二轮复习 函数零点的性质问题 学案(全国通用)
高中数学函数零点教案
高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。
教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。
2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。
3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。
4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。
5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。
评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。
提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。
高考数学二轮复习函数零点学案(全国通用)
培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞Q ，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增， ()31ln 30f =-<Q ，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln 3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
函数的零点学案.doc
函数的零点导学案学习考试大纲与考试说明结合二次函数的图像，了解函数零点与方程的联系一、说考点(一) 考点回顾1. 函数零点概念：一般的，如果函数y = f(x)在实数Q 处的值等于零，即 __________ ,则—叫 做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与兀轴的公共点是 __________ 点。
2. 零点存在性定理：如果函数歹=/(兀)在一个区间 ______ 上的图彖 __________ ,并在它的两个 端点处的函数值 _______ ,即 ______________ ,则这个函数在这个区间上 _______________ 零点•即 存在一点 x Q G (a,b),使 f(x 0) = 0。
(二) 高考如何考例・1、(2013天津7)函数/(x) = 2x |log 05 x|-l 的零点的个数为()A 1B 2C 3D 4函数f(x) = 2x +x 3-2在区间(0,1)内零点个数(B 1C 2D 3 二、深挖教材、预测高考例3、选自教材(1) (必修一P”例题)求函数y = x 3-2x 2-x + 2的零点，并画出它的图像。
(2) (必修一P79I ⑸)如果二次函数y = x 2+ mx + (/?? + 3)有两个不同零点,则加的取值范围是 A (—co,—2) U (6,+co) B (—2,6) C [—2,6] D{-2,6} (3) 已知函数/(x) = 2(/7? + l)x 2 + 4mx + 2m-1: (2)如果函数的一个零点在原点,求加的值例4、求函数/⑴=X 3-6X 2+9x-10的零点的个数。
变式1、讨论方程tz = ?-6x 2+9x-10的根个数。
例2、(2012天津4) A 0变式2、讨论函数/(x) = x3 -6x2 +9x-lQ-a的零点的个数。
变式3、函数f(x) = x3-6x2+9x-10-a在［2,4］上冇零点，则a的取值范围______________例5、(1)函数/(x) = lgx-cosx的零点有 (A. 4 个B. 3 个C. 2 个D.变式1：若函数为/(X)= lgx -COSX ,贝Ij冇_____ 个零点.变式2：若函数为/(x) = lg|x|-cos^，贝|J有_________ 个零点三、课堂小结四、当堂检测1、(2012湖北9)求函数f(x) = xcosx2在区间［0,4］上的零点的个数()A 4B 5C 6D 72^ (2011 陕西6)函数f (x) = Vx -cosx在区间［0,+oo)内( )D冇无穷多个零点A没冇零点B冇F1.仅冇一个零点C冇仅冇两个零点3、(2013 重庆6)若a <b <c ,贝U函= (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间() A (a,b)和@,c)内 B (-oo,t7)和(a,b)内C (b,c)和(c,+oo)内D (一oo,a)和(c,+oo)内4^ (2012 陕西21)设函数f tl(x) = x n +bx + c(n G N+,b,c e R)(1)设n>2,b = l,c = -1,证明九(兀)在区间(丄,1)内存在唯一零点。
零点、根、交点教你如何转化 学案(全国通用)
专题11 零点、根、交点教你如何转化考纲要求:1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．基础知识回顾:一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点。
函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。
（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得f(c)=0，这个也就是方程的根。
函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件。
【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。
二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。
（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。
高三名校数学二轮内部复习资料微专题——复合函数零点学案
微专题1——复合函数的零点问题研究【知识回顾】函数与方程这个知识点在高考中的出镜率几乎是100%，我们应该非常重视这个知识点的系统梳理，其中有一个常见考点是复合函数的零点问题.复合函数的零点问题是，类似y =f [g (x )]函数的零点问题.解题的核心词两个，换图、换元.换句话说，就是逐层解方程，先解f (t )=0的根，再解t =g (x )的根，用数形结合去观察根的个数以及范围，显得更直观一些. 【例题分析】例题 (江苏省无锡市普通高中2020届高三第一学期期中调研考试14) 已知函数22212()log (2)2x x x f x x x ⎧-++⎪=⎨->⎪⎩，≤， 则方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为 . 