信号与系统 第三章
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信号与系统-第三章习题讲解
Fn
1 T
T f (t)e jntdt 1
0
T
T E(1 t )e jntdt
0
T
E T e jnt dt 1 T te jnt dt]
T0
T0
E { 1 [t TT
1 e jnt
jn
|T0
T e jnt
0 jn
dt]}
E { 1 [T 1 0]} j E ; n 1, 2,....
E cos( )
2
2E cos( ) 2E cos( )
2
2 2 2
2
[1 ( )2 ]
3 32已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅立叶变换：
FT[u(t)] 1 (); j
FT[cos(0t)] [ ( 0 ) ( 0 )]; FT[sin(0t)] j[ ( 0 ) ( 0 )];
E
n
e
j
2
,
n为奇数
0，
n为偶数
故：f (t ) jE e jt jE e jt jE e j3t jE e j3t ....
3
3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有
1T
2
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t)的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：(1)图(a)中f (t)为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t)为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t)为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t)为奇函数,故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t)既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。
信号与系统第三章
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1
信号与系统第三章
例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
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第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
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3
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应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
信号与系统第三章
T1 t0
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve
o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o
2
3
4 5
6
(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为
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例如音乐信号各频率分量的振幅乘以相同的常数
三．函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 24
页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
第
1．偶函数
25
页
f (t)
信号波形相对于纵轴是对称的
E
f (t) f (t)
T1 2
T1 T1
a 2 f (t) cos n t d t
第3章 傅里叶变换
引言
第 2
页
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
an cn cosn dn sinn
bn cn sin n dn cosn
a
tg n
nb n
b
tg n n a n
第
幅度频率特性和相位频率特性
15
页
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波 （n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合。
cn ~ 1关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 1关系曲线称为相位频谱图。
n
T T1
1
12
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
2 T1
b 2 f (t) sin n t d t
n
T T1
1
12
bn 0
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
Fn为实函数。
f (t) E
T1 2
T1 2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
f (t)dt
1
1T g( g 1
●
一个重要思想：对于LTI系统,
不同的信号分解方法引出不同的
第 3
系统分析方法。
页
例如信号的冲激分解, 引出系统的卷积分析方法：
e(t)
e( ) (t ) d
rzs (t) e(t) h(t)
e( )h(t ) d
● 本章将对连续信号作傅里叶分解，从而引出系统的频域分析方 法，即傅里叶分析法。为此，讨论下图的问题。
i
rzs (t) xi H (si ) esit ( t )
i
● 本章令 s=jω，将信号 e(t) 分解成复指数函数的特例，即虚指
数函数，则LTI系统的 rzs(t) 可用虚指数函数的线性组合表示
e(t) xi ejωit ( t )
i
rzs (t) xi H (jωi ) e jωit ( t )
i
● 这就是信号与系统频域分析的基本思想。
● 本章，通过信号与系统的频域分析，将引出许多重要概念。
第
傅里叶生平
5 页
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
傅立叶的两个最主要的贡献——
第 6
页
• “周期信号都可表示为成谐波关系的正 弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
T1
2 T1
f (t) d t
=0
2
T
2
T
0
t
2
an
2 T1
T1
2 T1
f (t) cos
2
n1t
dt 0
E 2
bn
2 T1
T1
21 T1
f
(t ) sin
2
n1t
dt 4
T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
