生活中的优化问题举例(教学设计)含答案

3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时）教学目标：知识与技能目标：会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

过程与方法目标：在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。

情感、态度与价值观目标：在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题． 教学过程：一．创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要贴海报进行宣传。

现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。

求导数，得'2512()2S x x =-。

令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128816x ==。

当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：例2（课本P102例2）．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去） 当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm 时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当3r =时，()30f =，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值．当()0,2r ∈时，()0f r '<，()f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．例3（课本P102例3）．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． （1） 是不是r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R rm-。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rnπ。

所以，磁盘总存储量 ()f r =R r m -×2r nπ2()r R r mn π=- （1）它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．（2）为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．()2()2f r R r mnπ'=- 令()0f r '=，解得2R r =当2R r <时，()0f r '>；当2Rr >时，()0f r '<． 因此2R r =时，磁盘具有最大存储量。

此时最大存储量为224R mn π例4．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么wG s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题．通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =．从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．解：因为 w w gt G s s vt ===这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，gv表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ．因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ．例5．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060_x_x_ 60_ 60xxS(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2 令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例7．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大例8．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .解：由梯形面积公式，得S =21(AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ①∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD .∴l =h 32×2+b②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =h Sh h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S时，l ′>0. ∴h =43S时，l 取最小值，此时b =S 3324 例9．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x ，y ），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x ，y ）， 在x 轴上的两个顶点为（－x ，0）、（x ，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S ，则S ＝2 x （4－x 2），0＜ x ＜2．由S ′（x ）＝8－6 x 2＝0，得x ＝332，易知 x ＝34是S 在（0，2）上的极值点， 即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为332和38．【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．例10：一书店预计一年要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即2x，故有 y ＝x 150×30＋2x ×40，y ′＝－24500x ＋20， 令y ′＝0，得x ＝15，且y ″＝39000x，f ″(15)＞0，所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15150＝10（次）． 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．例11：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之间的距离为x 千米，总费用为y 元， 则CD ＝2240+x ．y ＝500（50－x ）＋70016002+x＝25000－500 x ＋70016002+x ，y ′＝－500＋700 · 21(x 2＋1600)21-· 2 x＝－500＋16007002+x x ，令y ′＝0，解得x ＝3650． 答：水厂距甲距离为50－3650千米时，总费用最省． 【点评】当要求的最大（小）值的变量y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x ，然后再根据条件x 来表示其他变量，并写出y 的函数表达式f （x ）． 三、课堂小结，巩固反思：12．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。