信号与系统-第三章习题讲解
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jn t 1 E e jnt T E e 1 E T 2 [ jn |0 jn |T ] [ (1 cos n )] T 2 2 T jn 2
E j e 2 , n为奇数 E n = [1 ( 1) ] n j 2n 0， n为偶数 故：f (t ) jE
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t )的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解： (1)图(a)中f (t )为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t )为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t )为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t )为奇函数, 故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t )既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。 1 (6)图( f )中[ f (t ) ]为奇函数且f (t )为偶谐函数，故其傅 2 氏级数中仅含直流和偶次谐波的正弦分量。
2 bn T1
T1
0
源自文库f (t ) sin( n1t )dt
T 2 T E E 2 [ sin( nt ) dt T ( ) sin( nt ) dt T 0 2 2 2 T 2 E E 2 { [ cos( nt )] |0 ( )[ cos( nt )] |T T T 2n 2n 2
2E , n为奇数 n 0， n为偶数 2E 1 2E 1 2 故f (t ) sin( n t ) sin( n t) n 1.3.5... n n 1.3.5... n T 2E 1 1 = [sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) ...] 3 5 2 其中 : T
bn 0, 所以 f (t ) a0 [an cos(nt ) bn sin(nt )] (
n 1
2 ) T
E 4E ( ) cos(nt ) 2 2 n 1,3,5 (n ) E 4E 1 1 2 [cos(t ) 2 cos(3t ) 2 cos(5t ) ] 2 3 5 信号幅度谱如下图
求指数形式的傅里叶级数：f (t ) 令 1 2 T
n
F ( n1 )e jn1t
1 T jn t F ( n1 ) f ( t ) e dt 0 T T 1 T E jnt E jnt 2 [ e dt T ( )e dt ] 0 T 2 2 2
( 2 ) T
3－6、求题图3－6所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级， 并大致画出频谱图。
t 解：由图3－6知在一个周期内:f (t ) E (1 ) T 1 T 1 T t jnt Fn f (t )e dt E (1 )e jnt dt T 0 T 0 T E T jnt 1 T jnt e dt te dt ] 0 0 T T E 1 1 jnt T T e jnt { [t e |0 dt ]} 0 T T jn jn E 1 1 E { [T 0]} j ; n 1, 2,.... T T jn 2 n 1 T t E F0 E (1 )dt T 0 T 2 E jE jt jE jt jE j 2t jE j 2t 故f (t ) e e e e .... 2 2 2 4 4 E E 1 [sin(t ) sin(2t ) ...] 2 2
第三章习题讲解
1、求题图3－1所示对称周期矩形信号的傅里 叶级数(三角形式与指数形式)
解：求三角形式的傅里叶级数表示。由图知， 原信号 f (t )关于原点对称，为奇函数。 将f (t )表示为： f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
n 1
1 T1 2 其中a0 f (t )dt 0, 此时T1 T , 1 T1 0 T f (t )为奇函数， cos(n1t )为偶函数，故 f (t ) cos(n1t )为奇函数，在一个周期内积分为零， 2 T1 因而有：an f (t ) cos(n1t )dt 0 T1 0
3－15求题图3－15所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并 画出频谱图。(见课本108)
e
j t
jE
e
j t
jE j 3t jE j 3t e e .... 3 3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有 1 T E a0 f (t )dt , T 0 2 由图3－4知f (t )为偶函数，故 2 T 2 T an f (t ) cos(nt )dt 2T f (t ) cos(nt )dt T 0 T 2
T T 4 T 2 E 8 E 1 2 t cos(nt )dt 2 [t sin(nt ) |02 2 sin(nt )dt ] 0 T 0 T T n n为偶数 0, 8E nT 2 [cos( ) 1] 4 E ；式中 2 (nT ) 2 T (n ) 2 ，n为奇数
E j e 2 , n为奇数 E n = [1 ( 1) ] n j 2n 0， n为偶数 故：f (t ) jE
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t )的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解： (1)图(a)中f (t )为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t )为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t )为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t )为奇函数, 故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t )既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。 1 (6)图( f )中[ f (t ) ]为奇函数且f (t )为偶谐函数，故其傅 2 氏级数中仅含直流和偶次谐波的正弦分量。
2 bn T1
T1
0
源自文库f (t ) sin( n1t )dt
T 2 T E E 2 [ sin( nt ) dt T ( ) sin( nt ) dt T 0 2 2 2 T 2 E E 2 { [ cos( nt )] |0 ( )[ cos( nt )] |T T T 2n 2n 2
2E , n为奇数 n 0， n为偶数 2E 1 2E 1 2 故f (t ) sin( n t ) sin( n t) n 1.3.5... n n 1.3.5... n T 2E 1 1 = [sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) ...] 3 5 2 其中 : T
bn 0, 所以 f (t ) a0 [an cos(nt ) bn sin(nt )] (
n 1
2 ) T
E 4E ( ) cos(nt ) 2 2 n 1,3,5 (n ) E 4E 1 1 2 [cos(t ) 2 cos(3t ) 2 cos(5t ) ] 2 3 5 信号幅度谱如下图
求指数形式的傅里叶级数：f (t ) 令 1 2 T
n
F ( n1 )e jn1t
1 T jn t F ( n1 ) f ( t ) e dt 0 T T 1 T E jnt E jnt 2 [ e dt T ( )e dt ] 0 T 2 2 2
( 2 ) T
3－6、求题图3－6所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级， 并大致画出频谱图。
t 解：由图3－6知在一个周期内:f (t ) E (1 ) T 1 T 1 T t jnt Fn f (t )e dt E (1 )e jnt dt T 0 T 0 T E T jnt 1 T jnt e dt te dt ] 0 0 T T E 1 1 jnt T T e jnt { [t e |0 dt ]} 0 T T jn jn E 1 1 E { [T 0]} j ; n 1, 2,.... T T jn 2 n 1 T t E F0 E (1 )dt T 0 T 2 E jE jt jE jt jE j 2t jE j 2t 故f (t ) e e e e .... 2 2 2 4 4 E E 1 [sin(t ) sin(2t ) ...] 2 2
第三章习题讲解
1、求题图3－1所示对称周期矩形信号的傅里 叶级数(三角形式与指数形式)
解：求三角形式的傅里叶级数表示。由图知， 原信号 f (t )关于原点对称，为奇函数。 将f (t )表示为： f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]
n 1
1 T1 2 其中a0 f (t )dt 0, 此时T1 T , 1 T1 0 T f (t )为奇函数， cos(n1t )为偶函数，故 f (t ) cos(n1t )为奇函数，在一个周期内积分为零， 2 T1 因而有：an f (t ) cos(n1t )dt 0 T1 0
3－15求题图3－15所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并 画出频谱图。(见课本108)
e
j t
jE
e
j t
jE j 3t jE j 3t e e .... 3 3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有 1 T E a0 f (t )dt , T 0 2 由图3－4知f (t )为偶函数，故 2 T 2 T an f (t ) cos(nt )dt 2T f (t ) cos(nt )dt T 0 T 2
T T 4 T 2 E 8 E 1 2 t cos(nt )dt 2 [t sin(nt ) |02 2 sin(nt )dt ] 0 T 0 T T n n为偶数 0, 8E nT 2 [cos( ) 1] 4 E ；式中 2 (nT ) 2 T (n ) 2 ，n为奇数