量子力学的变分法-量子力学的变分法
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中研究无限维空间上函数的一种方法。
变分法是泛函分析的重要工具之一，可以用于求解最值问题和微分方程等。
在实际应用中，泛函分析的变分法有着广泛的应用。
本文将通过几个实例介绍泛函分析中的变分法在不同领域的应用。
一、弦的振动考虑一根固定在两端的弦的振动问题。
假设弦的形状可以用一个实数函数表示，记为y(x)，其中x表示弦上的位置。
变分法可以用来求解弦的振动形态。
首先，我们需要定义一个能量泛函来描述弦的振动状态。
一个自然的选择是弦的动能和势能的和。
弦的动能正比于线密度，速度的平方和长度元素之积的积分。
弦的势能正比于势能密度和长度元素之积的积分。
因此，我们可以定义弦的能量泛函为：E[y] = ∫(1/2)(ρy'^2 - T y'^2)dx其中，ρ表示线密度，T表示张力，y'表示y关于x的导数。
接下来，我们要求解使得能量泛函E[y]取得最值的函数y(x)。
为了求解这个问题，我们可以考虑函数y(x)的变分δy(x)。
利用变分的概念，我们可以得到能量泛函的变分表示为：δE[y] = dE[y+εδy]/dε其中，ε是一个任意小的实数。
利用分部积分的方法，我们可以将能量泛函的变分表示为：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx由于δy(x)是一个任意的函数，我们可以得到导数的变分表示为：δy' = d(δy)/dx将上述结果带入能量泛函的变分表示中，可以得到：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx = 0由于δy(x)的任意性，我们可以得到使得能量泛函最值的条件为：ρy'' - T y' = 0这就是弦的振动方程，利用这个方程可以求解弦的振动形态。
二、量子力学中的变分法在量子力学中，变分法可以用来求解波函数的本征值和本征函数。
第九章变分法_量子力学
a
a
（9）
其中N为归一化常数，λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 （1）
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按（1）式计算得结果就是基态能量的近似值，即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤： 1、根据实际问题的物理分析，选择含有待定参量α，β，的尝试波函数
，然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
（6）
此式即为（2）式。
1
在看下一道题之前，这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么？
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
变分法在量子力学中的应用研究
变分法在量子力学 中的应用研究
◆杨 玮斌
摘 要 在 处 理物 理 问题 及量 子 力学 问题 时 ，通 常会 应 用到 变
通 过变分 法 ，获得 泛 函最大值 或最小 值。欧拉 一拉 格 朗 日 方 程式属 于变分 法最 重要定理 。通过变 分法 ，可 以获得 相 应 泛 函临界点 ，在 处理量 子力学及 其他物 理 问题 时应用 优 势十 分明显。 在解 决量子 力学 问题 时，解 决微扰 问题最为 广泛 的方 法 是应 用微扰法 及变分 法 。如 应用微扰法 进行量 子力学 问
体系哈密顿算符膏本征值由小到大进行排列，其顺序如下：
，Ｅ１ ， ，来自… Ｅｎ ， … （ １ ）
计算这些本征值对应本征 函数 ，则有 ：
， ， ，…， ， … （ ２）
果 的出现，让人们 认为 量子力学 其普遍 理论似 乎 己经 基本 完成 ，人 类 已经 基本知 晓 了绝 大部分物 理学 及物理 定律 。 解 决 问题 困难及 关键 仅在于如何将这 些定律进行现实应用 。 狄 拉 克认为 ，随着体系 的不 断增加 ，薛 定谔方程 或狄 拉克
小 作 用量 原理 中发挥 着十 分 重要 的作 用 。在 概述 变 分法 的基 础
上 ，对 变 分法 在 量子 力 学物 理领 域 的应 用进 行 研 究与分 析 。实 践证 明 ，在处 理量 子力 学 问题 中，变 分法发 挥着 重要 作用 。 关键词 变 分法 ；量 子力 学 ；最优 控制 中图 分类 号 ：Ｇ ７ １ ２ 文献标 识码 ：Ｂ 文 章编 号 ：１ ６ ７ １ － ４ ８ ９ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ － ０ １ ２ ２ － ０ ３
变分原理和量子力学的关系
变分原理和量子力学的关系在物理学领域中，变分原理和量子力学是两个非常重要的概念。
它们对于我们理解自然界和科学技术的发展都有着至关重要的影响。
在本文中，我们将探讨变分原理和量子力学之间的关系。
一、变分原理和量子力学的概念变分法是数学上的一个工具，通常用于寻找最大或最小值的问题。
在物理学中，变分原理被用于处理作用量的问题。
作用量是一种物理量，用于描述物体在空间和时间上的运动。
它是由拉格朗日力学中的拉格朗日量所定义的，表示为S。
量子力学是物理学的一个分支，研究微观世界中的物体性质。
它的理论基础是通过解决薛定谔方程来描述物体的行为。
二、变分原理和量子力学的关系在物理学中，变分原理和量子力学之间有着密切的联系。
