数列的单调性汇编

合集下载

21-22版：微专题2　数列的单调性、最值和周期性（步步高）

简单、直接，避免了烦琐的讨论过程.
三、利用函数的单调性确定变量的取值范围
例4 已知在数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N*. (1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围；
解由{an}是递增数列，得an<an＋1即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)，得λ>－(2n＋1)，n∈N*，∴λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞).
因为 44< 2 019<45，
故数列{an}在0<n≤44，n∈N*时递减，在n≥45时递减，
借助 f(x)＝1＋
2 019－ x－ 2
0129018的图象知数列{an}的最大值为
a45，最小值
为 a44. 所以最大项与最小项的项数分别为45,44.
反思感悟
本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项.
解析 x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a， x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b， x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2， ∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x100＝x4＝－a， ∵x1＋x2＋…＋x6＝0， ∴x1＋x2＋…＋x100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.
第二章数列
数列作为一类特殊的函数，很多也具有函数的性质，如单调性、
周期性等，解决这些问题时，可以借鉴函数的解决方法.
1.函数的单调性：主要是利用函数单调性的定义，直接作差或作商(先
判断各项是否同正或同负)比较an与an＋1的大小. 2.求数列中的最大或最小项：若数列先增后减，可用
aann≥≥aann＋－11，(n≥2)，

数列的单调性

练习巩固
n 97 1.若数列{an }满足：an ，n N , 则此数列的 n 98 最大项和最小项分别是（） A.a1 , a30 B.a1 , a9 C.a10 , a30 D.a10 , a9
1 1 2 2.数列{an }满足a1 1, 2 4 ，记数列 {an }前n项和为S n , an an1
类题训练2
设数列{an }的前n项和为S n , 且S n n an , (1)求出数列 {an }的通项公式； (2)设bn a(an 1) (2n 1)(a为常数)，若b3 0, 当且仅当n 3时， | bn | 取到最小值，求 a的取值范围。
课堂小结
数列中单调性问题的处理方法： 1.比较an+1和an
正解：{an }为递增数列
an 1 an (n 1) 2 (n 1) (n 2 n) 2n 1 0对任意正整数 n恒成立 2n 1对任意正整数 n恒成立
3
典例呈现
(13· 宁波模拟改编)数列{bn}的前 n 项和为 Tn，满足 b1＝1，Tn＝n2bn，n∈N*. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设 cn＝ 2 n (nbn－λ)，若数列 cn 是单调递减数列，求实数 λ 的取值范围．
1 为何值时，数列lga 的前 n
n 项和最大？
4-1等差数列{an}满足a7+a8+a9>0, a8+a9<0，则当n为多少时，Sn最大？ 4-2数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S8是
{Sn}中唯一最小项，则数列{an} 的首项a1的取值范围是
_____
数列中单调性问题的处理方法：

第二章数列专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在答案 C解析易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

数列的单调性

数列的单调性(1)一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫作递减数列．(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．(4)如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增减性． [解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[典例] 已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋1，试判断该数列的增减性． [解] a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－n n 2＋1 ＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1). 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0，所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；(2)作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{a n }中存在最大项．∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119. 法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立．即⎩⎨⎧ (k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1，∴⎩⎨⎧1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011(k ＋2)，解得9≤k ≤10.又k ∈N ＋， ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项，且a 9＝a 10＝1010119. 题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立．又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立．即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2即可，即1＋k <4＋2k ，得k >－3，所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }是递减数列．解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ，∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，∴a n －1a n ＝－2n ， ∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．n n (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．。

数列的单调性

10．【2012，安徽理21】数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列．【答案】（I ）详见解析；（II ）当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列．【解析】（I ）必要条件：当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列．充分条件．必要条件：数列{}n x 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=，得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <．（II ）由（I ）得：0C ≥．①当0c =时，10n a a ==，不合题意；②当0c >时，22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<2211010n n n n n x x c x x c x x +-=->⇔<<⇔=≤< 22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-当14c ≤时，1211102n n n n n x x x x x +++<≤⇒+-<⇔-与1n nx x +-同号，由212100n n n n x x c x x x x ++-=>⇒->⇔>21lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞→∞→∞=-++⇔= 当14c >时，存在N ，使121112N N N N N x x x x x +++>⇒+>⇒-与1N N x x +-异号，与数列{}n x 是单调递减数列矛盾，得：当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列．12．【2009，安徽理21】首项为正数的数列{n a }满足*21),3(41N n a a n n ∈+=+．(Ⅰ)证明：若1a 为奇数，则对一切2≥n ，n a 都是奇数； (Ⅱ)若对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 详见试题解析；(Ⅱ) 101a <<或13a >．．【解析】：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得213(1)14k k a a m m ++==-+是奇数．根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数．（II ）（方法一）由11(1)(3)4n n n n a a a a +-=--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >．另一方面，若01,k a <<则113014k a ++<<=；若3k a >，则21333.4k a ++>= 根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<<⇔<<∀∈>⇔>∀∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >．（方法二）由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >．22111133()(),444n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=因为21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号．根据数学归纳法，n N +∀∈，1n n a a +-与21a a -同号．因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >．21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+，由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>，得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a的取值范围为(∪)+∞. …………6分 (Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ；（另解：假设221≥+=+nn n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ， 2≥n a ，可得：4)(max -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立. 证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，kk k a a a λ+=+21.考察函数xx x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=xx f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得kk k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=xx x f λ，则由假设得221>+=+kk k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立，综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ.13．【2008，安徽理21】设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈;（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-．【命题立意】本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题的能力．本小题满分13分．【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）必要性：∵120,1a a c ==-，又∵2[0,1]a ∈，∴011c ≤-≤，即[]0,1c ∈．．充分性：设[]0,1c ∈，对任意*n N ∈用数学归纳法证明[]0,1n a ∈．当1n =时，[]100,1a =∈．假设当n k =时，[]0,1(1)k a k ∈≥，则31111k n a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k n a ca c c +=+-≥-≥，[]10,1k a +∈．由数学归纳法知，[]0,1n a ∈对任意*n N ∈成立． (Ⅱ) 设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立；当2n ≥时，∵311n n a ca c -=+-，∴3211111(1)(1)(1)n n n n n a c a c a a a -----=-=-++．∵103c <<，由（Ⅰ）知[]10,1n a -∈，∴21113n n a a --++≤且10n a -≥，∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=，∴()113,*n n a c n N -≥-∈．(Ⅲ)设103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立；当2n ≥时，由(Ⅱ)知()1130n n a c -≥->，∴21212(1)1[1(3)]12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ---->-=-+>-， ∴222222112212[(3)(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++2[1(3)]2111313n c n n c c-=+->+---．。

数列的单调性与最值

C
6．已知数列{an}的通项 an＝n2(7－n)(n∈N*)，则 an 的
最大值是( )．
A．36
B．40
C．48
D．50
设 f(x)＝x2(7－x)＝－x3＋7x2，当 x>0 时，由 f′
(x)＝－3x2＋14x＝0 得，x＝134.
当 0<x<134时，f′(x)>0，则 f(x)在(0，134)上单调递增；当 x>134时，f′(x)<0，f(x)在(134，＋∞)上单调递减．所以当 x>0 时，f(x)max＝f(134)．又 n∈N*，4<134<5，a4＝48， a5＝50，所以 an 的最大值为 50.
即： f (x)在[1, )单调递增 an f (n)是递增数列
注意：
f (x)在[1, )单调递增 an f (n)是递增数列
例如：如图所示。
an
Hale Waihona Puke an1 2 3 4 5n递增数列
1 2 3 4 5n
递减数列
所以如果用这种方法，在运用函数单调性时，最好要把函数图象画准确，避免出现偏差。
列，所以 Sn＝（－11）－[（1－－（1）－1）n]＝（－12）n－1.
D
2．在数列{an}中，an＝nn－－
2011，则该数列前 100 项 2012
中的最大项与最小项分别是( )．
A．a1，a50
B．a1，a44
C．a45，a44
an＝nn－－
2011＝1＋ 2012
2012－ 2011，
1
1
1
1
(2)若 bn＝n＋a1＋n＋a2＋n＋a3＋…＋n＋an(n∈N，且 n