解法一 如图，令114t x x=++以及()y f x =的函数图象，根据a 的值进行讨论(1)若0a <，()f t a =由图象可知，此时唯一解0t <，而114t x x=++只有两个解，舍去； (2)若0a =，()f t a =由图象可知，此时解120,3t t <=，而12111,1,44t x t x x x=++=++各有两个解，一共4个解，舍去；(3)若01a <<，()f t a =由图象可知，此时解1230,23t t t <<<<，而12111,1,44t x t x x x =++=++31+14t x x=+各有两个解，一共6个解，符合条件； (4)若1a =，()f t a =由图象可知，此时解12340,2,23t t t t ==<<<，而111,4t x x=++ 211,4t x x =++各有1个解；311,4t x x =++ 411,4t x x=++各有两个解，一共6个解，符合条件；(5)若12a <<，()f t a =由图象可知，此时解1234023t t t t <<<<<<，而111,4t x x=++ 211,4t x x =++无解；311,4t x x =++ 411,4t x x=++各有两个解，一共4个解，舍去； (6)若2a =，()f t a =由图象可知，此时解1231,23t t t =<<<，而111,4t x x=++无解； 211,4t x x =++ 311,4t x x=++各有两个解，一共4个解，舍去； (7)若2a >，()f t a =由图象可知，此时解1223t t <<<，而111,4t x x =++211,4t x x=++各有2个解；一共4个解，舍去；解法二由图可知，114t x x=++的根的可能个数为0（02t <<），1（0=2t t =或），2（02t t <>或）； 而()f x a =的根的可能个数为1(a <0)，2(a =0或a >2),3(0<a <1或a =2),4(1≤a <2)； 因为f (t )=a ，要有6个不同的根，显然()f x a =的根的个数不小于3个；若()f x a =有3个根，每个根的范围都只能是02t t <>或，所以01a <<符合条件；若()f x a =有4个根，同理解法一中的情况(4)和(5)，可知a =1符合条件，综上，0<a ≤1. 【解题回顾】解法一，虽然讨论的情况数多达7种，但是一一讨论之后，就会对复合函数的零点个数判断有非常深刻的认识，可能达成解法二迅速缩小变量a 的讨论范围.下面把江苏各地20届的模拟试题按照从易到难(小编自己的划分标准，具体到各位因人而异，请多多谅解啊)给出，大家练习后可以点击后面的空白处查看答案. 【巩固练习】1.（★★★江苏省南通市2020届高三上学期第一次调研抽测9月数学试题13） 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______.2. （★★★江苏省苏州市部分学校2020届高三第一学期月考模拟试卷14）设函数1,1()log 11,1a x f x x x =⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩ ,若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313++x x x x x x 等于 ．3. （★★★江苏省淮安市2020届高三上学期期中联考数学试卷（文科）14）已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .4. （★★★江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷13）若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．5. （★★★江苏省扬州中学2020届高三上学期10月阶段检测数学试卷13）函数lg ,0()2,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩≤，若函数2()1y f x a =--存在5个零点，则整数a 的值为 . 6. （★★★江苏省盐城中学2020届高三上学期第二次阶段性质量12月检测数学12）已知函数3||3,0()2,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎪⎩≤，若函数1[()][(()]2y f x a f x a =-+-有5个零点，则实数a 的取值范围是 .7. （★★★★镇江2020届高三上学期第一次八校联考数学试卷14）若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．8. （★★★★江苏省南京师范大学附属中学2020届高三12月一模前测数学试卷14）已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨--⎪⎩≤ .若函数[()]y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________．9. （★★★★南通、泰州2020届高三第一次调研测试数学试卷14）已知函数11,0(),01x x f x x x x ⎧--⎪=⎨<⎪-⎩≥ ，若关于x 的方程22()2()10f x a f x a +⋅+-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10. （★★★★苏州2020届高三第一学期期末考试数学试卷14）已知函数,2()48,25x exx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩≤，若关于x 的方程22()3()20f x a f x a -⋅+= 恰有5 个相异的实根，则实数a 的取值范围是 .11. （★★★★江苏省百校大联考2020届高三第二次考试数学试题14）14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨⎪⎩≥.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________．12. （★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷十13）设函数3ln 2,0()3,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩≥，方程22()()10f x m f x m +⋅+-=有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是 .13. （★★★★江苏省南京师大附中2020届高三11月模拟考试数学试卷14）已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+⎩≥，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 .14. （★★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷九13）设函数2()(1)(,)f x a x bx a a b R =+-+∈，若函数()y f x =有零点，且与函数(())y f f x =的零点完全相同，则b 的取值范围是 .15. （★★★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学试卷(理科)14）己知m R ∈，函数22|31|,<1(),()221log (1),>1x x f x g x x x m x x +⎧==-+-⎨-⎩,若函数m x g f y -=)]([有4个零点，则实数m 的取值范围是 .【答案】1.94k k=->或2. 23.1(1,1)e+4.1(0,)325. 26.3[1,){2}2U7. 10a a=<或8. 314a<<9.(1,1--10.12425a ae=<或≤11.135{}(,)444⋃12.(1,1]-13.3(,3)214.(4,0]-15.5{0}(,1)7U。
