数值计算方法ch2—2.2
ch2-2 收敛数列的性质
原式 lim
n
am n
mk
am 1n a1n a0 n bk bk 1n 1 b1n1 k b0 n k
m 1 k
1 k
k
am , k m; bm 0, k m.
例4 解
an , 其中 a 1. 求 lim n n a 1
即有 | xn || a | 1.
记 M max{ x1 , , xN ,| a | 1}, 则对一切正整数n,皆有 xn M , 故 xn 有界.
注：有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如，
数列{(-1) }有界，但它并不收敛（看上节例6）.
n
推论:无界数列必定发散.
当n N 2时, bn b .
取N max{N1 , N 2 }, 则当n N时上述两不等式同时成立，从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2
lim(an bn ) a b.
n
2. anbn ab (an a)bn a(bn b) (an a) bn a bn b .
收敛数列的四则运算法则
定理2.7(四则运算法则)
若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn }也都是收敛数列, 且
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim( an bn ) lim an lim bn
n
an 1 证 由于an bn an (1)bn 及 an , bn bn
因此只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可.
数值计算方法
1 2 x
x+h − x−h 2h
h = 10^(-2), f ′(2) = 0.353554495459696 h = 10^(-15), f ′(2) = 0.333066907387547 h = 10^(-20), f ′(2) = 0 精确值为 f ′(2) = 0.35355339059327L
发散！
ϕ ′( x) ≤ L 则迭代过程 xk +1 = ϕ ( xk ) 对任意初值 x0 ∈ [a, b]
O
x2
x1 x0 x*
x
Байду номын сангаас
均收敛于方程 x = ϕ ( x) 的唯一实根x*, 且有
二、算法举例
例1: 一元二次方程求根 例2: 多项式求值
p ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + L + an x .
2 3 n
算法一：算出每一项，最后相加！ 记
⎧u0 = a0 , ⎪ ⎨ k ⎪ ⎩uk = ak x , ( k = 1, 2,3,L n)
则
p ( x) = u0 + u1 + u2 + L + un
2. π 值 (1) π = 3 (4.5%) 周三径一，方五斜七 《周髀算经》(公元前1世纪) (2) π = 3.14 (0.05%) 阿基米德(公元前287-212)
(3) 衡率 张衡(东汉，公元78-139) π = 730/232 (0.16%) π = 92/29 (0.98%) π = 10 (0.66%)
0 1
π = 8arctan1/ 3 + 4 arctan1/ 7
2) 数值计算方法
1 R ≈ 1－2 × 10 ＝1－ 5000
－4
即这种时间积分格式对天气尺度的波阻尼很小。 欧拉后差格式能阻尼高频振荡而对天气尺度的波影响很小， 又没有计算解，故经常使用。但它的计算量较大，且长时间地 应用对天气波也会有衰减作用，因而实际工作中往往是把它和 其他格式交替使用。
二、三层格式 这类格式在作时间积分时牵涉到三个时间层；ｎ＋1， n，n－1，故称为三层格式。其中最常用的为中央差格式(即 蛙跃格式)对(2．1)式作时间积分:
大气中的重力惯性波周期约为几小时，相当于10000秒； 积分的时间步长为几分钟，即∆t=1000秒；代入可得R＝ 0．88， 它表示用欧拉后差格式每作一次时间积分，重力惯 性波的振幅损失12％，因而这种时间积分格式对大气中的高频 波有很大的阻尼作用。 大尺度的天气波周期约3—4天，可取为3×100000秒； 仍取几分钟，即10000秒，代入欧拉后差公式可得：
O(Δx 2 )
四阶差商：
1 ⎛ ΔF ⎞ 1 ⎡4 ⎤ ⎛ dF ⎞ i i i i ⎜ ⎟= ⎢3 ( F+1 − F−1 ) − 6 ( F+2 − F−2 )⎦ ≈ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ Δx ⎠i 2Δx ⎣ i
O(Δx4)
在气象上的数值计算中，差商也常称为差分。以上几式 后面的O (Δx k ) (在上述诸式中k= 1,2或4)代表用该差商逼近 相应的微商时误差具有 (Δx) k 的量级。称k为差商精度的阶数。 利用某点及其周围点的函数值来表示该点上函数差商及其运 算的具体形式称为差分格式。在微分方程中.用差商代替微 商，则得到相应的差分方程。用差分法求微分方程的近似解 要使差分方程具有以下性质，即: 相容性: 当步长充分小时，差分方程逼近于微分方程。
数值计算方法
数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。
在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。
本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。
2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。
它可以用于求解方程的根或函数的零点。
二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。
2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。
它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。
2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。
在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。
数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。
3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。
以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。
3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。
数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法总结.