首先，变分法可以用于推导出量子力学中的海森堡矩阵算符。
这个算符是在研究电子在磁场中运动时被提出的，可以用来描述粒子的位置和动量。
此外，变分原理还可以用于解决量子力学中的一个非常重要的问题，即谐振子的能级结构。
谐振子是物理学中最简单的模型之一，可以用来解释许多现象，如分子振动和声波传播。
通过使用变分法，科学家们可以求得谐振子的能级结构，从而推导出其他相关物理量的值。
除此之外，变分原理还可以用于证明量子力学中的线性性质。
线性性是量子力学中的一个重要概念，它指的是当多个量子体系叠加时，其结果也是一个量子体系的概率模型。
这一性质的证明依赖于变分原理。
三、变分原理在量子场论中的应用上述讨论的变分原理和量子力学之间的关系主要是在量子力学的框架下进行的。
但是，变分原理在更高级别的物理学理论中也发挥着重要的作用，如量子场论。
量子场论是物理学中涉及到场的量子化的研究。
在量子场论中，作用量扮演着非常重要的角色，它可以用来描述场的运动方式和场与粒子之间的相互作用。
量子场论在理解基本粒子的物理学中有着至关重要的地位，比如说标准模型就是其一部分。
变分法在量子场论中也有着重要的作用，常被用于推导出一定的方程。
例如，门捷列夫-瓦伦蒂诺方程就是使用变分法推导出的。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于___的变分问题。
它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。
变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。
通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。
变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。
通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。
变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。
通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。
在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分变分是指对函数的微小变化。
在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。
它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：对于给定的泛函 J[y]，寻找函数 y 使得 J[y] 取极值应用变分运算符，通过对函数 y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函 J[y] 的极值函数 y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。
下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。
经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。
变分法在量子力学中的应用
便、 简单 和物理 意 义 明确 的 优 势 。本 文 将 主 要研 究 变 分法在 量子 力学 中 的应 用 。为 与求解 量 子体 系 的 基 态性质 相关 的科研 和教学 活动 提供 一个参 考 。
１ 变 分 法 概 要
得到 的式 子加 上 （ ６ ） 式， 可 得 到
可算 出
Ｅ 一 ＋ （ １ ２ ）
Ｅ为一极 小 的条件 为
ｄ Ｅ
一
８
ｈｚ
一
一
丌。
８
０
（ １ ３ ）
…
可 解 得
＝ ＿
｛
８ ７ ￣ ｚ （
—
（ ） ＋ （ ） ＋ （ ） 。 ］ ＋
变分 法 。
Ｎ 去 Ｖ － ｖ 。 － （ ｗ — Ｖ ）
其 中波 函数满 足归一 化条 件
（ ４ ）
（ ５ ）
ｆ ｘ ｔ ， ｘ Ｉ ｔ ｄ ｒ 一１
把（ ４ ） 式 代入 （ ３ ） 式， 施 行部分 积分得 到
变分 法 的优点 在 于运 用 它 求解 不 受 什 么 限制 ，
只要选取 好 的变分 函 数 ， 就 能很 好 地 得 到体 系 的 基 态性 质 。因此 利 用 变 分 法 来 求 解 量 子 体 系 具 有 方 １ ９ ２ ６年 ，奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 提 出用 一 个 波方 程来描 述微 观粒子 体系 的运 动行 为 ，即薛定 谔 方程口 ］ 。求解 此方 程 ，就 可得 到 体 系 的波 函数 ，那 么体 系的一 切性 质都能 被确 定ｌ ２ ］ 。随后 的考 虑 了相 对论 效应 的狄拉 克方程 的确 立ｌ ３ ］ ， 让 人 们似 乎看 到 “ 现在 量 子力 学 的 普遍 理 论 业 已完 成 ， 作 为 大 部 分 物理 学与全 部化 学 的物 理 定律 业 已完 全 知 晓 ， 而 困 难仅 在于 把 这 些 定 律 确 切 应用 将 导 致 方 程 式 太 繁 杂而 难 以求 解 。 ” 。 正 如 狄拉 克所 说 ，随 着体 系 的增
变分法数值求解
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n (７)
在归一化条件下 * d 1 (8)
对波函数作一微小的变动