2.4.1函数的零点学案
组
内
合
作
１．阅读课本71页完成例题。
例：求函数 的零点，并画出它的图象。
２．由上例函数值大于０，小于０，等于０时自变量取值范围分别是什么？
３．请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？
４．完成72练习Ｂ1、２
合
作
探
究
课
堂
展
示
１．函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围。
２．函数 零点所在大致区间是（ ）
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
3.关于 的二次方程 ，若方程式有两根，其中一根在区间 内，另一根在(1,2)内，求 的范围。
【课堂检测】
１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
２．若方程 在(0,1)内恰有一个实根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
年级
高一
课题
2.4.1函数的零点
设计者
高一数学组
学习目标
理解函数零点的概念。会判定二次函数零点的个数。会求函数二次函数零点的个数。会求函数的零点。掌握函数零点的性质。
自
主
学
习
：
双
基
预
习
【知识再现】
１．如何判一元二次方程式实根个数？
２．二次函数 顶点坐标，对称轴分别是什么？
３．函数 ，若 ，则 在 上零点的个数为（ ）
A.至多有一个B.有一个或两个C.有且只有一个D.一个也没有
４．已知函数 是Ｒ上的奇函数，其零点 ， …… ，则 ＝。
５．一次函数 在［０，１］无零点，则 取值范围为。
６．函数 有两个零点，且都大于２，求 的取值范围。
高考数学二轮复习解密函数零点相关问题学案(全国通用)
专题03 解密函数零点相关问题一．方法综述新课标下的高考越来越注重对生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
近几年的数高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.根据函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数)(x f y =有零点。
围绕三者之间的关系，在高考数中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题.二．解题策略类型一：函数零点的分布问题例1、(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4，＋∞)【答案】C【举一反三】函数f (x )＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是( ) A.)21,41( B.13(,)24 C.3(,1)4D ．(1，2) 【答案】C【解析】函数f (x )＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且3()4f ＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f (1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f (x )的零点所在区间为3(,1)4.* 类型二 函数零点的个数问题【例2】【2017课标3】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12- B ．13 C ．12D ．1 【答案】C【举一反三】已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a << 【解析】函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.*类型三 函数零点与简易逻辑交汇问题例3.【2018广东省化州市模拟】已知函数()2,1 ,1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A. []1,2B. (]1,2C. ()1,2D. (]0,1【答案】C【举一反三】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(⌝q)为真命题，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，2] C．(1，2] D．(－∞，1]【答案】C【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则⌝q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(⌝q)为真命题，∴实数a的取值范围是(1，2]．*。
专题2.7 函数零点、单调性、极值等综合问题教学案-2017年高考数学二轮复习资料江苏版 含解析 精品
函数零点、单调性、极值都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与导数是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数思想的运用是我们解决问题的重要手段，而导数是我们解决问题的一个行之有效的工具. 1函数零点函数零点问题主要是研究函数与方程问题，方程()0f x =的解就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即零点.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.例1 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 错误！未找到引用源。
的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞【解析】（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,l n(2)x a ∈-时,'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 综上,a 的取值范围为(0,)+∞．例2【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
函数的零点学案--优质课竞赛一等奖
函数的零点学案--优质课竞赛一等奖简介本文档旨在介绍一个获得优质课竞赛一等奖的函数的零点学案。
学案内容1. 零点的定义首先，我们将介绍函数的零点的定义。
函数的零点指的是函数图像与x轴相交的点，即函数在该点上的取值为零。
2. 零点的求解方法接下来，我们将介绍几种常用的求解函数零点的方法：- 图像法：通过绘制函数图像，观察图像与x轴的交点，可以找到函数的零点。
- 代数法：通过解方程来求解函数的零点。
对于一元次数较低的函数，可以使用代数法求解。
3. 零点的应用最后，我们将介绍函数的零点在实际问题中的应用。
- 方程求解：函数的零点可以用于求解方程。
