有的性质推出在同一个圆中圆心角、弧及弦之 间的关系。 3、在学习的过程中培养学生的合作意识和创新意识。 （三）根据目标，提出问题 根据目标，快速阅读课本 P35~P36 页找出今天我们要学习的知 识点，并发现有那些是你关注的问题和有疑问的地方，发现问题请举 手示意。 预设：同学们提的问题都很好（真好），大多都是我们本节应 该学习的知识，老师将大家提出的问题归纳、整理、补充为下面的自 探提示，希望能为大家本节的学习提供帮助。请看： （三）出示自探提纲，组织学生自探。（ 自探提纲： 1、圆有几条对称轴？对称中心在哪？有几个对称中心？ 2、直径是否是圆的对称轴？直径与圆的对称轴的区别； 3、圆心角、弧及弦的关系； 4、在同圆和等圆中如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组 相等能不能推出其余两组也相等？ 5、一条弦对应的弧有几条？那么两条弧与两条弦必须要有什么 样的条件才能满足 4 中的问题？ 自探活动：同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 10 分钟）
情感 态度 培养学生的合作意识和创新意识。 价值观 教学 重点 与 难点 课时 重点 难点 1 课时 共案 一、设疑自探（10 分钟） （一）创设情境，导入新课 1、要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆 心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相 重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁 的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪 一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一 条直线都是圆的对称轴。 （二）出示目标，明确任务 修改栏 1、知道和理解圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，还是旋转对称 图形，并能指出它的对称中心； 2、掌握圆心角、弧及弦之间的关系。 圆心角、弧及弦之间的关系的应用。
华师大数学九年级下第27章圆的知识点总结
圆的知识点总结一、垂径定理1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 二、弧、弦、圆心角定理1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 三、圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：圆的内接四边形对角互补． 四、与圆相关的位置关系1.点和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： 点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.2.直线和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：d r >⇔直线l 与O ⊙相离；d r =⇔直线l 与O ⊙相切；d r <⇔直线l 与O ⊙相交切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.圆和圆的位置关系：设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则有：d R r >+⇔两圆外离；d R r =+⇔两圆外切；R r d R r -<<+⇔两圆相交； d R r =-⇔两圆内切；0d R r <-⇔≤两圆内含.五、圆中的相关计算公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）5. 圆锥侧面积公式：πrl六、圆中常见辅助线作法七、圆中常见倒角模型。