数列的单调性汇编
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数列的单调性
数列的单调性
(1)一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n,那么这个数列叫作递增数列.
(2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即a n+1 (3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫作摆动数列. (4)如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列. [典例]已知数列{a n}的通项公式为a n=2 2n-9,画出它的图像,并判断增减性.[解]图像如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的. 利用数列的图像判断数列的增减性 数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性. [典例]已知数列{a n}的通项公式a n=n n2+1,试判断该数列的增减性. [解]a n+1-a n= n+1 (n+1)2+1 - n n2+1 = 1-n2-n [(n+1)2+1](n2+1) . 因为n∈N+,所以1-n2-n<0,所以a n+1-a n<0, 即a n +1 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法,将a n +1-a n 与0进行比较; (2)作商法,将a n +1a n 与1进行比较(在作商时,要注意a n <0还是 a n >0). 题点一:求数列的最大(小)项 1.已知数列{a n }的通项公式a n =(n +1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N +),试问数列{a n }有没有最大项?若 有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由. 解:法一:假设数列{a n }中存在最大项. ∵a n +1-a n =(n +2)⎝⎛⎭⎫1011n +1-(n +1)⎝⎛⎭⎫1011n =⎝⎛⎭⎫1011n ·9-n 11, 当n <9时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =9时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >9时,a n +1-a n <0,即a n +1 故a 1a 11>a 12…, 所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,且a 9=a 10=101011 9. 法二:假设数列{a n }中有最大项,并设第k 项为最大项,则⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k -1,a k ≥a k +1对任意的k ∈N +且k ≥2都成立. 即⎩⎨⎧ (k +1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k -1,(k +1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k +2)⎝⎛⎭⎫1011k +1, ∴⎩⎨⎧ 1011(k +1)≥k ,k +1≥1011 (k +2), 解得9≤k ≤10. 又k ∈N +, ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项, 且a 9=a 10=1010119. 题点二:由数列的单调性求参数问题 2.已设数列{a n }的通项公式为:a n =n 2+kn (n ∈N +),若数列{a n }是单调递增数列,求实数k 的取值范围 . 解:法一:∵数列{a n }是单调递增数列, ∴a n +1-a n >0(n ∈N +)恒成立. 又∵a n =n 2+kn (n ∈N +), ∴(n +1)2+k (n +1)-(n 2+kn )>0恒成立. 即2n +1+k >0. ∴k >-(2n +1)(n ∈N +)恒成立. 而n ∈N +时,-(2n +1)的最大值为-3(n =1时), ∴k >-3.即k 的取值范围为(-3,+∞). 法二:结合二次函数y =x 2+kx 的图像,要使{a n }是递增数列,只要a 1-3, 所以k 的取值范围为(-3,+∞). 题点三:数列与函数的综合应用 3.已知函数f (x )=2x -2- x ,数列{a n }满足f (log 2a n )=-2n . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明数列{a n }是递减数列. 解:(1)∵f (x )=2x -2- x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n , ∴a n -1a n =-2n , ∴a 2n +2na n -1=0,解得a n =-n ±n 2+1. ∵a n >0,∴a n =n 2+1-n ,n ∈N +. (2)证明:a n +1a n =(n +1)2+1-(n +1)n 2+1-n =n 2+1+n (n +1)2+1+(n +1)