- 函数图像分析：函数的零点可以帮助我们分析函数的图像特点，如函数的增减性、极值点等。
教学策略为了使学生更好地掌握函数的零点的概念和求解方法，我们将采用以下教学策略：- 概念讲解：通过简单易懂的语言和例子，向学生介绍函数的零点的定义。
- 图像展示：使用计算机或投影仪展示函数的图像，引导学生观察函数的零点。
- 基础练：设计一些基础练题，让学生通过代数法计算函数的零点，巩固所学知识。
- 实例分析：通过实际问题的例子，引导学生应用函数的零点进行方程求解和图像分析。
教学流程以下是本课的教学流程安排：1. 介绍函数的零点的定义，让学生了解什么是零点。
2. 展示几个函数的图像，让学生观察函数的零点，并进行讨论。
3. 通过解方程的例子，向学生介绍代数法求解函数零点的方法。
4. 设计基础练题，让学生进行练，巩固所学知识。
5. 引出实际问题，让学生应用所学的函数的零点知识进行方程求解和图像分析。
6. 总结课程内容，梳理函数的零点的概念和求解方法。
教学评估为了评估学生对函数的零点的掌握程度，我们将使用以下评估方法：- 练题考核：设计一些练题，让学生独立完成，检验他们是否能够准确求解函数的零点。
- 实际问题解答：给学生提供一些实际问题，并要求他们应用函数的零点知识进行方程求解和图像分析。
高二小高考后数学0轮复习学案函数与方程
14函数与方程一、基础训练1．函数f (x)x38 的零点是．2．已知定义在R上的函数 f ( x) 与 g ( x) ，若 f ( x) 的零点为a1和a2， g( x) 的零点为a2和a3，并且 a1, a2 , a3是互异的，则“x{ x | f ( x)0} ”是“ x{ x | f ( x)g( x)0} ”的条件．3．已知函数y f ( x) 是定义在a,b 上的单调函数，若 f ( a) f (b)0，则 f (x) 的零点个数至多为．4 f (x)e x 2的零点在区间(n, n1)（ n Z ）内，则n．．若函数x5．函数f (x)3x x2 2 的零点共有个．6．已知f (x) 2 x ,x 1，则 g( x) f (x)1的零点为．log81 x, x127 f (x)ax b（ b0 ）有一个零点3，那么函数g (x)bx3ax的零点是．．若函数28．（ 2011山东卷）已知函数f( x) log a x x b，当2 a 3b4时，函数 f ( x) 的零点x0 ( n, n1)，则 n．二、例题精讲例 1．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．（ 1）f ( x)x23x18 ， x1,8；（ 2）f (x)x3x1， x1,2；（ 3）f ( x)log2 (x2) x ， x1,3 ．例 2．已知函数f ( x) ax2bx1有相异零点x1 , x2（ x1x2），函数 g( x)a2 x2bx 1有相异零点 x3 , x4（ x3 x4）．若a1 ，求证：x1x3 x4x2．例 3．已知函数 f ( x) 2ax22x 3 在区间(0,1)内有零点，求实数 a 的取值范围．xax2，其中 a R ．例 4．设函数f ( x)x2（ 1）当a2时，求函数 f (x) 的零点；（ 2）当a0时，求证：函数 f ( x) 在 (0,) 内有且仅有一个零点；（ 3）若函数 f ( x) 有四个不同的零点，求 a 的取值范围．三、巩固练习1．已知函数f ( x) lg x x个．，则 f ( x) 的零点共有102．若函数f (x)x3x2ax 与函数 g(x)x2x 的图像只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是．3．若函数4．若函数f (x) x33x a 在(1,2)内有零点，则实数 a 的取值范围是．f (x) a x x a （a0 且 a 1）有两个零点，则 a 的取值范围是．四、要点回顾1．函数零点的概念，函数零点与方程根的关系．（ 1）对于函数y f ( x) ， x D ，我们把使 f ( x)0 得实数x（ x D ）称为函数 y f ( x) 的零点，实质上函数y f ( x) 的零点就是函数 y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标．（ 2）函数y f ( x)g( x) 的零点可以看成是函数y f ( x) 与 y g( x) 图像交点的横坐标．（ 3）若函数yn则函数 y f ( x) 至多有n个f (x) 的定义域是（ n N * ）个单调区间的并集，零点．2．函数零点的性质若函数 y f ( x) 在闭区间a, b 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a) f (b) 0 ，则在区间 (a,b)内，函数 y f ( x) 至少有一个零点，即相应的方程 f (x)0 在区间 (a, b) 内至少有一个实数解．我们所研究的大部分函数，其图像是连续的曲线．函数与方程作业1．若函数 f (x)mx 1m 在区间(0,1) 内有零点，则实数m 的取值范围是．2．要求方程x3 2 x50 在区间2,3内的实根，取区间中点x0 2.5 ，那么下一个有根区间是．3．已知函数y f ( x) 满足：对任意 x R ，均有 f (x) f (6x) ．若 y f ( x) 共有5个相异零点，则这 5 个零点之和为．4．若方程x22ax40的两根均大于1，则实数a的取值范围是．5．若方程ln x2x60的根为x0，则小于x0的最大整数是．6．方程2x x30 的实根的个数是．7．已知关于x的方程x212m x m2 1 0 （m是与x无关的实数）的两个实根在区间20,2 内，求实数 m 的取值范围．．已知关于x 的二次方程 x22mx2m 1 0 ．8（ 1）若方程有两根，其中一根在区间( 1,0) 内，另一根在区间(1,2) 内，求实数m的取值范围；（ 2）若方程两根都在区间(0,1)内，求实数 m 的取值范围．9．已知二次函数 f ( x) x2ax b （a,b R ）．（ 1）若方程 f ( x) 0 无实根，求证：b0 ；（ 2）若方程 f ( x) 0 有两个实根，且实根是相邻的两个整数，求证： f ( a)1(a 2 1) ．410．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2(b a) x （ b 2a 且 ab 0 ）． （ 1）求证：函数 f ( x) 的导函数 f '( x) 在区间1, 1内有惟一零点；3（ 2）试就 a,b 的不同取值情况，讨论函数 f (x) 的零点个数．。
零点学案
函数的零点【知识要点】1.函数的零点的定义。
对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
2..函数y=f(x)零点几种等价说法。
函数y=f(x)有零点A 、方程f(x)=0有实数根B 、函数y=f(x)的图象与x 轴有公共点. 3.二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y （１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．4,.根存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。