傅里叶级数中无余弦分量，Fn为虚函数。
f (t)
T
2
T
0
t0T1 f (t)dt
t0
一般周期信号都满足这些条件。
周期信号的另一种三角函数正交集表示
第 13
页
余弦形式 或
正弦形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
比较几种系数的关系
第 14
页
a c d
0
0
0
cn dn an2 bn2
当n 1,3,5L 时 当n 2, 4, 6L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cosn1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
第 32 页
● 将周期信号作FS展开, 目的在于了解它的频率 特性， 即它由那些指数（正弦）频率分量组成, 各 分量振幅的相对大小, 以及各分量初相的相对关系。 显然, 这些信息都在指数、余弦形式的FS之中。
n 1, 2,L
第
双边频谱图
19
页
幅度频谱 Fn ~ 1曲线
相位频谱 n ~ 1曲线
第 20 页
● 若指数傅里叶系数 Fn 是实数，则其幅度谱和相位谱 可以合画。
第
● 相位谱，二者同一个函数，无任何问题。
21
页
n ~ 1 曲线
n ~ 1曲线
● 幅度谱，二者直流振幅相同 ，谐波有别（2倍关系）；
第 34
页
先求指数傅里叶系数 Fn ，进而得到Cn以及余弦FS。
Fn
1 T
/2 / 2
Ee jnω1t
dt
E T
e jnω1t jnω1
/2 / 2
E jnω1T
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E jn2 π
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E nπ
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
主要内容
第 10
页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数形式的傅氏级数 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •傅里叶有限级数与最小均方误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
第 11
页
周期信号
f t
, 周期为 T
, 基波角频率为
2 ，频率f
1
1
1
1
T
T
在满足狄利克雷条件时可展成
rzs (t) h(t) e(t)
h( )es(t )d
est h( )es d
令 H (s) h(t)est d t 则
rzs (t) H (s) est ( t )
【讨论】
● 若激励为 es0t , 则零状态响应
rzs (t) H (s0 ) es0t ( t )
说明：
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号ejn1t
的线性组合。
两种系数之间的关系
第 18
页
F0 c0 d0 a0
Fn
Fn
e jn
1 2
an
jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
Fn
Fn
1 2
cn
1 2
dn
1 2
an2 bn2
Fn Fn cn
j(Fn Fn ) bn
cn2 dn2 an2 bn2 4Fn Fn
• “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
第 7 页
• 时域分析中，将任意信号分解成冲激函数 的加权积分；
• 变换域分析中，将任意信号分解成虚指数 函数的加权积分；
• 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线 性组合称为信号的频谱分析；
• 用频谱分析的观点来分析系统称为系统的 频域分析法或傅里叶变换分析法。
2
E 2
f
(t)
E
(sin 1t
1 2
sin
21t
1 3
sin
31t
....)
第 28 页
t
第
3．奇谐函数
29
页
若波形沿时间轴平移半个周
f (t)
期并相对于该轴上下反转， L
此时波形并不发生变化：
T
f
(t)
f
t
T1 2
L
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0
n 2, 4,6L 时 n 1,3,5L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
第
4．偶谐函数
30
页
波形移动 T1 与原波形重合，
f (t)
2
称为偶谐函数。
L
f
(t)
f
t
T1 2
T1 T1 O
T1
2
2
L
T1 t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
第 22
这相当于将第 k次谐波振幅的幅度减半，分给正负频率分量。 页
cn ~ 1 曲线
Fn ~ 1曲线
第 23 页
• 用指数FS和余弦FS两种级数描述同一个信号频谱， 频率特性完全一致吗？回答是肯定的！因为振幅 和初相的相对比例关系不变。
• 其实，工程上关心的幅度谱，主要不是各次谐波 振幅的绝对大小，而是各次谐波振幅的相对比例 关系，以便确定信号的有效带宽。从而确定处理 信号的系统带宽，以满足信号的基本无失真传输。 故，cn和Fn二者均可。
三．函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 24
页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
第
1．偶函数
25
页
f (t)
信号波形相对于纵轴是对称的
E
f (t) f (t)
T1 2
T1 T1
a 2 f (t) cos n t d t
第3章 傅里叶变换
引言
第 2
页
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
an cn cosn dn sinn
bn cn sin n dn cosn
a
tg n
nb n
b
tg n n a n
第
幅度频率特性和相位频率特性
15
页
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波 （n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合。
cn ~ 1关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 1关系曲线称为相位频谱图。
n
T T1
1
12
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
2 T1
b 2 f (t) sin n t d t
n
T T1
1
12
bn 0
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
Fn为实函数。
f (t) E
T1 2