n
n
n
,
* n
* n
* n
(9)
则归一化条件变为
(
* n
* n
)(
n
n )d
1
即
[ n* n
n
* n
]d
n
2
d
(10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。
首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足
V(x)=V(-x),这样哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
|
x|
在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简
并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称
态。
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节 点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的 波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。
2
E 2m
a
a
d 2
dx2
dx (7)
得
E()
3 4
112 36 60 2 8 28
2 ma 2
(8)
例题—无限深势阱
变分法求解
3、取极值 E() 0 ( 9)
得两根 1 1.2207500 , 2 8.317712
代入E得
E(1) 1.233719
2 ma 2
1.0000147
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中
变分原理 => 哈密顿方程 S 0
量子力学中的薛定谔方程解析
量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。
其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。
二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。
下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。
它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。
2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。
该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。
3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。
该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。
4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。
通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。
三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。
在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。
在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。
在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
变分原理的物理应用
变分原理的物理应用1. 引言变分原理是数学和物理领域中常用的一种方法，通过对函数的变分进行极值求解，从而得到一些物理问题的解析解。
在物理学中，变分原理被广泛应用于描述自然界中的各种现象和规律，如经典力学、电磁学、量子力学等。
本文将介绍几个物理应用中使用变分原理的实例。
2. 薛定谔方程的推导薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了粒子在势能场中的行为。
薛定谔方程的推导可以利用变分原理。
首先，假设粒子的波函数可由某个波函数的变分得到，然后将波函数代入薛定谔方程，得到一个关于波函数对应的能量的泛函。
通过对这个泛函进行变分，可以得到薛定谔方程中的能量本征值和波函数。
3. 波的传播问题在光学和波动力学领域，我们常常需要研究波的传播和衍射问题。
其中一个经典的例子是费马原理。
费马原理通过变分原理推导出光的传播路径为光程最短路径，即光行程时间最短。
这个原理在光学中有很广泛的应用，例如描述光的折射、反射和透射等现象。
4. 经典力学中的变分原理在经典力学中，变分原理有很多重要的应用，其中一个典型的例子是哈密顿原理。
哈密顿原理通过对作用量的变分得到物体在满足约束条件下的运动方程。
通过最小化作用量，我们可以得到物体的运动轨迹。
这个原理在经典力学中有很广泛的应用，例如描述质点、弹性体和刚体的运动等。
5. 量子力学中的变分原理在量子力学中，变分原理也有广泛的应用，例如变分法求解束缚态和散射态。
束缚态问题中，我们在给定势能下寻找粒子的定态，可以通过变分原理解决。
散射态问题中，我们希望找到经过势阱或势垒后粒子的传播波函数。
这些问题可以通过将波函数代入薛定谔方程，然后通过变分法求解得到。