运算量
1 1 分解A LR需 (n3 n)次, 解Ly b需 (n 2 n)次, 3 2 1 2 n3 n 解Rx y需 (n n)次, 共N n 2 2 3 3
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.2 克洛特分解法
对A进行杜里特尔分解时, A=LR, L为单位下三角阵, R为上三角阵
1i n j 1
2
( AT A), 称为谱范数
第2章 解线性代数方程的直接法
2.3 舍入误差对解的影响 2.3.1 向量和矩阵的范数
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 (x1 x2 ) x x x1 x x x2 1 2 1 2 (x1 x2 ) x2 x1 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x1 x1 ( ) 2 x 2 x x2 x2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A A b
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
第一章 数值分析(计算方法)课程介绍
Vt vt S
易得人追上龟所花的时间是
（1）
S t* V v
School of Math. & Phys.
16
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
数
值
分
刘敬刚
析
主讲：
School of Math. & Phys.
1
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
引例 考虑如下线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 或者： Ax b
J. G. Liu
参考书目：
1 谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，2011 2 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 3 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版 社,2000.
4 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.
5 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
6 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
（若是更高阶的
方程组呢？）
若行列式用按行（列）展开的方法计算 ， 用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: (n 1)(n 1)n! 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有 理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数学算法和计算机技术，对数值问题进行近似求解的方法。
它广泛应用于科学、工程和金融等领域，是现代科学研究和工程设计中不可或缺的工具。
本文将介绍数值计算方法的基本概念和原理，以及一些常用的数值计算方法和其在实际问题中的应用。
一、基本概念和原理1.1 数值计算方法的定义数值计算方法是一种使用数学模型和计算机算法来求解数值问题的方法。
它的基本思想是将实际问题转化为数学模型，并通过数学算法进行近似求解。
数值计算方法包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值方程求解等多个方面。
1.2 数值计算方法的原理数值计算方法的原理是通过将连续的实际问题转化为离散的数学问题，然后利用数值算法对离散问题进行求解。
它的基本步骤包括问题建模、离散化、数值计算和求解结果的评估。
数值计算方法的关键在于选择合适的离散方法和数值算法，并进行适当的误差分析。
二、常用的2.1 数值逼近方法数值逼近方法是一种通过使用逼近函数来近似求解函数值的方法。
常用的数值逼近方法包括插值法、拟合法和最小二乘法等。
插值法通过已知函数值来估计其他点上的函数值，拟合法通过拟合函数来逼近实际数据，最小二乘法通过最小化误差平方和来确定拟合函数的系数。
2.2 数值微积分方法数值微积分方法是一种通过数值近似计算函数的导数和积分的方法。
常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。
数值微分通过差分近似计算函数的导数，数值积分通过数值近似计算函数的定积分。
数值微积分方法在科学计算和工程设计中广泛应用，如求解微分方程、优化问题等。
2.3 数值代数方法数值代数方法是一种通过数值计算近似解线性代数方程组的方法。
常用的数值代数方法包括直接方法和迭代法。
直接方法通过高斯消元法等精确求解线性方程组，迭代法通过迭代逼近的方式求解线性方程组。
数值代数方法广泛应用于科学计算和工程设计中的矩阵计算和线性方程组求解等问题。
2.4 数值方程求解方法数值方程求解方法是一种通过数值计算近似求解非线性方程的方法。
ch2位错-2.2位错的几何性质分析
子而消失,这样,螺位错露头处就为晶体生长提供了有
利条件,使之能在过饱和度不高(只有1%,根据理论计 算应高达50%)的蒸汽压下或溶液中连续不断地生长.
16
17
We already know enough by now, to deduce some elementary properties of dislocations which must be generally valid
会因为晶体位置的颠倒而改变; (4)当螺位错滑出晶体时,只在不平行于位错线的晶体表面出
现滑移台阶;
(5)螺位错没有多余半原子面,它周围只引起切应变而无体应 变.
