离散数学课本习题

习题1.1

1、用列举法给出下列集合：

a)小于5的非负整数的集合；

b)10到20之间的素数的集合；

c)不超过65的12之正整数倍数的集合。

2、用命题法给出下列集合：

a)不超过100的自然数的集合；

b)E v和O d；

c)10的整倍数的集合。

3、用归纳定义法给出下列集合：

a)允许有前0的十进制无符号整数的集合；

b)不允许有前0的十进制无符号整数的集合；

c)允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合；

d)不允许有前0的十进制无符号偶数的集合；

e)E v和O d；

f)集合{0，1，4，9，16，25，…}。

4、确定下列集合中哪些是相等的：

A={x|x为偶数且x2为奇数}

B={x|有y∈I使x=2y}

C={1，2，3}

D={0，2，-2，5，-3，4，-4}

E={2x|x∈I}

F={3，3，2，1，2}

G={x|有x∈I且x3-6x2-7x-6=0}

5、确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。

a)∅⊆∅

b)∅∈∅

c)∅{∅}

d)∅{}

e){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}

f){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}

g){a,b}{a,b,{a,b}}

h){a,b}{a,b,{a,b}}

6、设A、B和C为集合。证明或用反例推翻以下的各个命题：

a)若A∉B且B∉C，则A C。

b)若A∈B且B C，则A C。

c)若A⊆B且B C，则A C。

d)若A∈B且B∈C，则A C。

7、若A、B为集合，则A B与A∈B能同时成立吗？请证明你的结论。

8、列举出下列集合中每个集合的所有子集：

a){1，2，3}

b){1，{2，3}}

c){{1，{2，3}}}

d){∅}

e){∅, {∅}}

f){{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}

g){ {∅，2}，{2}}

9、给出下列集合的幂集：

a){a，{b}}

b){1，∅}

c){ x, y, z}

d){∅，a,{a}}

e)℘({∅})

10、设℘ (A)= (B)。证明A=B。

习题1.2

1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。试求下列集合：

a) A ⋂ ~B；

b)(A ⋂ B) ⋃ ~C；

c)~ (A ⋂ B)；

d)~A ⋃ ~B；

e)(A – B) – C；

f) A – (B – C)；

g)(A ⊕ B) ⊕ C；

h)(A ⊕ B)⊕(B⊕ C)

2.设A={n|n∈I+且n<12},B={ n|n∈I+且n≤8},C={2n|n∈I+},D={3n|n∈I+}且

E={ 2n-1|n∈I+ }试用A，B，C，D和E表达下列集合：

a){2，4，6，8}；

b){3，6，9}；

c){10}；

d){n|n为偶数且n>10}；

e){n|n为正偶数且n≤10，或n为奇数且n≥9}。

3.证明：

a)如果A⊆B且C⊆D，则A⋃C⊆B⋃D且A⋂C⊆B⋂D；

b)A⋂(B-A)=∅;

c)A⋃(B-A)=A⋃B;

d) A – (B ⋃ C)= (A – B) ⋂ (A – C)；

e) A – (B ⋂ C)= (A – B) ⋃(A – C)；

f) A – (A – B) = A ⋂ B；

g)A-(B-C)=(A-B)⋃(A⋂C)。

4.证明

a)A=B当且仅当A⊕B=∅；

b)A⊕B= B⊕A；

c)(A⊕B)⊕C= A⊕(B ⊕C)；

d)A⋂(B ⊕C)=(A⋂B)⊕(A⋂C)；

e)(B ⊕C) ⋂A=(B⋂A)⊕(C⋂A)。

5. 判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。

a) 若A ⋂C ⊆B ⋂C 且A ⋂~C ⊆B ⋂~C ，则A ⊆B ； b) 若A ⋂B=A ⋂C 且~A ⋂B=~A ⋂C ，则B=C ； c) 若A ⋃B=A ⋃C ，则B=C; d) 若A ⋂B=A ⋂C ，则B=C; e) A ⊕B=A ⊕C ，则B=C;

f) 若A ⊆B ⋃C ，则A ⊆B 或A ⊆C ； g) 若B ⋂C ⊆A ，则B ⊆A 或C ⊆A 。

6. 给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。

a) (A-B)⋃(A-C)=A; b) (A-B)⋃(A-C)=∅; c) (A-B)⋂(A-C)=A; d) (A-B)⋂(A-C)= A; e) (A-B)⊕(A-C)=A; f) (A-B)⊕(A-C)= ∅; g) A ⋂B=A ⋃B; h) A-B=B; i) A-B=B-A; j) A ⊕B=A ；

k) ℘(A)⋃℘(B)=℘(A ⋃B);

7. 设A ，B 为任意两个集合，证明：

a) ℘(A)⋃℘(B)⊆℘(A ⋃B); b) ℘(A)⋂℘(B)=℘(A ⋂B)。 8. 试求出⋃℘和⋂℘，其中℘为：

a) {{∅}}； b) {∅，{∅}}；

c) {{a},{b},{a,b}}。

9. 设0{|R a a R =∈且1}a ≤，{|i R a a R =∈且1

(1)}a i <+，i I +∈。 证明01

n

i i R R ==

10. 设{|n A x x R =∈且}x n >，n N ∈，试求

n n A ∞=和0

n n A ∞=

11. 设{|x A y y R =∈且0},y x x R ≤≤∈。试求

1

x x R

x A ∈>和

1

x x R x A ∈>。

12. 设0i m i m

A A ∞

∞

===

，0i m i m

A A ∞

∞

===

，我们称A 和A 分别为集合序列012,,,

A A A 的上极

限和下极限，证明：

a) A 为由一切属于无限多个i A 的元素组成的集合； b) A 为由一切属于“几乎所有”的i A 的元素组成的集合。