5.二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： （1）、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε； （2）、求区间（a,b ）的中点c; （3）、计算f(c)1>.若f(c)=0，则c 就是函数的零点； 2>.若f(a)f(c)<0，则令b=c （此时零点 0x ∈(a, c) ); 3>.若f(c)f(b)<0，则令a= c （此时零点 0x ∈( c,,b));（4）、判断是否达到精确度ε:即若|a-b|< ε, 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4 【经典例题】1.y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．2；2 B ．(2,0)；2 C ．－2；－2 D ．(－2,0)；－22.函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<4 B ．a>4 C ．a≤4 D ．a≥43.函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点4.函数f(x)=e x +x-2的零点所在的一个区间是( ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)5.设x 0是方程ln x+x=4的解,则x 0所在的区间是( ). A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x的一个根所在的区间是（ ）x -1 0 1 2 3xe0.37 1 2.72 7.39 20.09x+2 1 2 3 4 5A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)7.的根的个数为用二分法判断方程22x x = （ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.的根的情况是方程xx 10)4lg(=+( )A.仅有一根B.有一正根一负根C.有两负根D.无实根 【课堂作业】1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0] 3．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定4.若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)5．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 6.用二分法求函数)(x f y =在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到0)1(<f ,0)5.1(>f ,0)25.1(<f ,则函数的零点落在区间（）.(A)（1,1.25） (B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能确定 7.下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 8.计算函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点，列表如下：中点坐标中点函数值取区间[1，2]x =1.5 )(0x f >0[1，1.5] 1x =1.25 )(1x f <0 [1.25，1.5] 2x =1.375)(2x f <0[1.375，1.5] 3x =1.4375 )(3x f >0[1.375， 1.4375] 4x =1.40625 )(4x f <0[1.40625，1.4375]若精确度为1.0，结果是________.9．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12＜t ＜34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根．10.已知二次函数f(x)满足:f(0)=3;f(x+1)=f(x)+2x. (1)求函数f(x)的解析式. (2)令g(x)=f(|x|)+m(m ∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m 的范围.一元二次方程实根的分布【知识要点】(A) (B) (D)(C)知识点1 零分布设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为x 1, x 2，且21x x ≤定理1：01>x ，⇔>02x 0002121>⋅>+≥∆x x x x 推论：01>x ，⇔>02x0)0(00<>>≥∆b f a 或000><<≥∆b c a定理2：01<x ，⇔<02x 0002121>⋅<+≥∆x x x x推论：01<x ，⇔<02x0)0(00>>>≥∆b f a 或0)0(00<<<≥∆b f a定理3：0021<⇔<<ac x x定理4：01=x ，002=⇔>c x ，且0<a b （可得证0>∆）01<x ，002=⇔=c x ，且0>ab知识点2 非零分布—k 分布所谓非零分布—k 分布，指的是方程的根与k 的关系。
高三数学第二轮复习函数性质学案
高三数学第二轮复习函数性质学案一、考试要求：1．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．二 考点扫描1、奇偶性判断：1.1确定函数的奇偶性，一般看：①定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系。
常用的方法有：(1)利用函数奇偶性定义判断； (2)用求和(差)法判断，即看f(-x)±f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)÷f(x)与±1的关系。
1.2一般性质① 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，② y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称,y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， ④ 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， ⑤ 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+= ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇2、单调性2.1判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手；（2）从导数入手；（3）从图象入手；（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手。
注：先求函数的定义域 2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。
2.3、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。
函数零点学案
