生活中的优化问题举例(教学设计)含答案

3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时）

教学目标：

知识与技能目标：

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。 过程与方法目标：

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。 情感、态度与价值观目标：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题． 教学过程：

一．创设情景、新课引入

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．师生互动，新课讲解

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。 例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要贴海报进行宣传。现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128

x

dm,此时四周空白面积为 128512

()(4)(2)12828,0S x x x x x x

=++-=++>。

求导数，得

'2

512()2S x x =-

。 令'

2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128

816x ==。

当(0,16)x ∈时，'

()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'

()S x >0.

因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

例2（课本P102例2）．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2

0.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，

单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是

()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭

令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去） 当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．

当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm 时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当3r =时，()30f =，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值．

当()0,2r ∈时，()0f r '<，()f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．

例3（课本P102例3）．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． （1） 是不是r 越小，磁盘的存储量越大？

（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R r

m

-。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达

2r

n

π。所以，磁盘总存储量 ()f r =

R r m -×2r n

π2()r R r mn π

=- （1）它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．

()2()2f r R r mn

π

'=

- 令()0f r '=，解得2

R r =

当2R r <

时，()0f r '>；当2

R

r >时，()0f r '<． 因此2

R r =时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为2

24R mn π

例4．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平

均的汽油消耗量，那么w

G s

=

，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题．

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小

时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

解：因为 w w g

t G s s v

t ===

这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g

v

表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直

线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为