数列的单调性与有界性例题和知识点总结

数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。

理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。

一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。

如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。

二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。

如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。

三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。

解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。

当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。

令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。

所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。

例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。

解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。

单调性函数知识点总结

单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。

如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。

2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。

3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。

4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。

如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。

二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。

当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。

2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。

当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。

数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性（一）数列的单调性与函数的单调性的区别【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是（二）a n =f (n )的单调性【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2-1)c n +c n-1(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11n n na a a +=+(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；（II ）令n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足()112121212121n nn n b b b a -=-++-+++，求数列{b n }的通项公式；（III ）若3nn n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有333212n n a a a S +++=，其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.（I ）求证：2112n n n a S a ++=+；（II ）求数列{a n }的通项公式；（III ）设()1312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.（三）a n+1=f (a n )的单调性【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数.【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式；（2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********k a k k ++<<+++【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2+x n +c （n *N ∈）（I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0；（II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.二、数列的单调性应用（一）数列的最值问题【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则a k =a k -1，112k k k ab b --+=；若a k -1+b k -1<0，则111,2k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<1124n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.（二）数列中的恒成立问题【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，12111nm S S S +++≤恒成立，试求实数m 的取值范围.【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.【课时作业】1、设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n，n *N ∈. （I ）设b n =S n -3n，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式；（II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列.（I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式；（II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（n *N ∈）的单调性；（ii ）设()11n n nb a --=，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：229n T <.4、已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =221111nn n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .（I ）若a n =2n -1，求S n ；（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1nn nS a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式；（II ）记3nn n a b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n-<成立.6、数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12+a n+1-1=a n 2（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.7、【变式训练】设a 1=1，11n a +=（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.8、首项为正数的数列a n 满足：a n+1=()2134n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。

21-22版：专题突破二　数列的单调性和最大(小)项（步步高）

12345
2.已知数列{an}的通项公式为 an＝94n-1－32n-1(n∈N＋)，则数列{an}
A.有最大项，没有最小项
B.有最小项，没有最大项
√C.既有最大项又有最小项
D.既没有最大项也没有最小项
解析 an＝49n-1－23n-1＝23n-12－23n-1，令23n-1＝t，则 t 是区间(0，1]内的值，而 an＝t2－t＝t－122－14，所以当 n＝1，即t＝1时，an取最大值. 使23n-1 最接近21的 n 的值为数列{an}中的最小项，
12345
5.已知数列{an}中，an＝1＋2n－11＋m.若 a6 为最大项，则实数 m 的取值范围是 _(_－__1_1_，__－__9_)_. 解析根据题意知，y＝1＋ 1 的图象如下：
2x－1＋m
1－m 由 a6 为最大项，知 5＜ 2 ＜6.∴－11＜m＜－9.
12345
本课结束
更多精彩内容请登录：
跟踪训练1 数列{an}的通项公式为an＝－3×2n－2＋2×3n－1，n∈N＋.求证： {an}为递增数列.
二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法： (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.
an≥an＋1， (2)利用
an≥an－1
(n≥2)求数列中的最大项
an≤an＋1， an；利用an≤an－1
三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.
例5 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋. (1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围.
解由{an}是递增数列⇔an<an＋1⇔n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ>－(2n＋1)， n∈N＋⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞).

新高考数学数列经典题型专题提升-第13讲数列性质：单调性(解析版)