15
汽相或溶液中生长出的晶体表面台阶(即螺位错):如
果有一条螺位错线在晶体表面露头,在露头处的晶面
上必然形成一个台阶,这个台阶不会因复盖了一层原
13
14
螺型位错的几何特征
(1)螺位错线与其沿路矢量b平行,故纯螺位错只能是直线; (2)包含有螺位错线的面必然包含滑移矢量b.因此,对于连续 介质,螺位错可以有无穷多个滑移面.但是,在晶体中滑移面 只能在晶体的密排面上进行,故晶体中的螺位错只有有限个 滑移面;
(3)根据螺蜷面的不同,螺位错可分右和左两种,左螺和右螺不
You notice that for no particularly good reason here we chose to go clock-wise. 10
If you imagine a walk along the nonclosed Burges circuit which you keep continuing round and round, it becomes obvious how a screw dislocation got its name. It also should be clear by now how Burgers circuits are done.
数值计算方法21&22_ppt [兼容模式]
![数值计算方法21&22_ppt [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8753d20482fb4daa58d4b37.png)
( A( 1 ) , b( 1) )
由于 det( A) ≠ 0
(i ) 可知 aii ≠0
i = 1,2 , L , n
因此 , 上三角形方程组 A( n ) x = b( n ) 有唯一解
因此可得线性方程组 Ax = b 的解：
16
bn xn = ( n ) ann
(i ) b i − xi =
n −1
全部回代过程需作乘除法的总次数为
n2 n + ( n − i + 1) = ∑ 2 2 i =1
n
于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为
3 n3 n n + n 2 − = + O( n 2 ) MD = 3 3 3
数级
19
当n很大时
如n = 20时
3 n n n 2 = + n − MD ≈ 3 3 3
( 1) L a1 n (2) L a2 n M (k ) L akn M (k ) L ann
( 1) b1 (2) b2 M (k ) bk M (k ) bn
第i行 − 第k行 × mik , 则
( k +1) (k ) (k ) aij = aij − mik akj
det(•) ≠ 0
i , j = k + 1, L , n i = k + 1, L , n
15
bi( k + 1 ) = bi( k ) − mik bk( k )
当经过k = n − 1步后, ( A(1) , b(1) )将化为
( 1) a11 ( A( n ) , b( n ) ) = (1) ( 1) L a1 a12 n (2) (2) L a2 a22 n O M ( n) ann ( 1) b1 (2) b2 M (n) bn
数值计算方法
节理岩体数值计算方法及其应用(一)：方法与讨论摘要叙述了工程岩体的典型破坏类型、发生条件和判断方法，简单介绍了针对节理岩体的数值计算方法发展过程、现状和特点，重点叙述了利用3DEC 基本功能生成三维随机节理网络和节理力学参数的随机赋值方法。
其中三维节理网络技术可以非常逼真地模拟现实条件下各种复杂形式的节理分布，甚至可以直接利用节理的地质编录资料在数值模型中生成确定位置上的确定性节理，在某种程度上一体化地实现了节理岩体的计算机模拟和数值计算，促进了不连续岩体、岩石计算方法在应用技术方面的发展。
最后讨论了不连续力学数值计算技术的工程应用，指出了合理运用数值计算方法解决工程问题的一般原则。
关键词岩石力学，数值模拟，不连续体，离散元，随机，节理岩体1 概述数值计算已经被普遍应用于工程设计中解决各种岩石力学问题。
随着数值计算技术的发展，它在很大程度上已经取代了一些传统的研究手段，使得岩土工程中的许多岩石力学问题有可能较快地得到解决。
目前已经开发出来的岩土工程数值计算软件及相关领域的工程软件，已为岩土工程设计和施工中相关问题的研究提供了充分的选择余地。
在目前条件下如何正确选择和有效地使用这些软件，则成为岩石力学数值计算实际应用中的一个现实问题。
对岩体几何特征的研究开始于20世纪70 年代，主要是采用概率统计方法研究节理的产状、间距和迹长等几何参数的统计分布[1]以及岩体节理网络计算机模拟等，其最终目的还是为研究节理岩体的力学特性服务。
然而，迄今为止，能正确地描述岩体中的节理分布，并把它们与岩石力学数值计算方法相结合的应用实例还很鲜见。
本文的研究，从岩体破坏类型及其发生条件入手，首先界定结构面控制型破坏的发生条件，从而规定了需要采用不连续力学方法进行岩石力学分析方法的一般范围，利用3DEC 程序的基本功能直接在3DEC 计算模型中模拟节理网络方法和节理力学指标值的随机赋值方法，针对中国水电工程特点，讨论了进行数值计算时需要考虑的有关岩体非连续性问题。
