信号与系统第三章

例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
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第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
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信号
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应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
yf(t)= – 6e-t + 3e-2t + 3 ，t≥0
将 Cu 'C (t) is (t) iL (t) 代入上式 得
LCi ''L(t) RCi 'L(t) iL(t) is (t)
方程两边同除以 LC 化成标准形式，得
R
1
1
i ''L(t) L i 'L(t) LC iL(t) LC is (t)
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1
例2：下图是一典型的线性系统，电路可列写微分方程。
第三章 连续信号与系统的时域分析
时域分析是在时域研究信号与系统 的方法。这种方法直观、物理概念清楚， 是学习各种分析方法的基础。系统的时 域分析方法包含两方面内容，一方面是 通过解微分方程求解系统的响应；另一 方面是已知系统的冲激响应，用卷积法 求解系统的零状态响应。本章将从这两 方面进行阐述。
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1.由冲激响应和线性系统性质求
根据线性系统的微积分性质
2.直接求系统的零状态响应(用解微分方程求解).
3.利用下面要学习的卷积积分.
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3.3 卷积积分及其性质
3.3.1．任意信号的分解
• 观察下边图形
p(t)
1
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
直观看出
A
f1(t) A p(t)
0
2
2
(a)
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t
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为将 uC (t) 用电流 iL (t) 、 is (t) 表示出来，需把 uC (t) 转化为电流形式 cu'C (t)
R
iL (t)
is (t)
C uC (t)
L
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1
对方程两边求导得 Li ''L (t) Ri 'L (t) u 'C (t)
方程两边同乘以 C 得 LCi ''L (t) RCi 'L (t) Cu 'C (t)
代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得
y (t) 2020/6/7 x = 4e –t – 2e –2t
,t > 0 16
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（2）零状态响应yzs(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6u(t) 并有 yf(0-) = yf’(0-) = 0
• 因为
t
u(t) δ(t) d t
• 所以 g(t) t h( ) d , h(t) d g(t)
dt
• 因此阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
• 2020－/6/7
，而对于因果系统为 t 22 0
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冲激函数与阶跃函数的关系:
t
( )d u(t) du(t) (t) dt
如下面例题：
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例 1 对下图所示电路，以 is (t) 为输入，（1）以 iL (t) 为输出，列出系统的微分方程； （2）以 uC (t) 为输出，列出系统的微分方程。
解:（1）对于 C 、R 、L 所在的回路，根据 KVL 有
Li 'L (t) RiL (t) uC (t)
• 根据LTI连续时间系统的线性时不变性，移位冲激信
号 δ(t t0)的响应为 δ(t t0 ) h(t t0 )
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• 根据冲激响应的定义，当描述系统的微分方程为 一般方程如式（3.1-7）所示，而激励 f (t) δ(t)时， 此系统冲激响应的数学模型（假设 an 1时）为
3.1.3 LTI连续系统的零输入响应与零状态响应
根据LTI系统的分解性，系统全响应 yt 还可分解为零输入响应yx t 和零状态响应 yf t 之和。
y(t) yx (t) y f (t)
1.零输入响应
即对如下方程求解
an
dn yx (t) dt n
an1
dn1 yx (t) dt n1
L
征根都是单根的情况下，冲激响应的形式可表达
为：
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h(t
)
i
n 1
Ci
eit
u(t
)
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• 其中，冲激响应 ht与n，m 相对大小有关：
当n m时，ht 不含δt 及其各阶导数； 当n m时，ht 中应包含δt ； 当n m时，ht 应包含δt 及其各阶导数。
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3.2.2阶跃响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为u(t) 时，
系统的零状态响应称为此系统的单位阶跃响应，简 称阶跃响应。一般用 g(t) 表示。
• 根据LTI系统的性质，当对激励进行数乘、延迟、微 分以及积分运算时，其响应也应进行相同的运算。
• 阶跃响应与冲激响应具有如下关系：
)
2
d 2u(t) dt 2
2
du(t) dt
1 2
us
(t)
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3.1 LTI连续系统的响应
当激励信号 f (t)作用于响应 y(t)系统时，则该系统的数
学模型可表示为：
a3
d3 y(t) dt 3
a2
d2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
b1
df (t) dt
b0
f
(t )
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根据不同观点，可将系统的完全响应分解为不同形式的 响应分量。
完全响应 y(t) 零输入响应 yx (t) 零状态响应y f (t)
齐次解
特解
（自由响应）yh (t) （强迫响应）y p (t)
稳态响应ys (t) 暂态响应 yt (t)
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的特点，齐次解有不同的形式。无重根时，对应的齐次
解为
n
yc (t ) Cieit , i 为单根时
i 1
n
yc (t)=(Cr-1t r-1+Cr-2t r-2 +L +C1t+C0 )eit Cieit , 1 为r重根时 ir 1
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式中 Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1， – 2，故
yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t
3.2冲激响应和阶跃响应
• 3.2.1 冲激响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为δ(t) 时，系统的
零状态响应称为此系统的单位冲激响应，简称冲激响应。 • 冲激响应一般用 h(t)表示，系统如下图所示：
•
LTI连续时间系统的冲激响应
• LTI连续时间系统的冲激响应也可以表示为
δ(t) h(t)
k 0
dk y f (t) dt k
m
bk
k 0
dk f (t) dt k
• 求解方法等同于经典解法中普通方程的求解，只是此时方
程所有的初始条件为零。
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零输入响应和零状态响应举例
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 6f(t)