6. 结论变分原理在物理学中有广泛的应用，可以用于推导方程、求解波动问题和描述粒子的运动等。
通过对物理问题的变分求解，我们可以得到系统的特征和性质，进一步理解自然界中的各种现象和规律。
因此，掌握变分原理的物理应用对于深入理解物理学理论和解决实际问题具有重要意义。
量子力学的变分法
量子力学的变分法-量子力学的变分法解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。
对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。
在处理具体问题时，总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分，这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。
这种方法称为变分法。
若体系的哈密顿量算符为彑，其能量本征值方程为, (1)该体系的能量平均值(2)是波函数φ的泛函。
式中表示对体系全部坐标积分。
可以证明，求彑的本征值方程，等价于求解(3)也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值，即(4)这样，如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕【φ】等于E，如果猜测的φ与ψ略有不同,则唕【φ】必定大于E，因而唕【φ】总是给出唕的一个上限。
当做了多次猜测之后,其中最小的唕一定是这些猜测中最好的，这样就把最小的唕取作E的近似值。
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,…)来实现的，这样唕也就是这些参数的函数。
式中q代表体系的全部坐标，所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,…)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,…)是待定的。
根据变分原理，由唕取极值，则有(5)通过以上方程组可解得(i=1,2,3,…)，于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,…)和E(α嬼, α嬽, α嬿,…)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,…)形式下最好的近似。
它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然，参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。
在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。
如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级，因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
量子力学中的量子力学近似方法
量子力学中的量子力学近似方法量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过数学模型来描述粒子的行为和性质。
然而，在处理复杂问题时，精确求解量子力学方程往往十分困难，因此需要使用近似方法来简化计算。
本文将介绍几种常见的量子力学近似方法。
一、时间无关微扰理论时间无关微扰理论是处理量子力学方程近似解的一种方法。
它将系统的哈密顿量（描述系统能量和相互作用的数学量）写成一个简单的部分（通常为已知的精确解）和一个微小的扰动部分的和。
然后，通过级数展开和微扰理论的方法来计算系统的性质。
这种方法适用于系统的扰动较小的情况，可以在较长时间范围内计算系统的行为。
二、变分法变分法是处理量子力学近似解的一种常用方法。
它通过猜测一个波函数形式，然后利用变分原理来确定波函数的具体形式和相应的能量本征值。
变分法的关键是找到一个合适的波函数猜测，通常可以通过物理直觉或数学技巧来选择。
这种方法适用于系统的基本状态和激发态的计算。
三、准经典近似准经典近似是处理量子力学中粒子运动问题的一种方法。
它基于经典力学的观点，将量子力学中的波函数用粒子的经典轨迹来近似描述。
在准经典近似下，波函数的振幅和相位可以看作是粒子的位置和动量的函数。
这种方法适用于粒子的运动速度远大于普朗克常数的情况。
四、WKB近似WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）近似是处理量子力学中波动方程的一种常用方法。
它通过对波函数进行分离变量的近似，将波函数表示为振幅和相位的乘积形式。
然后，利用波动方程的解析解和边界条件来确定波函数的形式和相应的能量本征值。
WKB近似适用于波函数变化缓慢的情况，例如势垒和势阱问题。
五、平均场理论平均场理论是处理量子力学中多体系统的一种方法。
它假设系统中粒子之间存在平均相互作用，而忽略粒子之间的具体相互作用细节。
通过求解平均场方程，可以得到系统的平均性质，如能量、密度和磁矩等。
平均场理论适用于大量粒子组成的系统，如原子核和凝聚态物质。
变分法求基态能量的步骤课件
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
量子力学变分法
量子力学变分法《量子力学变分法：探索微观世界的奇妙钥匙》嘿，朋友们！今天咱来聊聊量子力学变分法。
这玩意儿可神奇啦，就像是一把能打开微观世界神秘大门的奇妙钥匙。