数值计算方法简介
3、常用的数值分析软件 （2）分析计算模块
前处理阶段完成建模以后，用户可以在求解阶段获得 分析结果。 在该阶段，用户可以定义分析类型，分析选项，载荷 数据和载荷步选项，然后开始有限元求解。 （3）后处理模块
ANSYS软件的后处理过程包含两个部分：通用后处理 模块和时间历程后处理模块。通过用户界面可以很容易 的获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.1 ANSYS软件功能简介
ANSYS软件主要分为三个部分，前处理模块，分析计算模 块和后处理模块。
（1）前处理模块
该软件提供了强大的实体建模和网格划分工具，用户可 以方便的构造有限元模型，它提供了多种以上的单元模型 ，用来模拟工程中的各种材料和结构。
ANSYS提供了两种实体建模方法，自顶向下和自底向上 。
2、常用的数值计算方法
2.1.1 有限差分法的基本思想
（1）把连续的定解区域用有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点称作网格的节点； （2）把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似； （3）以Taylor 级数展开等方法把控制方程和定解 条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于 是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 ，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解； （4）然后再利用插值方法便可以从离散解得到定 解问题在整个区 域上的近似解。
数值计算方法(第1章)
h 1 1 3 I1 [ f (0) 4 f ( ) 2 f ( ) 4 f ( ) f (1)] 6 4 2 4 3.141568627 1 2 -x 2 x （2）I 2 e dx,由于f ( x) e 无原函数，因此，
0
由Newton Leibniz公式无法求解，仅可用 数值方 1 法求解。仍选择 n 2, h ,的复化sim pson 公式进 2 行数值求解有 I 2 0.746855379 。
* *
* x f (x ) * 若记C | f ( x ) |, Cr | |, 当C 1, * f (x ) *
Cr 1时有 e( f ) e( x * ) er ( f ) er ( x * ) 这表明当C 1, Cr 1时，函数值的误差 是可以控制的，或是稳 定的。
m f
a1
a2
……
an
定义1.2.3
*
设近似数x 有规格化形式
m
*
x 10 0.a1a2 a3 ...an ... 其中m和ai (i 1,2,...,n,...)是整数且 a1 0,0 ai 9。如果x 的绝对误差满足
*
1 mn | e( x ) || x x | 10 2 * 则称x 为x的具有n位有效数的近似数。
* *
当e( x ) 0时, 称为过剩绝对误差 ;
*
当e( x * ) 0时, 称为不足绝对误差。 绝对误差是做为衡量 x 的精度高低, 比较直观, 但无法衡量精度的好坏 。 而用相对误差 , 也称百分比误差 , 衡量 精度的好坏更合理。
*
误差估计
由于准确值在一般情况下是未知的，
因此绝对误差和相对误差常常是无
数值计算方法21(1)5218页
§2.2 Gauss消去法
a11
A
a21
§a212.3
a22
Gaaau21nnss列主元消去法
§2.4 直 接 三角分解法
an1
an2
§
2a.5nn
平方根法
i1
bi lij x j
§2.6 追赶法(Thomas法)xi
j1
lii
2
本章要点
b(2) n
a(1) n1
x1
a(2) n2
x2
a(2) nn
xn
bn(2
6
a (1) 11 0
a (1) 12
a(2) 22
0
a(2) n2
a (1) 1n
a(2) 2n
b (1) 1
b(2) 2
a(2) nn
b(2) n
li li l2 m i2 ,i 3 , ,n
xn
b(n) n
7
共计n-1次消元，其中第k次消元的结果：
a(k ) kk
a( k ) k1,k
a(k ) n,k
a( k ) k ,k 1
a( k ) k1,k1
a(k ) n,k 1
a( k ) kn
a( k ) k1,n
a(k ) nn
b( k ) k
b(k) k 1
a (1) 11
a (1) 12
a (2) 22
a (k) kk
第三部分 常用数值计算方法
直接法
在没有舍入误差的情况下，经有限四则运算求解其准
确值的方法
迭代法
类似于方程求根的迭代法 先给出一个解的初始近似值，按一定的法则逐步将其
精化
2.2 线性方程组的解法
直接法
高斯消去法（主元消去法、高斯-约当消去法） 矩阵分解法
迭代法
雅可比迭代法 高斯-赛德尔迭代法
消元计算：lkk = aik / akk（i=k, k+1, …，n）
