数列的单调性汇编

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数列的单调性

数列的单调性

(1)一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n,那么这个数列叫作递增数列.

(2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即a n+1

(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫作摆动数列.

(4)如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.

[典例]已知数列{a n}的通项公式为a n=2

2n-9,画出它的图像,并判断增减性.[解]图像如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的.

利用数列的图像判断数列的增减性

数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性.

[典例]已知数列{a n}的通项公式a n=n

n2+1,试判断该数列的增减性.

[解]a n+1-a n=

n+1

(n+1)2+1

n

n2+1

1-n2-n [(n+1)2+1](n2+1)

.

因为n∈N+,所以1-n2-n<0,所以a n+1-a n<0,

即a n +1

应用函数单调性判断数列增减性的方法

(1)作差法,将a n +1-a n 与0进行比较;

(2)作商法,将a n +1a n

与1进行比较(在作商时,要注意a n <0还是 a n >0). 题点一:求数列的最大(小)项

1.已知数列{a n }的通项公式a n =(n +1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N +),试问数列{a n }有没有最大项?若

有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.

解:法一:假设数列{a n }中存在最大项.

∵a n +1-a n =(n +2)⎝⎛⎭⎫1011n +1-(n +1)⎝⎛⎭⎫1011n =⎝⎛⎭⎫1011n ·9-n 11,

当n <9时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ;

当n =9时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ;

当n >9时,a n +1-a n <0,即a n +1

故a 1a 11>a 12…,

所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,且a 9=a 10=101011

9. 法二:假设数列{a n }中有最大项,并设第k 项为最大项,则⎩⎪⎨⎪⎧

a k ≥a k -1,a k ≥a k +1对任意的k ∈N +且k ≥2都成立.

即⎩⎨⎧

(k +1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k -1,(k +1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k +2)⎝⎛⎭⎫1011k +1,

∴⎩⎨⎧

1011(k +1)≥k ,k +1≥1011

(k +2),

解得9≤k ≤10.

又k ∈N +, ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项,

且a 9=a 10=1010119. 题点二:由数列的单调性求参数问题

2.已设数列{a n }的通项公式为:a n =n 2+kn (n ∈N +),若数列{a n }是单调递增数列,求实数k 的取值范围 .

解:法一:∵数列{a n }是单调递增数列,

∴a n +1-a n >0(n ∈N +)恒成立.

又∵a n =n 2+kn (n ∈N +),

∴(n +1)2+k (n +1)-(n 2+kn )>0恒成立.

即2n +1+k >0.

∴k >-(2n +1)(n ∈N +)恒成立.

而n ∈N +时,-(2n +1)的最大值为-3(n =1时),

∴k >-3.即k 的取值范围为(-3,+∞).

法二:结合二次函数y =x 2+kx 的图像,要使{a n }是递增数列,只要a 1-3,

所以k 的取值范围为(-3,+∞).

题点三:数列与函数的综合应用

3.已知函数f (x )=2x -2-

x ,数列{a n }满足f (log 2a n )=-2n .

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)证明数列{a n }是递减数列.

解:(1)∵f (x )=2x -2-

x ,f (log 2a n )=-2n ,

∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,

∴a n -1a n

=-2n , ∴a 2n +2na n -1=0,解得a n =-n ±n 2+1. ∵a n >0,∴a n =n 2+1-n ,n ∈N +.

(2)证明:a n +1a n =(n +1)2+1-(n +1)n 2+1-n

=n 2+1+n (n +1)2+1+(n +1)

<1. ∵a n >0,∴a n +1

∴数列{a n }是递减数列.

函数思想方法在数列问题中的应用

(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n +1的大小来判定的.某些数列的最大项或最小项问题,可以通过研究数列的单调性加以解决.

(2)数列是特殊函数,一定要注意其定义域是N +(或它的有限子集).

10.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n +20.

(1)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值;

(2)数列{a n }有没有最大项?若有,求出最大项,若没有说明理由.

解:(1)因为a n =n 2-21n +20=⎝⎛⎭⎫n -2122-3614,可知对称轴方程为n =212

=10.5.又因n ∈N +,故n =10或n =11时,a n 有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90.

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