你看啊，咱这宏观世界里的好多东西，咱一眼就能看明白，什么桌子椅子、花花草草的。
可到了微观世界，那可就完全不一样咯。
那里的粒子们，行为古怪得很呢！它们有时候像个调皮的孩子，这儿蹦跶一下，那儿晃悠一下，让人捉摸不透。
这时候，量子力学变分法就登场啦！它就像是个聪明的小侦探，能帮我们去了解这些微观粒子的秘密。
它不是那种直接冲上去就揭开谜底的急性子，而是通过一些巧妙的办法，慢慢地去接近真相。
比如说吧，我们想知道一个粒子在某个特定情况下的状态。
量子力学变分法就会先假设一个大概的样子，就像我们猜谜语的时候先随便猜一个。
然后呢，根据一些规则和条件，不断地去调整这个假设，让它越来越接近真实的情况。
就好像我们要去一个陌生的地方找一样宝贝，我们不知道具体在哪儿，但我们可以先大致猜一个方向，然后一边走一边根据周围的线索来调整我们的路线，直到找到宝贝为止。
量子力学变分法在很多领域都有大用处呢！比如在化学里，它可以帮我们理解分子的结构和性质。
想想看，那些小小的分子，里面的原子们是怎么排列组合的，可复杂啦！有了变分法，我们就能更好地搞清楚这些。
还有在材料科学里，它能让我们知道不同的材料为什么会有不同的性质。
就像有的材料很坚硬，有的很柔软，这背后都有微观粒子在捣鬼呢！通过变分法，我们就能明白这些微观的秘密是怎么影响宏观的性质的。
我记得我刚开始接触量子力学变分法的时候，那可真是一头雾水啊。
那些公式和概念，就像一团乱麻，让我不知所措。
但慢慢地，我静下心来，一个一个地去理解，就像解开一个一个的小疙瘩。
学习量子力学变分法就像是一场冒险，有时候会遇到困难，但当你终于搞懂了一个难题，那种成就感真是无与伦比。
总之呢，量子力学变分法是个非常重要的工具，它让我们能更好地探索微观世界的奥秘。
解薛定谔方程的数学手段
解薛定谔方程是量子力学中的一个重要任务，它涉及到多种数学手段。
以下是一些常用的解薛定谔方程的数学方法：
1. 分离变量法：这是解薛定谔方程最常用的方法之一。
它将波函数分解为空间部分和时间部分的乘积，从而将一个多维的偏微分方程转化为一系列一维的常微分方程。
这种方法适用于求解具有空间对称性的系统，如无限深势阱、粒子在势场中的运动等。
2. 格林函数法：格林函数法是一种利用积分变换和核函数来解偏微分方程的方法。
它将薛定谔方程中的源项替换为一个分布函数，然后通过积分变换将其转化为一个简单的积分方程，从而求解波函数。
3. 待定系数法：这种方法适用于求解具有特定边界条件的薛定谔方程。
它假设波函数具有特定的形式，然后通过边界条件确定形式中的待定系数，从而得到波函数的解。
4. 数值解法：当薛定谔方程无法通过解析方法求解时，可以采用数值解法。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法、辛算法等。
这些方法通过离散化连续的物理空间，将偏微分方程转化为可求解的代数方程组。
5. 微扰理论：对于受微扰的量子系统，可以采用微扰理论来求解薛定谔方程。
微扰理论通过将波函数和能量展开为微扰的级数，然后逐级求解，得到近似的波函数和能量。
6. 变分法：变分法是一种通过极化能量来求解薛定谔方程的方法。
它将波函数的表达式代入到能量表达式中，然后通过变分原理找到能量最低的波函数，从而得到薛定谔方程的解。
7. 积分变换法：积分变换法，如傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以将薛定谔方程中的时间或空间变量转换为频率变量，从而简化方程的求解。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学十大物理公式
量子力学十大物理公式量子力学是现代物理学中的重要分支，描述微观粒子行为的理论框架。
它通过一系列的数学公式来表达和解释微观世界的现象。
下面将介绍十大量子力学公式，带您一窥量子世界的奥秘。
一、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子体系的时间演化。
它以波函数Ψ为核心，通过偏微分方程形式表达。
薛定谔方程揭示了微观粒子的波粒二象性，以及它们在不同势场下的行为。
二、不确定关系不确定关系是由海森堡提出的，表明了位置和动量、能量和时间等物理量之间的测量不确定性。
不确定关系揭示了量子世界的测量困难和观测的局限性，深刻影响了我们对微观粒子的认识。
三、波粒二象性波粒二象性揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特征。
它由德布罗意关系给出，表明了微观粒子的动量与波长之间的关系。
波粒二象性是量子力学的核心概念之一，对于解释干涉、衍射等现象具有重要意义。
四、量子力学的统计解释量子力学的统计解释是由波尔和狄拉克等提出的一种解释方法，用概率的形式描述微观粒子的行为。
它通过密度矩阵、统计算符等工具，描述了微观粒子的集体行为和统计规律。
五、量子力学的测量理论量子力学的测量理论描述了在测量微观粒子时，测量结果的统计规律和可能的扰动。
它通过投影算符、本征值等概念，给出了测量算符的表达和测量结果的概率分布。
六、量子力学的变分原理量子力学的变分原理是通过变分法求解薛定谔方程的一种方法。
它通过最小化能量泛函，得到精确的波函数和能量本征值。
变分原理在量子化学、固体物理等领域有广泛应用。
七、量子力学的量子力学力学守恒定律量子力学的力学守恒定律描述了微观粒子的动量、角动量和能量等守恒规律。
它通过对应的算符和守恒量的对易关系，给出了守恒定律的数学表达。
八、量子力学的微扰理论量子力学的微扰理论是处理微观粒子在外界扰动下的行为的一种方法。