aij ← aij - lija11 （i=k, k+1, …, n; j=k, k+1, …, n）
2.3.2.2 列主元素法消去过程
2.3.2.3 严格对角占优矩阵
严格对角占优矩阵满足如下条件：
对角线上每一元素的绝对值均大于同行其他元素绝对
2.3.1 高斯顺序消去法
第二步：得同解方程组 2x1+x2+x3=7 3x2-3x3=-3 -2x3=-6
第三步：对上三角形方程组进行回代求解 x3=(-6)/(-2)=3 x2=(-3+3x3)/3=2 x3=(7-x2-x3)/2=1
高斯顺序消去法的计算机算法
增广矩阵 a ( 0) a ( 0) a ( 0) 1,1 1, n 1, n 1 a ( 0 ) a ( 0 ) a ( 0 ) n ,n n , n 1 n ,1 经k-1步消元后，增广矩阵化为
2.3 消去法
高斯顺序消去法
列主元素法
高斯—约当消去法求矩阵的逆
2.3.1 高斯顺序消去法
消去法就是按特定的顺序进行的矩阵初等变换方
计算机专业---数值计算方法
数值计算方法•随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各咼輕院校数学、物理和井算*几应用专 ?工科本科生的专业基础课，也是工科矗究生的学位必修课。
•数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法•对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分•计算机解决科学计算问题时经历的几个过程-实际问题——> 数学模型——> 数值计算方法——> 程序设计——> 上机运行求出解-实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应-数值计算方法——> 程序设计——> 计算结果:根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。
•数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论-包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计 q寸间的最小（也就是计算费用），占用内存空•例仁1.1试求函数方程x=cosx在区间(0,彳)内的—个根。
解令/■(%) r - COSX,易知/'(兀)在［0,Q上是连续函数且71 71f(0)f(-) = (-i)*-<0本题用解析法求解较为困难•若用图解法，可大致判定此零点位置作图像J “兀[y = cosx取两曲线交点/的横坐标/为所求方程的解，从图中可以例1.12计算定积分pi 4 a )i 1= —4 1 + x 2角军：(1)由牛顿一莱布尼兹公式厶=4arctanx !{)= 4arctanl -4arctan0 = n y 4 — 、帀庄的复 Rimpson 公式有 捋t 牌尿《rl Jo dx ⑵ I 2 =e~x dx 法有多种，如= = 被积函数2 賁/(0) + 4/(|) + 2f(|) + 4f(|) + /(I)] 6 4 2 4= 3.141568627 2 ▲(2) /2 = £ e dx,由 刁(兀) - Leibniz 公式无法求解，仅可fl®值方 仍选扌韌=2, 二丄,的复jhsimpson^式进 幽解有厶二无原函数，因此,2 q 0.746855379。
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2.2.1 杜里特尔分解法
求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去
法的矩阵形式。
高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c
倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈
1Leabharlann 1k Eki
c
1
i
1
c aik / akk与变换后增广矩陈的第ki行元素有关 通常记为lik .矩阵Eki是特殊的初等矩阵称为倍加 矩阵, 其逆矩阵也是倍加矩阵
a
例2—1
i 1,2, n
b
图2—1 计算顺序
分解 A LR ，并解方程组 Ax b ，其中
1 2 3 4
2
A 3 4 12
13
,
b
5
2 10 0 3
10
4
14
9 13
7
解 按计算公式（2-2）和（2-3）
1 2 3 4 2 1 2 3 4 2
A 3 4 12 13
n
aij lik rkj , i 1 ~ n, k 1
注意 L 是单位下三角矩阵，lii 1,
j 1~ n 1
k
i
时
l ik
0,
便知
i 1
a ij
l r ik kj
r ij
k 1
从而
i1
r ij
a ij
l ik
r kj
,
j
i,i
1,
,n
1
k 1
同样，因
R
为上三角阵， k
i
时
r kj
0,
A E
EE
R 1
E E 1
1
E 1 ,
E
R
n1,n
13 12
12
13
n1 n
注意
L
E 1 12
E 1 13
E 1 n 1
,