第13讲数列性质:单调性参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2021•南通模拟）已知为递减数列，且对于任意正整数，恒成立，恒成立，则的取值范围是．【解答】解：恒成立又由恒成立即又由故答案为：2．（2021秋•秀屿区校级月考）已知数列满足：，是与无关的常数且，若数列是单调递减数列，则的取值范围为．【解答】解：是与无关的常数且，，数列是等差数列，首项为，公差为，，．数列是单调递减数列，对于都成立．对于都成立．令，则是关于的单调递增数列，．．的取值范围为．{}n a n 1n n a a +<2n a n n λ=-+λ3λ<1n n a a +< 2n a n nλ=-+22(1)(1)n n n n λλ∴-+++<-+21n λ<+n N ∈+3λ∴<3λ<{}n a 11a =122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠{}n a k 1(,)2-∞- 122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠∴11222n n n n a a k ++=+∴{}2n n a 11122a =2k ∴1(1)222n n a k n =+-g ∴12[1(1)]n n a n k -=+- {}n a 1112(1)2[1(1)]2[1(1)]0n n n n n a a nk n k n k --+∴-=+-+-=++<*n N ∀∈∴11k n -<+*n N ∀∈1(1min k n -⇔<+1()1f n n =-+()f n n ∴1()2min f n =-12k ∴<-k ∴1(,)2-∞-故答案为．3．（2021•衡水模拟）若数列满足，则称数列为“差递减”数列，若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和满足，则实数的取值范围是．【解答】解：，时，，解得．时，，化为．同理可得：，，．，，，，，解得：．则实数的取值范围是．故答案为：．4．（2021•东湖区校级模拟）若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．【解答】解：当时，，于是有：，所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：．当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，1(,2-∞-{}n a 2132431n n a a a a a a a a +->->->⋯>->⋯{}n a {}n a n a n *()n S n N ∈*2321()n n S a n N λ=+-∈λ12λ>*2321()n n S a n N λ=+-∈ 1n ∴=112321a a λ=+-112a λ=-2n …1233n n n a a a -=-13n n a a -=23(12)a λ=-39(12)a λ=-427(12)a λ=-212(12)a a λ∴-=-326(12)a a λ-=-4318(12)a a λ-=-213243a a a a a a ->->->⋯ 2(12)6(12)18(12)λλλ∴->->-12λ>λ12λ>12λ>{}n a 113a =-1(2)(2)n n n a a n -=+-…||n a λ…n a λ1335[,)332n …11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋯+-+211221(2)[1(2)]1(2)(2)(2)(2)(31(2)3n n n n n a ------=-+-+-+⋯+-+-=---111(2)3n n a +=--113a =-{}n a 111(2)3n n a +=--n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=-=-g {}n a n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=+=+g g {}n a ||n a λ…n a只需有：．故答案为：．5．（2021•辽宁模拟）已知数列满足：，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是．【解答】解：因为，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，即，所以，则，，因为数列是单调递增数列，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．6．（2021秋•渝中区校级月考）设数列满足．（1）若，则；（2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是．1234||||||||a a a a λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪>⎩………⇒23451213121312131213λλλλ⎧-⎪⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⎪⎪+>⎩………⇒131********λλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪<⎩………⇒133533λ<…1335[,)33{}n a 11a =121n n a a +=+1(2)(1)n n b n t a +=-+1b t =-{}n b t 2(,)3-∞121n n a a +=+112(1)n n a a ++=+{1}n a +112a +=1122n n a -+=⋅21n n a =-1(2)(1)(2)2n n n b n t a n t +=-+=-⋅1(12)2n n b n t -=--⋅2n ...{}n b 1(2)2(12)2n n n t n t --⋅>--⋅2n ...21n t >-2n (32)t <21b b >2(12)t t ->-23t <t 2(,)3-∞2(,)3-∞{}n a 2*121()n na a n N +=-∈112a =-2020a =12-{}n a 1a【解答】解：（1）若，则，故数列为常数列，故．（2）解法一：若数列是正项单调递增数列，则（舍去）或，当时，则，故若，则数列是单调递增数列，综上所述，的取值范围是．解法二：若数列是正项单调递增数列，则对于任意，，且，又此时，故或（舍去），综上所述，的取值范围是．二．解答题（共7小题）7．（2021秋•洛阳期中）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意整数恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：，可得，即有，则数列是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得，即有，由可得，112a =-211212n n a a +=-=-12n a =-202012a =-{}n a 21121(21)(1)02n n n n n n n a a a a a a a +-=--=+->⇒<-1n a >1n a >21211n na a +=->11a >{}n a 1a (1,)+∞{}n a 2n …221111(21)(21)2()()0n n n n n n n n a a a a a a a a +----=---=+->10n n a a -->10n n a a -+>22111102101a a a a a ->⇒-->⇒>112a <-1a (1,)+∞{}n a n n S 11a =*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1{}na 111nn a a λλ++…(2)n n …λ*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1140n n n n a a a a --+-=1114(2)n n n a a --=…1{}na 114(1)43n n n a =+-=-143n a n =-111n n a a λλ++…1444143n n n λ-+-g …即，令，则，即有数列为递增数列，当时，取得最小值，且为，可得，解得或．即实数的取值范围为，．8．（2021•内江四模）已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若，求函数的单调区间；（3）若正项数列满足，，证明：数列是递减数列．【解答】解：（1）由题意得，，则　，解得，；（2）由（1）可得，由题意得，，①当时，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在上单调递减；②当时，，则在上单调递增；③当时，令，解得或，所以在和上单调递增；1(43)(41)(2)44n n n n λ-+-……(43)(41)(2)44n n n n n -+=-…ð1(41)(45)04(1)n n n n c n n ++--=>-ð{}n ð2n =4541454λ…0λ<445λ…λ4(,0)[45-∞ )+∞()x f x s ke -=-0x =y x =s k 21()(1)1(0)2x g x mlnx e x m x m -=-+-++>()()()h x g x f x =-{}n a 112a =1()n a n n a e f a +={}n a (0)0f =(0)1f '=01s k k -=⎧⎨=⎩1s =1k =()1x f x e -=-21()(1)(0)2h x mlnx x m x x =+-+>∴()(1)()(1)m x m x h x x m x x--'=+-+=01m <<()0h x '>0x m <<1x <()h x (0,)m (1,)+∞()0h x '<1m x <<()h x (,1)m 1m =()0h x '…()h x (0,)+∞1m >()0h x '>01x <<m x <()h x (0,1)(,)m +∞令，解得，所以在上单调递减；综上：当时，的单调递增区间和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间和，单调递减区间是．（3）证明：正项数列满足，，，数列是递减数列，等价为，即为，即为即，令，是上的增函数，，即，故，是递减数列．9．（2021春•安徽期末）已知数列中，，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的前项和为①当时，求；②若单调递增，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：设，则，，()0h x '<1x m <<()h x (1,)m 01m <<()h x (0,)m (1,)+∞(,1)m 1m =()h x (0,)+∞1m >()h x (0,1)(,)m +∞(1,)m {}n a 112a =1()n a n n a e f a +=∴1()1n na n n a n a a e f a e +-==-{}n a 1n n a a +<1n n a a e e +<1nn a n a a e e-<-1n a n e a >+()1(0)x t x e x x =-->()10(0)x t x e x '=->> ()t x ∴(0,)+∞()(0)0t x t ∴>=1x e x >+1n a n e a >+{}n a ∴{}n a 1(1)a t t =≠-12,1,2n n n a n n a a n n ++⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数2{1}n a +{}n a 2n 2:n S 1t =2n S 2{}n S t 21n n b a =+121b a =+212121a a t =+=+，（1分），（3分）数列是公比为2的等比数列，故数列是等比数列，（4分），，（6分）（2）由（1）得，，，（7分），（8分），，（10分）①当时，；（11分）②单调递增，对且恒成立，（12分）即，设，则，在且单调递减，（14分）12(1)0b t ∴=+≠⋯ 2(1)1212222221(221)1[2()21]12(1)21111n n n n n n n n n n a b a n a n n a b a a a a +++++++-++++=====++++⋯∴{}n b 2{1}n a +⋯∴11122(1)2(1)2n n n n b b t t --==+=+g g g ∴2(1)21n n a t =+-g ⋯221(1)21221n n n a t a n -=+-=+-g ∴121(1)2n n a t n --=+-g ⋯∴12123(1)21n n n a a t n --+=+--g ⋯21234212()()()n n n S a a a a a a -∴=++++⋯++1(3)3(1)(122)(12)3(1)(21)2n n n n t n n t -+=+++⋯+-++⋯+-=+--g g ⋯1t =∴12(3)(3)6(21)32622n n n n n n n S +++=--=⨯--⋯2{}n S ∴12223(1)210n n n S S t n ---=+-->g 2n …*n N ∈⋯113(1)2n n t -++>11,22n n n P n -+=…11210222n n n n n n n n P P +-++--=-=<{}n P ∴2n …*n N ∈⋯，，即，故的取值范围为．（16分）10．（2021春•南昌期末）已知首项为正的数列中，相邻两项不为相反数，且前项和（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列的前项和为，对一切正整数都有成立，求的最大值．【解答】（本小题12分）解：（1）证明：，，，或．又相邻两项不为相反数，，数列为公差为2的等差数列．（2）由或，数列的首项为正，，由（1）得，数列在，上是递增数列．又当时， 232P =∴33(1)2t +>12t >-t 1(,)2-+∞⋯{}n a n 1(5)(7)4n n n S a a =-+{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n n T M …M 1(5)(7)4n n n S a a =-+ 11n n na S S ++∴=-1111(5)(7)(5)(7)44n n n n a a a a ++=-+--+11(2)()0n n n n a a a a ++∴--+=12n n a a +∴-=10n n a a ++=12n n a a +∴-=∴{}n a 11111(5)(7)74S a a a =-+⇒=15a =- {}n a 17a ∴=25n a n =+∴111111()(25)(27)22527n n a a n n n n +==-++++∴1111111111[()()()](27991125272727n T n n n =-+-+⋯+-=-+++∴*{}()n T n N ∈[1)+∞1n =1163T =要使得对于一切正整数都有成立，只要，所以的最大值为．11．（2021•天津一模）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：，，，即．在中，令，得，代入得．，，两式相减，得：，数列的偶数项，，，，，依次构成一个等差数列，且公差为，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，由上式及知：，数列的通项公式是．，∴n n T M …163M …M 163{}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a a 12111(1)(1(1)n a a a --⋯-<n a 2*1()()2n n I S n a n N =+∈ ∴2211111[(1)][]22n n n n n a S S n a n a +++=-=++-+1112122n n a a n +=-++∴11()212n n a a n ++=+*142,n n a a n n N ++=+∈()II 2*1()2n n S n a n N =+∈1n =12a =()I 24a =142n n a a n ++=+ 2146n n a a n ++∴+=+24n n a a +-=∴{}n a 2a 4a 6a ⋯26a ⋯4d =∴n2(1)24(1)222n n n a a d n =+-=+-=n 1n +()I 142422(1)2n n a n a n n n +=+-=+-+=∴{}n a 2n a n =12111()(1)(1(1n III a a a --⋯-<，令，则由知，．，即的值随的增大而减小，时，的最大值为，若存在实数，符合题意，则必有：，它等价于，解得，或因此，存在实数，符合题意，其取值范围为．12．已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：对一切都成立．21211123)(1)(12n a a a a a---⋯-<12111())(1)nf n a a a =--⋯-()II ()0f n >∴12(1)()nf n f n +====1=<(1)()f n f n ∴+<()f n n *n N ∴∈()f n (1)f =a 2232a a ->0>(0a a a +>0a <<a >a ()+∞ {}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a 12111()(1)(1)(1n f n a a a =--⋯-(1)()f n f n +<n N ⨯∈【解答】解：（1）．①．②②①得：；（2）；；又（3）对一切都成立．13．（2017秋•海安市校级月考）首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．【解答】（1）证明：利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数．即时也成立．根据数学归纳法，对任何，都是奇数．（2）解：由，得，于是或．，因为，，所以所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．212n n S n a =+ 2111(1)2n n S n a ++∴=++∴-142n n a a n ++=+142n n a a n ++=+ 112(1)(2)(1)(2)n n n a n a n a +∴-+=--=⋯=--12a =2n a n∴=1111()(1)(1)(1(12462f n n=---⋯-∴(1)1()f n f n +=<(1)()f n f n ∴+<n N ⨯∈{}n a 2*11(3),4n n a a n N +=+∈1a *n N ∀∈n a *n N ∀∈1n n a a +>1a 1︒1a 1n =2︒21k a m =-m 211(3)(1)14k k a a m m +=+=-+1n k =+2n …n a 212134a a a +=>211430a a -+>101a <<13a >22111133()()444n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++-+-=-=10a >2*11(3),4n n a a n N +=+∈n a 1n n a a +-1n n a a --n N +∈1n n a a +>101a <<13a >。