课题：函数零点编制人：刘希龙杨本才张海陈磊审核人：领导签字：【使用说明】：1.课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑【重点难点】：重点是零点概念的理解，零点性质的应有，难点：性质的应用。
一、学习目标：1.准确理解函数零点的概念；熟练求简单函数的零点并能应用性质解决问题。
2.小组成员积极讨论、踊跃展示、大胆质疑。
探索零点性质的应用。
3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习数学的快乐。
二、问题导学1.一般地，叫做这个函数的零点。
思考：（1），函数的零点的实质是什么？（2），怎样求函数的零点？（3），函数y=f(x)的零点就是使函数y=f(x)的值为0的点吗？2，函数f(x)的零点与函数y=f(x)的图像及方程f(x)=0的根有什么关系？3，函数零点的两种类型是什么？4，一次函数一定有零点吗？如果有，是那一种类型？5，二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的零点的分布（1）当∆>0时，（2）当0∆=时，（3）当0∆<时，6，二次函数的零点的性质？（1）（2）三、讨论、展示、交流例1，求下列函数的零点（1）函数28y x=-（2）函数26y x x=--（3）函数3116y x x=--例2，下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0？小于0？等于0？（1）278y x x=+-，（2）228y x x=-++小结思考？（1）. 函数()f x在区间（a，b）内连续，且有()()0f a f b<，那么函数()f x在区间（a，b）上是否一定存在零点？如果存在一定是只有一个吗？请举例说明。
（2）.函数()f x在区间（a，b）内连续，且有()()0f a f b<，还需要满足什么条件就一定有且只一个零点？例3，求函数3222y x x x=--+的零点，并画出它的图像.四、巩固提高1，函数254y x x=-+的零点是2，函数223y x x=--+的自变量分别在什么范围内取值时，（1）函数值大于0？（2）小于0？（3）等于0？3，二次函数2(0)y ax bx c a=++≠，其中0a c⋅<，则函数的零点有个？4，已知函数2y ax x b=-+的两个零点分别为1,12-。
2021新高考数学二轮总复习学案：2.2 热点小专题一、函数的零点及函数的应用含解析
2.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用必备知识精要梳理1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.3.判断函数零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.关键能力学案突破热点一判断函数零点所在的区间【例1】(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=e x+f'(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.【对点训练1】设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)热点二判断函数零点的个数【例2】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解题心得判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.【对点训练2】(2020山东滨州二模改编,16)设f(x)是定义在R上且周期为6的周期函数,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)在区间[-n,n](其中n∈N*)上的零点的个数的最小值为a n,则a11=.热点三已知函数零点个数求参数范围【例3】(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)=当x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为,设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是.解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.【对点训练3】(2020山东淄博4月模拟,7)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[-1,+∞)C.[0,+∞)D.[1,+∞)热点四函数的应用【例4】(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天解题心得解决函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.【对点训练4】(2020全国Ⅲ,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)()A.60B.63C.66D.69核心素养微专题(一)例析“逻辑推理”在函数零点问题上的应用【例1】已知函数f(x)=设g(x)=kx+1,且函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为.核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:函数φ(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限等价于φ(x)在x>0和x<0时函数值有正有负,若φ(x)连续,则在y轴两侧有变号的零点,即f(x)与g(x)的图象在y轴两侧存在交点,且在交点处一个函数的图象穿过了另一个函数的图象.抓住临界情形:当k>0时,过定点(0,1)的直线g(x)要在y轴左侧有交点,则k<当k=,且x<0时,f(x)≥g(x)恒成立,φ(x)不过第三象限,即此时k∈;当k<0时,过定点(0,1)的直线要在y轴右侧有交点,则k>-9(当k=-9时,直线g(x)与曲线f(x)相切,同样k=-9不符合题意),即k∈(-9,0);k=0也符合题意.综上可知,k∈.【例2】已知函数f(x)=若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是.核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:函数f(x)=的零点⇔f(x)=x3-3|x-a|-a的零点(分段函数⇒一般函数)⇔方程x3=3|x-a|+a的根⇔函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标(零点⇒交点).所以由题意知,能让函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的横坐标是负数的,a的取值满足题意.画图:y=3|x-a|+a是顶点(a,a)在第一、三象限角平分线上“移动”,且开口向上的“V字形”,当a≥0时,因为3|x-a|+a>0,所以不符合题意,当a<0时,若x≥a,则有x3=3x-2a,若x<a,则有x3=-3x+4a,由图可知只需讨论射线y=3x-2a,x≥a与y=x3相切的临界情形即可.