它通过对薛定谔方程引入微扰项，展开波函数的级数解，得到微扰态的修正。
微扰理论在原子物理、核物理等领域有广泛应用。
理解变分法-概述说明以及解释
理解变分法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学和物理学领域中，变分法是一种重要的数学工具和方法，用于解决极值问题。
变分法通过构建一个泛函，对其中的函数进行变分，来求解函数在给定条件下使得泛函取得极值的问题。
变分法的核心思想是在一个函数空间中寻找函数的极值点，这使得它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
在现代物理学中，变分法被广泛应用于解决复杂的动力学问题。
例如，在经典力学中，变分法可以用于推导出作用量原理，从而得到运动方程。
在量子力学中，变分法则可以用于计算量子态的能量最小值，从而研究原子结构和分子动力学。
在工程领域中，变分法也被广泛应用于结构力学、热传导等领域。
通过变分法，工程师可以求解各种复杂的边值问题，优化结构设计，提高工程效率。
总的来说，变分法是一种强大的数学工具，它在解决各种科学和工程问题中都发挥着重要作用。
本文将通过深入探讨变分法的基本原理及其在物理学和工程领域的应用，来帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织架构和内容安排。
首先，我们将从引言部分入手，包括概述、文章结构和目的。
在引言中，我们将简单介绍变分法的概念和背景，以及本文的目的和重要性。
随后，我们将进入正文部分，主要讨论变分法的基本原理、在物理学中的应用以及在工程领域中的应用。
这一部分将详细阐述变分法的基本概念和数学原理，并举例说明在不同领域中如何应用变分法来解决问题以及取得成就。
最后，我们将进行结论部分的总结，强调变分法在各个领域中的重要性和价值，并展望未来变分法的发展方向和应用前景。
通过本文的阐述，读者将对变分法有更深入的理解，并认识到其在科学研究和工程实践中的重要作用。
1.3 目的本文的主要目的是帮助读者更深入地理解变分法的基本原理以及在物理学和工程领域中的应用。
通过对变分法的概念进行解释和举例，我们将阐明其在不同领域中的重要性和实际应用，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。
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量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。在处理具体问题时，总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分，这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。这种方法称为变分法。
(5)
通过以上方程组可解得(i=1,2,3,...)，于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,...)和 E(α嬼, α嬽, α嬿,...)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,...)形式下最好的近似。它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然，参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。
如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级，因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。通常用这种方法求体系基态能量的近似值。考虑到不同能量的本征函数彼此正交,也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值,其近似性较基态为差。变分法的优点在于运用它求解不受什么限制，但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择，致使结果的任意性大。以上是解束缚定态的变分法。
若体系的哈密顿量算符为彑，其能量本征值方程为
, (1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函。式中表示对体系全部坐标积分。可以证明，
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值，即
(4)
这样，如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕【φ】等于E，如果猜测的φ与ψ 略有不同,则唕【φ】必定大于E，因而唕【φ】总是给出唕的一个上限。当做了多次猜测之后,其中最小的唕一定是这些猜测中最好的，这样就把最小的唕取作E的近似值。应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,...)来实现的，这样唕也就是这些参数的函数。式中q 代表体系的全部坐标，所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,...)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,...)是待定的。根据变分原理，由唕取极值，则有