微专题49 利用数列单调性求解相关数列问题

1 ＝(－3)× 2＋7，知
2
2 a3k＋1＝a3ka3k＋2＋λ(a2
－a1)2.所以，数列(*)适合题意．所以 T 的最小值为 3.
上一页
下一页
(2018· 苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn. a2 n＋2 (1)若 Sn＋Sn－1＝ 3 (n∈N*，n≥2)，且 a1＝2. ①求数列{an}的通项解析：由题意可知对任意 n∈N*，数列{bn}单调递减，所以 bn＋1<bn，即
n－1 n 1 1 2 2λ－2 －(n＋1) <2λ－2 －n2，即
＋
n 1 6λ－2
<2n＋1 对任意 n∈N*
恒成立，因为(2n＋3)· 2n 1－(2n＋1)· 2n＝2n· (2n＋5)>0，所以数列{(2n＋
＝0，又 d≠0，所以 λ＝1. (2)将 a1＝1，a2＝2，a3＝4 代入条件，可得 4＝1× 4＋λ，解得 λ＝0，所以 a2 n＝an＋1an－1，所以数列{an}是首项为 1，公比 q＝2 的等比数列，所以 an＝2n 1.欲存在 r∈[3,7]，使得 m· 2n 1≥n－r，即 r≥n－m· 2n 1 对
－－－
上一页
下一页
任意 n∈N 都成立，则 7≥n－m· 2
*
n－1
n－ 7 ，所以 m≥ n－1 对任意 n∈N*都成 2
n－ 7 n－ 6 n－ 7 8－ n 立．令 bn＝ n－1 ，则 bn＋1－bn＝ 2n － n－1 ＝ 2n ，所以当 n>8 时， 2 2 bn＋1<bn；当 n＝8 时，b9＝b8；当 n<8 时，bn＋1>bn.所以 bn 的最大值为 b9 1 1 ＝b8＝128，所以 m 的最小值为128.

高考数学单调性大题知识点

高考数学单调性大题知识点数学是高考中的一门重要科目，而单调性是其中的一个重点知识点。

掌握好单调性的概念和应用方法，对于高考数学的备考至关重要。

本文将围绕高考数学中的单调性知识点展开探讨，帮助读者加深对该知识点的理解和掌握。

一、单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。

常见的单调性包括增函数、减函数和常函数。

1. 增函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，有x(x1)<x(x2)，则称函数x(x)为增函数。

增函数的图像呈现出从左下到右上的单调增加趋势。

2. 减函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，有x(x1)>x(x2)，则称函数x(x)为减函数。

减函数的图像呈现出从左上到右下的单调减少趋势。

3. 常函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，有x(x1)=x(x2)，则称函数x(x)为常函数。

常函数的图像是一条水平直线。

二、单调性的判断方法判断函数的单调性有三种常见的方法，分别是导数法、增减表法和二次导数法。

1. 导数法：给定一个函数x=x(x)，如果它在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么该函数在该区间上就是增函数（或减函数）。

2. 增减表法：通过求函数的一阶导数，并列出该函数在区间内的关键点，然后根据关键点填制增减表，可以直观地判断函数的单调性。

其中，关键点是指函数的极值点、驻点等。

3. 二次导数法：先找出函数的驻点，再求出二阶导数。

对于一阶导数为零的点，通过二阶导数的正负性可以判断该点是极小值点还是极大值点，从而判断函数的单调性。

三、单调性在高考数学中的应用高考数学中，单调性是一个重要的应用点。

以下是几个常见的单调性应用题：1. 函数在某个区间上的单调性可以用来证明不等式。

例如，对于x>0，我们有x^x>1+x，可以通过证明函数x(x)=x^x−(1+x)在x>0的区间上是增函数，进而得到不等式的成立。

证明数列单调性的方法

证明数列单调性的方法证明数列的单调性是数列分析中的一个重要内容。

下面我将介绍三种常用的方法：数学归纳法、导数法和递归法。

首先，我们来讨论数学归纳法。

数学归纳法是一种证明自然数的性质的常用方法。

假设要证明数列a1, a2, ..., an单调递增，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤an。

