几何条件代数化与代数运算几何化

几何条件代数化与代数运算几何化

几何条件代数化与代数运算几何化

——突破解析几何难点之两

方法

解析几何解题方向：找关系。（1）找1

2

,k k 关

系，设直线方程；（2）找1

2

,x x 关系，找解题方向；

（3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找1

2

x x

与12

x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。

几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。

所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。

其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。

下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。

1、（第一次周考）

21. 设椭圆C ：

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点

F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =.

（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.

分析：1、几何条件代数化：2AF FB = 本质特

征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系：

1

2

2y y -=或1

22()

c x

x c -=-.

|AB|=15

4

代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 （21）解：设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y ，由题意知1

y ＜0，2

y ＞

0.

（Ⅰ）直线l 的方程为 3()

y x c =-，其中22

c a b =

-联立22

223(),

1

y x c x y a

b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2

2224(3)2330

a

b y b cy b ++-=

解得22122222

3(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b +-==

++ 因为2AF FB =，所

以1

2

2y

y -=.

即

222222

3(2)3(2)

233b c a b c a a b a b +-=•

++得离心率

2

3

c e a =

=. ……6分

（Ⅱ）因为

21

1

13

AB y y =+-，所以

2224315343ab a b

=

+. 由

23

c a =得53

b a =

.

所以515

44

a =，得a=3，5

b = 椭圆C 的方程为22195

x y +=. ……12分

2、（第二次周考） 21.设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y 是椭圆

22

2

21(0)y x a b a b

+=>>上的两点，已

知向量1

1

(,),x y

m b a

= 22

(

,)x y n b a

=，若0m n ⋅=且椭圆的离心率3e =

，短轴

长为2，O 为坐标原点。

（1）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ）（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值。 （2）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：平面向量条件

m n ⋅= 本质特征：m 与n 垂直；代数关系：1212

220x x y y b a

+=.

AOB

∆的面积 代数关系：弦长公式和点到

直线的距离公式。

2、一般问题特殊化 直线AB 分斜率存在与不存在讨论。

3、代数运算几何化 利用0m n ⋅=找,k b 关系，

2224,

b k =+把二元转化为一元。

解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 21.（1）

223

22,1,c

a b b b e a

-=∴===

=，解得a=2,

所求椭圆的方程为2

214

y x +=

知 3,

c =

设直线AB 的方程为3y kx =+与椭圆方

程联立，得

22

3,

1,4

y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消元，得

221122(4)2310,(,),(,)

k x kx A x y B x y ++-=则

1212

22231

,44

k x x x x k k --+=

=++。

由已知0m n ⋅=得

21212121212122222133(3)(3)(1))444413233()0,2

444

x x y y k k x x kx kx x x x x b a k k k k k +=+++=+++++=-++==+解得 （2）①当直线AB 斜率不存在时，即1

212,,

x x y y ==-则

联立，得0m n ⋅=整理，得2

211

0,

4

y x -=又点A 1

1

(,)x y 在椭圆上，故

2

211

1

4

y x +=，解得1

12

|||22

x y =

= AOB

∆的面积1

1

21111

||||||2||122

S x y y x y =-=

⨯=

②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为