设切点为(m,n)(m<0),由y=x3,得y'=3x2,所以有3m2=3,得m=-1,所以n=(-1)3=-1,将切点坐标(-1,-1)代入直线方程y=3x-2a,得a=-1.从而a的取值范围是[-1,0).【跟踪训练】(2019浙江,9)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>02.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用关键能力·学案突破【例1】(1)B(2)C解析(1)由图象知<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b, 所以g(x)=e x+f'(x)=e x+2x-b,则g(-1)=-2-b<0,g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以g(0)g(1)<0.故选B.(2)因f(x)在(0,+∞)上单调,且f([f(x)-log2x])=3,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,∴f(t)=log2t+t=3,观察易知t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5,因为g(3)<0,g(4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).对点训练1D解析令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由f[f(x)-ln x]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.故f(x)=ln x+e,所以f'(x)=,x>0.所以f(x)-f'(x)=ln x-+e.令g(x)=ln x-+e-e=ln x-,x∈(0,+∞).因为g(x)=ln x-在(0,+∞)内的图象是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1->0,所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.【例2】B解析函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,画出g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.故选B.对点训练27解析由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得y=f(x)为奇函数,易知f(0)=0.可令x=-3,则f(-3+6)=f(-3),即f(3)=f(-3)=-f(3),可得f(-3)=f(3)=0,当n=1,2时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0;当n=3,4,5时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0;当n=6,7,8时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0;当n=9,10,11时,f(x)在[-n,n]上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0,f(9)=f(-9)=0,即a11=7.【例3】-4解析当x∈[1,e]时,f(x)=ln x,f(x)为增函数,所以,f(x)min=f(1)=ln1=0,当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f'(x)=6x2-6x=0,解得x1=1(舍)或x2=0,且有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,因为f(-1)=-2-3+1=-4<f(1),故函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4;令t=f(x),由g(x)=0,得t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示:直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0<t<1,即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不等实根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点,因为y=t2-t=,根据y=t2-t的图象可知,-<-a<0,即实数a的取值范围为0<a<对点训练3B解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a 有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从函数图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选B.【例4】B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,∴r==0.38,∴e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t≈0.69,∴t1.8(天),故选B.对点训练4C解析由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.核心素养微专题(一)【例1】【例2】[-1,0)跟踪训练C解析当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系.①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C.。
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微专题11 函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点 2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。
将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. ()+∞ B. )⎡+∞⎣C. ()3,+∞D. [)3,+∞思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=⎧⎪>⎨=⎪⎩，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e-⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩，所以122tta b e e+=+，而0t e >，所以()123,t t e e+∈+∞ 答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。