我们可以通过数学归纳法的步骤来证明。

步骤一：首先证明当n=1时，数列成立。

即证明a1 ≤a2。

步骤二：假设当n=k时，数列成立，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak。

步骤三：证明当n=k+1时，数列也成立。

即证明a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak+1。

由步骤二可知，a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak，再考虑ak+1与ak之间的关系。

由于数列单调递增，我们知道ak+1 ≥ak。

结合步骤二的假设，可以得到a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak+1。

因此，数列单调递增成立。

另一种证明数列单调性的方法是导数法。

导数法适用于数列中的连续函数。

假设数列a1, a2, ..., an中的元素都是连续函数f(x)的取值，且f(x)的导数存在。

我们可以通过求f(x)的导数，来判断数列的单调性。

如果f'(x) > 0，则数列单调递增；如果f'(x) < 0，则数列单调递减。

这是因为，根据导数的定义，f'(x)代表了函数f(x)在x点的变化率。

当导数大于零时，函数增长；当导数小于零时，函数减小。

最后，我们来讨论递归法。

递归法适用于数列中的递归表达式。

假设数列满足如下递归表达式：a1 = c，其中c为常数。

an = f(an-1)。

其中f(x)是一个数值函数。

我们可以通过递归法证明数列的单调性。

首先，我们可以通过计算数列前几项的数值来观察数列的单调性。

然后，我们通过数学归纳法证明数列的单调性。

步骤一：首先证明当n=1时，数列成立。

即证明a1 ≤a2。

步骤二：假设当n=k时，数列成立，即a1 ≤a2 ≤ ... ≤ak。

数列综合--单调性、不等式

数列综合----单调性、不等式1.在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .2、已知等比数列{}n a 的首项114a =，公比14q =，设，数列{}n c 满足n n n c a b =．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和n S ；（Ⅲ）对任意21,2--≤∈*m m c N n n 恒成立，求m 的取值范围．3、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．4、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．5、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1<c n ≤13.6、已知点⎝⎛⎭⎪⎫1，13是函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n是多少？7、已知等比数列{a n}和等差数列{b n}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求使ab n<0.001成立的正整数n的最小值．8.满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是 ( )．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C9．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.10．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为K n，设c n＝S n T nK n，求证：c n＋1>c n(n∈N*)．答案：1、(1)解：由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①－②得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴数列{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .3、解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，解得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．4、解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.5．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①，得a n ＝2S n －1＋1(n≥2，n ∈N *)②， ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1. ∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ， ∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1<0，∴c n ＋1<c n <…<c 1＝13，即c n ＋1<c n ≤13.6．解：(1)∵f(1)＝a ＝13，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又b 1＝c ＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1. ②由①－②得，23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－(2n －1)×13n ＋1＝23－2 n＋1 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n， ∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 2n－1 × 2n＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n>1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112.第Ⅱ卷：提能增分卷7．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q，2＋2d ·2q＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝12，，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－38.(舍)∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，b n ＝2n.(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000，∴2n －2≥10，即n≥6， ∴满足题意的正整数n 的最小值为6.9、(1)解当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ①当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n .(3)证明由(2)得1a n ＝13n －2n . 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n>2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.10、(1)解设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1 a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4.所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝ n ＋3 2n－1 2n ＋1.c n ＋1－c n ＝ n ＋4 2n ＋1－1 2n ＋2－ n ＋3 2n －12n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n＋1>c n(n∈N*)．。