n
E
是将单位矩阵 E 的第n 1
行倍数加于第 n 行， ，将第一行的倍数加于第 n行、 、
第二行，可见 L是单位下三角矩阵。故
Ab A LR LRy LRLy
A LR, Ly b 这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 A 分解为
单位下三角矩阵 L 与上三角矩阵 R 的乘积，并且求解议程组
Ly b 的过程。回代过程就是求解上三角形方程组 Rx y
矩阵 L 和 R也可直接算出。事实上，比较等式 A LR 两 边等 i 行、第 j 列元素可知
41
r 4 (3) 2 2, r 12 (3) 3 3
22
23
r 13 (3) (4) 1, y r 5 (3) (2) 1
24
2
25
l (10 2 2) 2 3, l (14 4 2) 2 3;
32
42
r 0 2 3 3 (3) 3, r 3 2 (4) 3 1 2
1
Eki1
1
c1
k
i
1
它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全 为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增
广矩陈 A 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 R ，即
E E E E E E AR
n1,n
2n
23 1n
13 12
此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然
此应时元公素式，（减去2-2同）行、左（边2-3L）的表元明素，r与ij同或列上l j边i 都R是原的始元矩素阵乘A积；对只 是对 L 的元素，然后需除以 R 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 R 行，再算 L 的第 i 列；也可先算 R 的第 i 列，再算L 的第 i 行，i 1,2, , n 如图2—1所示：
Axi bi , i 1, 2, , m
这是因为，一旦完成分解 A LR，只需再解 m 个三角形方程组
Lyi bi , Rxi yi , i 1, 2, , m
解这种三角形方程组每组只需 n2 次乘除法，远比重复使用高斯消
Ly b
Rx y
解下三角方程组 Ly b可以在分解 A LR时同时完成（如例2—1） 也可独立完成。这是因为，把 Ly b 写成分量形式，就是
y 1
ll3211
y 1
y 1
y 2
l y 32 2
y 3
ln1
y 1
ly n2 2
l y y
n ,n1 n1
n
b 1
b 2
b 3
b n
由此可见，
知
n
i1
a ji
l
jk
r ki
l
jk
r ki
l r ji ii
k 1
k 1
2 2
可见
i1
l ji
a ji
l
jk
r ki
r, ii
j i 1,i 2, ,n
k 1
2 3
公式（2-2）和（2-3）就是计算 L 和 R 各元素的计算公式。
实际计算时 L 的对角元l 1不必存放， L 和 R 中 肯定为零的元素也不必存放，因ii 此 L 的 R 可共同存放在增广
矩阵 A 的位置：
r a 11 11
r a 12 12
r a r a
13 13
1n 1n
y b 11
l a 21 21
r a 22 22
r a r a
23 23
2n 2n
y b 22
l a 31 31
l a 32 32
r a r a
33 33
33 33
y b 33
i1
y b ,
1
1
y i
b i
l ik
y k
,
i 2,3, ,n
k 1
用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消
去法完全一样。其中分解
A
LR
需1 n3
3
n
次，解 Ly
b
需
1 2
n2
n
次，解 Rx y 需 1 n2 n 次，共计 1 n3 n2 1 n 次。
2
3
3
三角分解法常用于求解系数矩阵都是 A的若干方程式组
33
34
y r 10 2 (2) 3 (1) 17
3
35
l (9 4 3 3 (3)) 3 2; 43
r 13 4 (4) 3 1 2 2 4 44
y r 7 4 (2) 3 (1) 2 17 16
4
45
从而
1
1 2 3 4
2
L 3 1
5
3
2
3
1
1
2 10 0 3 10 2 3 3 2 17
4
14
9
13
7
4
3
2
4 16
详细计算过程如下（下文不再写出）：
r 1, r 2, r 3, r 4, y r 2
11
12
13
14
1
15
l 3 1 3, l 2 1 2, l 4 1 4;
21
31
, R
2 3
1
,
y
1
2 3 1
3 2
17
4
3 2 1
4
16
回代（解方程组 Rx y ），得
x 1,2,3,4 T
分解 A LR 且 L为单位下三角阵、R 为上三角阵，称为杜里 特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 Ax b 或L(Rx) b ，
相当于解两个三角形方程组