例2：已知函数()[]()2015cos ,0,2log ,,x x f x x x ππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若有三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c == ，则a b c ++的取值范围是________思路：()f x 的图像可作，所以考虑作出()f x 的图像，不妨设a b c <<，由图像可得：()()()0,1f a f b =∈[],0,a b π∈，且关于2x π=轴对称，所以有22a b a b ππ+=⇒+=，再观察c π>，且()()()2015log 0,1c f c f a π==∈，所以20150log 12015cc πππ<<⇒<<，从而()()2,2016a b c c πππ++=+∈答案：()2,2016ππ小炼有话说：本题抓住,a b 关于2x π=对称是关键，从而可由对称求得a b π+=，使得所求式子只需考虑c 的范围即可例3：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A. 21a -B. 12a -C. 21a --D. 12a -- 思路：()f x 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当0x >时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。
()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点。
观察图像可得有5个交点：12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-，30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-，45,x x 关于3x =轴对称，456x x ∴+= 1234512a x x x x x ∴++++=-答案：B 例4：已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为（ ）A. 1B. 2log 3C. 2log 6D. 3 思路：从()(),f x g x 解析式中发现12,x x 可看做21xy =-与y k =的交点，34,x x 可看做21xy =-与21ky k =+的交点，且12340,0x x x x <<<<，从而1234,,,x x x x 均可由k 进行表示，所以()()4321x x x x -+-可转化为关于k 的函数，再求最小值即可解：由图像可得：12340,0x x x x <<<<3124121221,212121x xx x k k k k k k ⎧-=⎪⎧-=⎪⎪+∴⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎪+⎩()()1222log 1,log 1x k x k ∴=-=+322422131log 1log ,log 1log 21212121k k k k x x k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()43212222311314log log log log 31111k k k x x x x k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1,13k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q [)433,1k ∴-+∈+∞-()()[)43212log 3,x x x x ∴-+-∈+∞答案：B例5：已知函数()()31log 113xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭有两个不同的零点12,x x ，则（ ）A. 121x x <B. 1212x x x x ⋅=+C. 1212x x x x ⋅>+D. 1212x x x x ⋅<+思路：可将零点化为方程()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭的根，进而转化为()()3log 1g x x =-与()113xh x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点，作出图像可得1212x x <<<，进而可将()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭中的绝对值去掉得：()()1231321log 1131log 113x x x x ⎧⎛⎫--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，观察选项涉及1212,x x x x ⋅+，故将②-①可得：()()2132111log 1133xxx x ⎛⎫⎛⎫--=-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，且21x x >，从而()()()()()321211212log 1101110x x x x x x x x --<⇒--<⇒-+<⎡⎤⎣⎦，即1212x x x x <+答案：D例6：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<=)(,3)0(|,ln |)(333e x x e e x x xf ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，则23)(x x f 的最大值为 思路：先作出()f x 的图像，观察可得：312301x x e x <<<<<，所求23)(x x f 可先减少变量个数，利用()()32f x f x =可得：()232222()ln f x f x x x x x ==，从而只需求出ln x y x =在()31,e 的最小值即可：'21ln x yx -=，所以函数ln xy x=在()1,e 单增，在()3,e e 单减。
从而max ln 1e y e e==答案：1e例7：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ）A. 5-B. 6-C. 7-D. 8- 思路：先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +==+++，可视为将1y x=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。
所以1237x x x ++=- 答案：C例8：函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，有以下四个结论①[)3,4m ∈ ② )40,abcd e ⎡∈⎣③ 562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭④ 若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同实根，则m 的取值唯一 则其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 思路：本题涉及到m 的取值，及4个交点的性质，所以先作出()f x 的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m 的范围是[)3,4，所以①正确。