第10讲数列单调性问题(解析版)数列综合讲义

第10讲数列单调性问题一．选择题（共3小题）1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30B ．28C ．26D ．24【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，∴叠加可得21473(16)33n n b b n -=-+，21(24)529n b n b ∴=--+，24n ∴=，n b 最小，故选：D ．2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．108【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为2929172244n =-==-⨯， n 是整数，∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，故选：D ．3．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：132,9a a a a >⎧⎪<⎨⎪><-⎩或，即：23a <<，故选：B ．二．填空题（共4小题）4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ．【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立， 221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列， 10n n a a +∴->，又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++ ∴当1n =时，1n n a a +-最小， 12130n n a a a a λ+∴->-=+>， 3λ∴>-．故答案为：(3,)-+∞．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是6λ>- ．【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立，数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．数列单调递减，6λ∴>-恒成立．故答案为：6λ>-．6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围9(4-，3)2．【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-， 1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-123(1)2n n n λ+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，13(1)()2n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，∴当21n k =-时，2133()22k λ-<；当2n k =时，239()24kλ>--；综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3)2．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是18．【解析】解：由1232n n a a a a n a +++⋯=-，得2n n S n a =-，取1n =，求得11a =；由2n n S n a =-，得112(1)(2)n n S n a n --=--，两式作差得12n n n a a a -=-+，即112(2)(2)2n n a a n --=-，又1210a -=-≠， ∴数列{2}n a -构成以12为公比的等比数列，则1121()2n n a --=-⨯，则12212(2)()2222n n n n n n n b a ----=-=-=，当1n =时，112b =-，当2n =时，20b =，当3n =时，318b =，而当3n 时，11112122(2)2n n nnn b n n b n ++--==--， {}n b ∴中的最大项的值是18．故答案为：18．三．解答题（共11小题）8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ；（Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由已知13n n S n S n++=，且111S a ==，当2n 时， 321121452(1)(2)11216n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋯=⋯=-， 1S 也适合，当2n 时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且1a 也适合， (1)2n n n a +∴=．（Ⅱ）224()(1)n n a b n n==+，设2(1)(1)n nn =-+，当n 为偶数时，1221(1)(1)(1)21n n n nC n n n --+=-+-+=+，12341[5(21)](3)2()()()59(21)22n n n nn n n T C C C C C n -+++=++++⋯+=++⋯+-==，当n 为奇数时，221(1)(2)34(1)22n n nn n n n T T n --+++=+=-+=-，且114T C ==-也适合．综上得()()()234232n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数（Ⅲ）2()n nnna λ=-，使数列{}n 是单调递减数列，则1422()021n n nC n n λ+-=--<++，对*n N ∈都成立，则42()21max n n λ-<++， 4222221(1)(2)3n n n n n n n-==++++++，当1n =或2时，421()213max n n -=++， 13λ∴>．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由已知，得11111()02a a a S ⨯-===，2n n na S ∴=，则有11(1)2n n n a S +++=， 112()(1)n n n n S S n a na ++∴-=+-，即1(1)*n n n a na n N +-=∈， 21(1)n n na n a ++∴=+，两式相加得，122*n n n a a a n N ++=+∈，即211*n n n n a a a a n N +++-=-∈，故数列{}n a 是等差数列．又10a =，2a a =，(1)n a n a ∴=-．（2）若2a =，则2(1)n a n =-，(1)n S n n ∴=-．由21114m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即224(1)(21)43m n ---=， (223)(221)43m n m n ∴+---=．43是质数，223221m n m n +->--，2230m n +->，∴221122343m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得12m =，11n =．（3）由n a b p +，得(1)a n b p -+．若0a <，则1p bn a-+，不合题意，舍去；若0a >，则1p bn a-+．不等式n a b p +成立的最大正整数解为32p -， 32131p bp p a-∴-+<-，即2(31)3a b a p a b -<--，对任意正整数p 都成立．310a ∴-=，解得13a =，此时，2013b b -<-，解得213b <．故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是13a =，213b <．10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值．【解析】解：（1）1(1)3n n n a a n +=++，1(1)3n n n a a n +∴-=+．∴当2n 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+123(1)323n n n n --=+-+⋯+⨯，则1233(1)323n n n a n n -=+-+⋯+⨯，2313112322333332333122n n nn n n n a n n ---∴-=⨯+++⋯+-=+-=+-，213344n n n a -∴=⨯-．当1n =时也成立， 213344n n n a -∴=⨯-．（2）433(21)()044nn n na b n +==->， ∴113(21)()634384(21)()4n n n n n b n b n n ++++==--，由于(63)(84)72n n n +--=-，可得1n =，2，3时，1n n b b +>；当4n 时，1n n b b +<． ∴数列{}n b 中的最大项为4b ，可得4435677()4256b =⨯=． 11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正；（Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由()()()f x f y f x y =+，令0x >，0y =，则()(0)()f x f f x =，当0x >时，有0()1f x <<，(0)1f ∴=．⋯（2分）当0x <时，0x ->，0()1f x ∴<-<，由于()()()(0)1f x f x f x x f -=-== 所以1()10()f x f x =>>-，综上可知，()f x 恒正；⋯（4分）（Ⅱ）设12x x <，则210x x ->，210()1f x x ∴<-< 又由（1）可知1()0f x >所以22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-< 故()f x 在实数集R 上是减函数；⋯（8分）（Ⅲ）由题意113a =，()n a f n =，∴11(1)3a f ==，111(1)()(1)()33n n a f n f n f f n a +=+=== ∴数列{}n a 为以首项113a =，公比为13的等比数列，∴111(),(1)323n n n n a S ==-⋯（12分）由此可知，n S 随着n 的增大而增大，再根据（2）可得()n f S 随着n 的增大而减小，所以数列{}n b 为递减数列，从而存在最大项，其为311111()()()()(1)33b f S f a f f f ======（14分） 12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．【解析】（1）证明：由题可知：123n n a a a a n a +++⋯+=-，⋯①，123111n n a a a a n a +++++⋯+=+-，⋯②，②-①可得121n n a a +-=⋯（3分）；即：111(1)2n n a a +-=-，又111..2a -=-⋯（5分），所以数列{1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列....⋯⋯（4分）（2）解：由（1）可得11()2n n a =-，故22n n n b -=，设数列{}n b 的第r 项最大，则有1121222322rr r r r r r r +---⎧⎪⎪⎨--⎪⎪⎩，∴2(2)122(3)r r r r --⎧⎨--⎩，34r ∴，故数列{}n b 的最大项是341 (8)b b ==⋯（8分）（3）解：由（2）可知{}n b 有最大值是3418b b ==，所以，对任意*n N ∈，都有18n b ，对任意*n N ∈，都有214n b t t +，即214n b t t -成立，∴21184t t -，⋯（11分），解得12t或14t -∴实数t 的取值范围是(-∞，11][42-，)+∞⋯（12分）13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n n a a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ；（Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉；（Ⅲ）求集合M ．【解析】（Ⅰ）解：根据题意可得，2[2M =-，2]，3[2M =-，1]；（Ⅱ）证明：当14c >时，对任意*n N ∈，都有221111()0244n n n n n a a a c a a c c +-=+-=-+-->，所以1n n a a +>，所以数列{}n a 是递增数列，因为111211111()()()()()()444n n n n n a a a a a a a a c c c ++-=-+-+⋯+-+-+-+⋯+-，所以11()4n a n c +-，令08{|}41n min t N t c =∈>-，则010181()()24414n a n c c c +->-=-，所以01n c M +∉，所以存在正整数01n =+，使得c M ∉；()III 解：由题意得，对任意*n N ∈，都有1n n M M +⊆且n M M ⊆．由（Ⅱ）可得，当14c >时，存在正整数，使得c M ∉，所以c M ∉，所以若c M ∈，则14c，又因为3[2M M ⊆=-，1]，所以若c M ∈，则2c -，所以若c M ∈，则124c-，即1[2,]4M ⊆-．下面证明1[2,]4M -⊆．①当104c时，对任意*n N ∈，都有0n a ．下证对任意*n N ∈，12n a <．假设存在正整数，使得12a ．令集合*1{|}2S N a =∈，则非空集合S 存在最小数0s ．因为211042a c=<，所以02s >．因为01s S -∈/，所以01102s a -<．所以00211142s s a a c c-=+<+，与012s a 矛盾．所以对任意*n N ∈，102n a <．所以当104c时，||2n a ． ②当20c -<时，220c c +．下证对任意*n N ∈，||||n a c ．假设存在正整数，使得||||a c >．令集合*{|||||}T N a c =∈>，则非空集合T 存在最小数0t ．因为2a c =，所以2||||a c ，所以02t >．因为01t T -∈/，所以01||||t a c -．00221t t a a c c c c -=++-，且0021t t a a c c -=+，所以0||||t a c ，与0||||t a c >矛盾．所以当20c -<时，||||2n a c ．所以当1[2,]4c ∈-时，对任意*n N ∈，都有||2n a ．所以c M ∈，即1[2,]4M -⊆．因为1[2,]4M ⊆-，且1[2,]4M -⊆，所以1{|2}4M c c=-． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围．【解析】（Ⅰ）解：2n n S a a =+，当2n 时，112n n S a a --=+，两式作差得，1122n n n n n a S S a a --=-=-，12(2)n n a a n -∴=，当1n =时，1112a S a a ==+，则10a a =-≠，∴数列{}n a 是等比数列，10a a =-≠，2q =． ∴1122n n n a a a --=-⨯=-；（Ⅱ）①证明，3n n n T a =+，若1a =，则132n n n T -=-，当2n 时，111323323n n n n n n T ---=->-=⨯， 111324T =<；当2n 时，21123111111112232323n n T T T T -+++⋯+<+++⋯+⨯⨯⨯11(1)13133(1)1243413n n ⨯-=⨯=-<-，综上，123111134n T T T T +++⋯+<； ②解：123n n n T a -=-⨯+，113b T a ==-，当2n 时，1121213232232n n n n n n n n n b T T a a a ------=-=-⨯-+⨯=⨯-⨯，112121(232)(232)432n n n n n n n n b b a a a -----+-=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-⨯，由1214320n n n n b b a --+-=⨯-⨯>，得12243312()(2)22n n n a n ---⨯<=⨯，当2n 时，函数23()12()2n f n -=⨯在2n =时取得最小值为12，又2123(3)3b b a a -=⨯---=，12a ∴<．∴数列{}n b 为递增数列时，a 的范围为(,12)-∞．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}nb 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．【解析】解：（1）证明：因为112n n n b b ++⋅=，所以2122n n n b b +++⋅=，所以21211222n n n n n n b b b b +++++⋅==⋅，所以数列{}n b 是“类等比数列”．（2）由已知得2112,2b b b b =⋅=，故24b b=．结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以b ，4b 为首项，且公比皆为2的等比数例．故12222,42,n n n b n b n b--⎧⋅⎪⎪=⎨⎪⋅⎪⎩为奇数为偶数，*()n N ∈．（3）若{}n b 是单调递增数列，则满足21221b b b -+<<，即114222b b b --⋅<⋅<⋅，即42b b b<<， 2b <．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．【解析】解：（1）由已知，得112a a S ==， *1(21)(,2)22n n n a a a S S n an n N n -=-=-=-∈⋯（3分）又*1(n n a a a n N --=∈，2)n ⋯（2分）所以，数列{}n a 为公差为a 的等差数列．⋯（1分）（2）由*1(n n a a a n N --=∈，2)n 得当0a >时，数列{}n a 为递增数列；⋯（2分）当0a =时，数列{}n a 为常数列；⋯（2分）当0a <时，数列{}n a 为递减数列．⋯（2分）17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =．（1）求证：对任意*n N ∈，1n a <；（2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？【解析】（1）证明：由题意，可知22222111()1111n n n a f n n n n +-====-+++， *n N ∈，212n ∴+，则211012n <+， 211021n ∴--<+，则2111121n -<+， ∴对任意*n N ∈，都有1n a <恒成立，故命题得证．（2）由题意，可知1211(1)1n a n +=-++，则122111(1)(1)11n n a a n n +-=---+++ 22111(1)1n n =-+++ 2222(1)11(1)[(1)1]n n n n ++--=+++ 2221(1)[(1)1]n n n +=+++， *n N ∈，∴22210(1)[(1)1]n n n +>+++，即10n n a a +->，∴数列{}n a 是递增数列．18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】解：（1）因为{}n a 是递增数列，所以n n l n a a p +-=．因为11a =，1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+，则322133a a a a -=-，即230p P -=，解得13p =或0p =．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =．（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，所以212221()()0n n n n a a a a +--+->．因为2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．所以2210n n a a -->，因此221221211(1)()22nn n n n a a -----==．因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，所以21221221(1)()22n n n n na a ++--=-=．所以11(1)2n n n na a ++--=．于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋯+-，121111()111(1)41(1)2111222233212n n n n n -------=+=+-+⋯+=++，所以数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+．（3）11()()2n n n n c n a a n +=-=--，所以121111()2()()222n n T n =-⨯--⨯--⋯--，两边同乘12-可得： 23111111()2()()2222n n T n +-=-⨯--⨯--⋯--，两式相减可以得到：221()()9922n n n T =-+-．。

数列单调性(教师)

