特殊四边形中的动点问题

特殊四边形中的动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想

1、如图，在四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、边上的中点，阅读下列材料，回答问题：

⑴连结AC BD 、，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH 是 . ⑵对角线AC BD 、满足条件

时，四边形EFGH 是矩形. ⑶对角线AC BD 、满足条件 时，四边形EFGH 是菱形. ⑷对角线AC BD 、满足条件 时，四边形EFGH 是正方形.

N O

H

G

F

E

A

B

D

2、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ︒

∠=，14,18,21AB cm AD cm BC cm ===，点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以 2 cm/秒的速度移动，如果,P Q 分别从

,A C 同时出发，设移动时间为t 秒.当t = 时，四边形CDPQ 是平行四边形；当t = 时，四边

形CDPQ 是等腰梯形.

3、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且1DM =，N 为对角线AC 上任意一点，则DN MN +的最小值为

4、在△ABC 中，90ACB ︒

∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE AD BE =+； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

C B A E D

图1

N M

A

B C

D E M N 图2 A C B E D N M 图3

5、如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

6、在矩形

ABCD 中，204AB cm BC cm ==，，点P 从A 开始沿折线A B C D →→→以4/cm s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度移动，如果点P Q 、分别从A C 、同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s ，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？

7、如图，梯形OABC 中, O 为直角坐标系的原点, A B C 、、的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）点P Q 、同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC CB 、以每秒2个单位向终点B 运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 ⑴设从出发起运动了x 秒，且 2.5x >时，Q 点的坐标； ⑵当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形？ ⑶四边形OPQC 能否成为等腰梯形？说明理由。

⑷设四边形OPQC 的面积为y ,求出当 2.5x >时y 与x 的函数关系式；并求出y 的最大值；

C

O

A(14,0)

x

②A D C B Q

P A B C D ①F O M N E

A B

C

8、如图（1），小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：“在正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上一点，且EAD FAE ∠=∠，那么AE EF ⊥.”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“AE EF ⊥”的结论. 你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由.

（1）

（2） （3）

（4）

8、操作：将一把三角尺放中正方形ABCD 中，并使它的直角顶点F 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：

①当点Q 在DC 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论；

②当点Q 在DC 的延长线上时，①中你观察到的结论还成立吗？说明理由.

10、如图所示，在ΔABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F . ①试说明OE OF =；

②当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请简要说明理由; ③当点O 运动时，四边形AECF 有可能是正方形吗？请简要说明理由.

D E

D E F

F A B

C

D E F