T1 2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
f (t)dt
1
1T g( g 1
●
一个重要思想：对于LTI系统,
不同的信号分解方法引出不同的
第 3
系统分析方法。
页
例如信号的冲激分解, 引出系统的卷积分析方法：
e(t)
e( ) (t ) d
rzs (t) e(t) h(t)
e( )h(t ) d
● 本章将对连续信号作傅里叶分解，从而引出系统的频域分析方 法，即傅里叶分析法。为此，讨论下图的问题。
i
rzs (t) xi H (si ) esit ( t )
i
● 本章令 s=jω，将信号 e(t) 分解成复指数函数的特例，即虚指
数函数，则LTI系统的 rzs(t) 可用虚指数函数的线性组合表示
e(t) xi ejωit ( t )
i
rzs (t) xi H (jωi ) e jωit ( t )
i
● 这就是信号与系统频域分析的基本思想。
● 本章，通过信号与系统的频域分析，将引出许多重要概念。
第
傅里叶生平
5 页
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
傅立叶的两个最主要的贡献——
第 6
页
• “周期信号都可表示为成谐波关系的正 弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
T1
2 T1
f (t) d t
=0
2
T
2
T
0
t
2
an
2 T1
T1
2 T1
f (t) cos
2
n1t
dt 0
E 2
bn
2 T1
T1
21 T1
f
(t ) sin
2
n1t
dt 4
T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
傅里叶级数中无余弦分量，Fn为虚函数。
f (t)
T
2
T
0
t0T1 f (t)dt
t0
一般周期信号都满足这些条件。
周期信号的另一种三角函数正交集表示
第 13
页
余弦形式 或
正弦形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
比较几种系数的关系
第 14
页
a c d
0
0
0
cn dn an2 bn2
当n 1,3,5L 时 当n 2, 4, 6L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cosn1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
第 32 页
● 将周期信号作FS展开, 目的在于了解它的频率 特性， 即它由那些指数（正弦）频率分量组成, 各 分量振幅的相对大小, 以及各分量初相的相对关系。 显然, 这些信息都在指数、余弦形式的FS之中。
n 1, 2,L
第
双边频谱图
19
页
幅度频谱 Fn ~ 1曲线
相位频谱 n ~ 1曲线
第 20 页
● 若指数傅里叶系数 Fn 是实数，则其幅度谱和相位谱 可以合画。
第
● 相位谱，二者同一个函数，无任何问题。
21
页
n ~ 1 曲线
n ~ 1曲线
● 幅度谱，二者直流振幅相同 ，谐波有别（2倍关系）；
第 34
页
先求指数傅里叶系数 Fn ，进而得到Cn以及余弦FS。
Fn
1 T
/2 / 2
Ee jnω1t
dt
E T
e jnω1t jnω1
/2 / 2
E jnω1T
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E jn2 π
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E nπ
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
主要内容
第 10
页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数形式的傅氏级数 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •傅里叶有限级数与最小均方误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
第 11
页
周期信号
f t
, 周期为 T
, 基波角频率为
2 ，频率f
1
1
1
1
T
T
在满足狄利克雷条件时可展成
rzs (t) h(t) e(t)
h( )es(t )d
est h( )es d
令 H (s) h(t)est d t 则
rzs (t) H (s) est ( t )
【讨论】
● 若激励为 es0t , 则零状态响应
rzs (t) H (s0 ) es0t ( t )
说明：
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号ejn1t
的线性组合。
两种系数之间的关系
第 18
页
F0 c0 d0 a0
Fn
Fn
e jn
1 2
an
jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
Fn
Fn
1 2
cn
1 2
dn
1 2
an2 bn2
Fn Fn cn
j(Fn Fn ) bn
cn2 dn2 an2 bn2 4Fn Fn
• “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
第 7 页
• 时域分析中，将任意信号分解成冲激函数 的加权积分；
• 变换域分析中，将任意信号分解成虚指数 函数的加权积分；
• 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线 性组合称为信号的频谱分析；
• 用频谱分析的观点来分析系统称为系统的 频域分析法或傅里叶变换分析法。
2
E 2
f
(t)
E
(sin 1t
1 2
sin
21t
1 3
sin
31t
....)
第 28 页
t
第
3．奇谐函数
29
页
若波形沿时间轴平移半个周
f (t)
期并相对于该轴上下反转， L
此时波形并不发生变化：
T
f
(t)
f
t
T1 2
L
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0
n 2, 4,6L 时 n 1,3,5L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
第
4．偶谐函数
30
页
波形移动 T1 与原波形重合，
f (t)
2
称为偶谐函数。
L
f
(t)
f
t
T1 2
T1 T1 O
T1
2
2
L
T1 t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
第 22
这相当于将第 k次谐波振幅的幅度减半，分给正负频率分量。 页
cn ~ 1 曲线
Fn ~ 1曲线
第 23 页
• 用指数FS和余弦FS两种级数描述同一个信号频谱， 频率特性完全一致吗？回答是肯定的！因为振幅 和初相的相对比例关系不变。
• 其实，工程上关心的幅度谱，主要不是各次谐波 振幅的绝对大小，而是各次谐波振幅的相对比例 关系，以便确定信号的有效带宽。从而确定处理 信号的系统带宽，以满足信号的基本无失真传输。 故，cn和Fn二者均可。