数列的单调性1、设1271=a a a ≤≤≤，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________2、数列{}n a 满足172-+=n n a n λ（λ为实常数，*N n ∈），最大项为8a ，最小项为9a ，则实数λ的取值范围为__________. 172λ-<3、已知函数()()()56(4)462x a x f x ax x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 . ()4,84、数列{}n a 的通项公式为k n k n a n 2-+-=，若对任意正整数n ，43a a a n =≥均成立，则实数k 的取值范围是______________. [2,3]5、设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，数列{}*()()n f x n N ∈是首项为4()f a ，公差为2的等差数列，又()()n n g n x f x =，数列()g n 是递减数列，则a 的取值范围是________. 0<a <636、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，若集合M ＝{}n | n ()n ＋1≥t ()a n ＋1，n ∈N *中有3个元素，则实数t 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤1，54 解析因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2()a n ＋1，即数列{a n ＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，所以n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，化简可得t ≤n (n ＋1)2n，记f (n )＝n (n ＋1)2n ，f ′(n )＝(2n ＋1)2n －(n 2＋n )2n ln 2(2n )2＝2n ＋1－(n 2＋n )ln 22n ，当n ≥4时，f ′(n )<0，此时f (n )是单调递减的；因为f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32，f (4)＝54，当n ≥5时，f (n )<54 ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫n | n ()n ＋1≥t ()a n ＋1，n ∈N *中有3个元素，所以这三个元素只能是2,3,4，所以1<t ≤54，故答案为1<t ≤54.7、设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ；若122n n T n n kn ⎡⎤⎛⎫+-≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．因为T n (nb n ＋n －2)≤kn 对n ∈N *恒成立，所以T n (b n ＋n －2n )≤k 对n ∈N *恒成立，即1n ＋1·(12)n＋n －2n n ＋≤k 对n ∈N *恒成立．设f (n )＝1n ＋1·(12)n ，则f (n ＋1)＝1n ＋2·(12)n ＋1．因为1n ＋1＞1n ＋2＞0，(12)n ＞(12)n ＋1＞0，所以f (n )＞f (n ＋1)．所以当n ∈N *时，f (n )单调递减． ……………………………………11分设g (n )＝n －2n n ＋，则g (n ＋1)＝n －1n ＋n ＋，g (n ＋1)－g (n )＝4－nn n ＋n ＋．所以当1≤n ＜4时，g (n )单调递增；g (4)＝g (5)；当n ≥5时，g (n )单调递减． ……………………………………14分设L (n )＝f (n )＋g (n )，则L (1)＜L (2)＜L (3)，L (3)＞L (4)＞L (5)＞L (6)＞…．所以L (3)最大，且L (3)＝1196．所以实数k 的取值范围为[1196，＋∞)．…………………………………16分8、已知数列}{n a 的通项公式为1n a n=，若对于一切1>n 的自然数，不等式 32)1(log 121...221+->+++++a a a a a n n n 恒成立,求实数a 的取值范围.解：122111122n n n a a a n n n++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++ 令122n n n n b a a a ++=++⋅⋅⋅+，∴12322n n n n b a a a ++++=++⋅⋅⋅+ ∴1222111111222112(21)(1)n n n n n b b a a a n n n n n ++++-=+-=+-=+++++∴1,n n N ∀>∈，10n n b b +->恒成立； ∴数列{}n b 对2n ≥，n N ∈上单调递增． ∴min 234117()3412n b b a a ==+=+=；∴由题意可知min 12log (1)()123a n ab -+<∴log (1)1a a -<-又1a >；∴101a a<-<； ∴112a +<<9、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32·n na b ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．解 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ，得a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N *)． (2)由a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32·n n a b ，得b n ＝1a n32log a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫23n －132log ⎝⎛⎭⎫32n ＝n ·⎝⎛⎭⎫23n －1，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫23n －n ·⎝⎛⎭⎫23n －1＝2n －13n (2－n )，所以b n <b n －1<…<b 4<b 3＝b 2>b 1，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.即t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.10、已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *．确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．解：由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列，因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)，解得94＜a ＜154．所以M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．11、数列{a n }满足：a 1 = 5，a n +1－a n = 2(a n +1＋a n )＋15，数列{b n }的前n 项和为S n 满足：S n = 2(1－b n )．（1）证明：数列{a n +1－a n }是一个等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式，并求出数列{a n b n }的最大项．解：（1）令n = 1得a 2－5 =2(a 2＋5)＋15，解得a 2 = 12，由已知得(a n +1－a n )2 = 2(a n +1＋a n )＋15 ① (a n +2－a n +1)2 = 2(a n +2＋a n +1)＋15 ②将②－①得(a n +2－a n )(a n +2－2a n +1＋a n ) = 2(a n +2－a n )，由于数列{a n }单调递增，所以a n +2－a n ≠0，于是 a n +2－2a n +1＋a n = 2，即(a n +2－a n +1)－(a n +1－a n ) = 2，所以{a n +1－a n }是首项为7，公差为2的等差数列，于是 a n +1－a n = 7＋2(n －1) = 2n ＋5，所以a n = (a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1= (2n ＋3)＋(2n ＋1)＋…＋7＋5 = n (n ＋4)．（2）在 S n = 2(1－b n )中令n = 1得b 1 = 2(1－b 1)，解得b 1 = 23，因为S n = 2(1－b n )，S n +1 = 2(1－b n +1)，相减得b n +1 = －2b n +1＋2b n ，即3b n +1 = 2b n ，所以{b n }是首项和公比均为23的等比数列，所以b n = (23)n ．从而a n b n = n (n ＋4)(23)n ．设数列{a n b n }的最大项为a k b k ，则有k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k +1，且k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k -1，所以k 2≥10，且k 2－2k －9≤0，因为k 是自然数，解得k = 4．所以数列{a n b n }的最大项为a 4b 4 =51281．12、已知数列{a n }中，a 1＝a (a ≠1且a ≠－3)，a 2＝3，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)． (1)求{a n ＋1＋a n }和{a n ＋1－3a n }的通项公式； (2)若数列{a n }单调递增，求a 的取值范围．解 (1)a 2＋a 1＝3＋a ，a 2－3a 1＝3－3a ，由a n ＝2a n －1＋3a n －2，得 a n ＋a n －1＝3(a n －1＋a n －2)， a n －3a n －1＝－(a n －1－3a n －2)，所以a n ＋1＋a n ＝3n －1(a 1＋a 2)＝(a ＋3)3n －1， a n ＋1－3a n ＝(－1)n －1(3－3a )． (2)由以上两式得a n ＝14[(a ＋3)3n －1－(－1)n －1(3－3a )]，a n ＋1－a n ＝12[(a ＋3)3n －1＋(－1)n －1(3－3a )]，当n 为奇数时，(a ＋3)3n －1＋(－1)n －1(3－3a )＝(3n －1－3)a ＋3n ＋3，所以a n ＋1－a n >0，即(3n －1－3)a ＋3n ＋3>0，当n ＝1时，a <3，当n ≥3时，a >－3n ＋33n －1－3＝－3－123n －1－3关于n 递增，所以－3≤a <3. 当n 为偶数时，(a ＋3)3n －1＋(－1)n －1(3－3a )＝(3n －1＋3)a ＋3n －3，所以a n ＋1－a n >0，所以a >－3n －3(3n －1＋3)＝123n －1＋3－3关于n 递减，所以a >－1，综上 a ∈(－1,1)∪(1,3)．13、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）．（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥），两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =，所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立，所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分（2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯，所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减，所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分/ 14、已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恰有一个公共点P ，l 与圆x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于坐标原点O 对称．若当k ＝－12时，△QAB 的面积取到最大值a 2，求椭圆的离心率．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2(m 2－b 2)＝0，则Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0，化简整理，得m 2＝a 2k 2＋b 2.因为点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故△QAB 的面积是△OAB 的面积的两倍．所以当k ＝－12时，△OAB 的面积取到最大值a 22，此时OA ⊥OB ，从而原点O 到直线l 的距离d ＝a2，又d ＝|m |k 2＋1，故m 2k 2＋1＝a 22. 再由(1)，得a 2k 2＋b 2k 2＋1＝a 22，则k 2＝1－2b 2a 2.又k ＝－12，故k 2＝1－2b 2a 2＝14，即b 2a 2＝38，从而e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝58，即e ＝104.15、如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G .为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、EPDA两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA CB =，记道路CA 、CB 长之和为L .（1）①设ACO θ∠=，求出L 关于θ的函数关系式()L θ； ②设2AB x =米，求出L 关于x 的函数关系式()L x . （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.解：（1）①在Rt CDO ∆中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=，所以2020sin CG θ=+ 在Rt AGC ∆中20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===， ()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②设AC y =，则在Rt AGC ∆中CG =，由Rt CDO ∆与Rt AGC ∆相似得，CO ODCA AG=,即20x=，即2020x y-=，即()20+x y =，即=即()()2400+x y x x y -=，化简得32400400x x CA y x +==-，()322800=2400x xL x CA x +=-, ()20,x ∈+∞ （2）()()401+sin 4040sin =2=sin cos sin cos L AC θθθθθθθ+=令()=0L θ'，得sin θ.令0sin =θ当0(0,)θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减；当0(,)2πθθ∈时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当sin θ时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少。

微专题49利用数列单调性求解相关数列问题

微专题49 利用数列单调性求解相关数列问题例题：数列{a n}的通项公式a n＝n2＋λn(n∈N*)，若数列{a n}为递增数列，求实数λ的取值范围．变式1已知数列{a n}，a n＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，且a3数列{a n}的最小项，求实数λ的取值范围．变式2已知数列{b n }满足b n ＝2λ(－12)n －1－n 2，若数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围．串讲1已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )>mm ＋2恒成立．串讲2在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝3a n＋2n－1.(1)求证：数列{a n＋n}为等比数列；(2)记b n＝a n＋(1－λ)n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．(2018·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n＝2，且n∈N，λ为常数．(1)若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；(2)若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·a n≥n－r0对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．(2018·苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＋S n －1＝a n 2＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.①求数列{a n }的通项公式；②若S n ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2)数列{a n }是公比为q (q >0，q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）nT kn为定值，求首项a 1的值．答案：(1)①a n ＝3n －1，②⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516，＋∞；*(2)q .解析：(1)①当n ≥2时，由S n ＋S n －1＝a n 2＋23，(*)，则S n ＋1＋S n ＝a n ＋12＋23，(**)1分(**)－(*)得a n ＋1＋a n ＝13(a n ＋12－a n 2)，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2，3分当n ＝2时，由(*)知a 1＋a 2＋a 1＝a 22＋23，即a 22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍去)，所以a 2－a 1＝3，即数列{a n }为等差数列，且首项a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.4分②由①知，a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n 2＋n2，由题意可得λ≥S n2n ＋1＝3n 2＋n2n ＋2对一切n ∈N *恒成立，5分记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －42n ＋2，n ≥2.当n >4时，c n <c n －1，当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝12，所以当n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值1516，7分所以实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516，＋∞.8分(2)由题意，设a n ＝a 1q n －1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2……a n ＝10T n ，两边取常用对数，T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n .9分令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{b n }是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列，11分若T （k ＋1）n T kn 为定值，令T （k ＋1）nT kn ＝μ，则（k ＋1）n lg a 1＋（k ＋1）n [（k ＋1）n －1]2lg qkn lg a 1＋kn （kn －1）2lg q＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a 12q lg q ＝0对n ∈N *恒成立，因为q >0，q ≠1，问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a 12＝q .将k ＋1k ＝μ代入(k ＋1)－μk＝0，解得μ＝0或μ＝1.13分因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 12＝q ，又a n >0，故a 1＝q .14分。

数列的单调性与范围专题复习

数列的单调性与范围专题复习常见单调性或范围的判断的方法：作差若已知a n+1=f(a n ),作差有两种形式 1.a n+1-a n = f(a n )-a n ,2. a n+1-a n = f(a n )-f(a n-1) 判断时有直接与0比较，或利用递推关系例1.已知已知数列｛a n ｝满足：a 1=13，a n+1=2a n (1-a n ), (n ∈N*) (1) 求证13 ≤a n <12(2) 设S n 为数列a n 的前n 项和，求证4S n ≥2n-1+13n例2. 已知数列｛a n ｝满足：a 1=12 ,a n+1=a n 22016+a n (n ∈N*) (1)求证：a n+1>a n (2)求证：a 2017<1练习1.已知｛a n ｝, ｛b n ｝,a 0=1,a n+1=a n 1+a n 2,求证a n+1<a n练习2..设正数列｛a n ｝满足： n(n-1)a n =a n-12+n(n-1)a n-1 判断数列的单调性例3..在数列｛a n ｝中，已知a 1=13 ,a n+1=2a n 2a n 2+1 ，求a 2的值，并证明a n >a n+1例3. 已知数列｛a n ｝满足：a 1=1,a n+1=18a n 2+m (1)若数列｛a n ｝是常数列，求m 的值(2)当m>1,求证:a n <a n+1;练习3..a 1=1,a n+1=14a n 2+p （1）若数列｛a n ｝为常数列，求p 的值（2）当p>1,求证a n <a n+1例4.设数列｛a n ｝满足a n+1=a n 2-a n +1, 当0≤a 1≤1时，求证0≤a n ≤1例5.已知数列｛a n ｝中，a 1=4,a n+1=6+a n 2求证：a n >a n+1;练习5. 已知数列｛a n ｝满足：a 1=1, a n+1=6+a n（1）证明：a n <a n+1(2)证明：若1≤a n ≤3, 此题为练习练习6.已知数列｛a n ｝满足a n >0,a 1=2,且(n+1)a n+12=na n 2+a n 证明：a n >1例6. 已知数列｛a n ｝满足：a 1=12 ，a n =a n-1+a n-12+4a n-1 2(1)求证a n ≥a n-1+12练习7.已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．求证1n n a a +<；练习8.已知数列｛a n ｝满足：a 1=1,a n+1=n 2a n n 2+1(1)证明：a n+1<a n(2)证明: a i a 2 +a 2a 3 +…+a n a n+1 ≤n+2-1n(3)证明:a n >14例7.设正数列｛a n ｝满足：a n 2+a n =3a n+12+2a n+1,a 1=1(1) 求a 2的值(2) 证明：对任意的n,a n ≤2a n+1。

数列的单调性汇编

21-22版：微专题2 数列的单调性、最值和周期性（步步高）

数列的单调性

第二章 数列 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

数列的单调性

数列的单调性

数列的单调性与最值

数列的单调性与有界性例题和知识点总结

单调性函数知识点总结

数列的单调性专题

21-22版：专题突破二 数列的单调性和最大(小)项（步步高）

新高考数学数列经典题型专题提升-第13讲 数列性质：单调性(解析版)

微专题49 利用数列单调性求解相关数列问题

高考数学单调性大题知识点

证明数列单调性的方法

数列综合--单调性、不等式

第10讲 数列单调性问题(解析版)数列综合讲义

数列单调性(教师)

微专题49利用数列单调性求解相关数列问题

数列的单调性与范围专题复习

21-22版：微专题2　数列的单调性、最值和周期性（步步高）

第二章数列专题突破二数列的单调性和最大(小)项

21-22版：专题突破二　数列的单调性和最大(小)项（步步高）

新高考数学数列经典题型专题提升-第13讲数列性质：单调性(解析版)

第10讲数列单调性问题(解析版)数列综合讲义