2014年数学花园探秘小学高年级组决赛(解析)

【考点】正六边形、 【难度】☆☆ 【答案】270 【分析】 由左图可得： 设水泥路一小段是 x ， 则 x 300 (6 6 12) 15 ， 设沥青路是 y ， 则有 12 x 12 y 300 ， y 10 ， 最后一个图是 12 x 9 y 12 15 9 10 270 .
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
【考点】计数 【难度】☆☆☆ 【答案】7 【分析】每个面都与另 3 个面相邻，但上下两点距离比其他对角距离大，本题实质与染四侧面相同但与底面不同的长 方体的 8 个顶点没有区别。 考虑红点位置，共有以下 7 种情况：
2014 年“数学花园探秘”高年级组决赛解析
（时间：2014 年 2 月 8 日 19:30—21:00）
一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）
1.
3 2014 10 算式 的计算结果是 ． 1 1 3 3 3 + 5 4 6 4 10 3.6 37
【考点】数论、约数积、约数个数 【难度】☆☆☆ 【答案】232
n N 非完全平方数 约数积是：N 2 【分析】N 的约数积公式： 约数个数是n个 2 n N 完全平方数(N a ) 约数积是：a
8（非完全平方数、4 个约数）→约数积是 82
82 =26 （完全平方数、7 个约数）→约数积是 87 87 2 21 （非完全平方数、22 个约数）→约数积是 (221 ) 2 2231
22
2 231 的约数个数是 232 个.
5. 右面竖式中的两个乘数之和为________．
【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】903 【分析】如下图所示： g 是 2 或 6； d 4 ，所以 d 的取值是 1、2、3； d 2 时， 立。 d 3 ，
2n 和 m1g 是 2 倍关系，不成
1 2 2 40 30 10 千米， 丙走的是 30 的 ， 甲的速度提高到 2 倍， 走到是第一次甲走的 ， 即 (15 3a ) 10 2a . 3 3 3 1 1 2 乙走到第一次走的 ，即 2a a . 所以有： 3 3 3 8 15 3a a 10 2a ， a 3 ，所以全程 15 3 3 30 54 （千米）. 3
【考点】计算、繁分数化简 【难度】☆ 【答案】1 【分析】略 2. 右图中有 个平行四边形．
【考点】几何计数 【难度】☆ 【答案】5 【分析】两个小+三个大的 3. 盛盛和嘉嘉ຫໍສະໝຸດ Baidu有 28 块糖，盛盛把自己一半的糖给嘉嘉，然后嘉嘉又把一半的糖给了盛盛，此时盛盛、嘉嘉的糖数 之比为 4:3，那么开始时，嘉嘉有________块糖． 【考点】还原问题 【难度】☆ 【答案】20 【分析】如下表分析：
x x x x x x y
9.
过年了，微信流行“抢红包”，红包分为大红包、中红包、小红包 3 种，同种红包所含钱数相同，每种红包所含钱数 都是整数元．迎迎、新新和年年 3 人共抢到 9 个红包，恰好是大、中、小每种 3 个．迎迎抢到了 4 个红包，共获 得 25 元；新新抢到了 3 个红包，也获得了 25 元；年年只抢到了 2 个红包，获得了 7 元．那么，3 种红包内所含的 3 个钱数（单位：元）的乘积是 ．
嘉 12 24 20
盛 16 4 8
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
4. 8 的所有约数的乘积是 A，A 的所有约数的乘积是 B，B 的所有约数的乘积是 C，那么，C 有 个约数．
两三角形等高，即 EF //GH ，所以 GH //BD
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
【考点】数论 【难度】☆☆ 【答案】72 【分析】设大、中、小红包的钱数分别是： x 、 y 、 z ( x y z ) 。则有 3( x y z ) 25 25 7 57 ，即 ， x y z 19 .因为年年抢到两个红包，假定年年抢到 1 大 1 小，不可能，因为最大的红包是 6 元（ 7=6+1 ）
三．填空题Ⅲ（每小题 12 分，共 60 分）
11. 把一个自然数分别除以 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16 的余数依次写下来，可以得到一 个共有 15 项的数列，如果这个数列的任意两项都不相同，我们就称这个数列叫“神马数列”，不同的“神马数列”共 有__________个． 【考点】计数 【难度】☆☆☆ 【答案】5 【分析】如果除以 15 个数都没有整除，那只能除以 2 余 1，除以 3 余 2，……，除以 16 余 15，仅此一种； 如果有整除，则只能出现一个整除，所以不能被合数整除，只可能被 2、3、5、7、11、13 整除： 被 2 整除：则只能被 4 除余 2，被 6 除余 4，……，被 16 除余 14，那么只能是被 3 除余 1， 被 5 除余 3， ……，
二．填空题Ⅱ（每小题 10 分，共 50 分）
6. 定义新运算“⊙”：a⊙b= a b 1 ba 1 ，那么，算式 2014⊙2013⊙2012⊙…⊙2⊙1 的计算结果是________． （任何非零 数的零次方都是１） 【考点】定义新运算 【难度】☆☆☆ 【答案】2 【分析】1 的任何次方均为 1，任何不为 0 的数的 0 次方也为 1；因此本题中，可令不管 2014⊙2013⊙2012⊙…⊙2 的 得数是多少，令其等于“A”，其实就是求 A⊙1，而 A 必不为“0”，根据题中“⊙”的定义，A⊙1= A 为“2”。
被 15 除余 13，也仅此一种； 被其他数整除：不能被 2 整除则说明此数是个奇数，则只能被 2 除余 1，被 4 除余 3，被 6 除余 5，……，被
16 除余 15，那么此数必然不能被 3 和 5 整除，有可能被 7、11、13 整除，3 种情况
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
12. 甲、乙两车同时从 A 地出发，向 B 地匀速行驶，与此同时，丙车从 B 地出发向 A 地匀速行驶．当丙行了 30 千米时 与甲相遇，相遇后甲立即调头，并且将速度提高到原来的 2 倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了 40 千米；当乙、 丙两车相遇时，甲恰好回到 A 地．那么 A、B 两地的距离是__________千米． 【考点】行程、比例行程、多人相遇 【难度】☆☆☆ 【答案】54 【分析】由题意知，甲到达某地又立即 2 倍速度返回，假设走了 3 份时间，所以由第 3 次相遇，乙一份时间路程 是 a, 全程 2a a 15 30=3a 45 . 所以甲第一次走的路程是： 15+3a 。在第二次相遇时，丙又走了
A （ 3） 乙 （ 2） 甲 乙 8/3a 2a a 15+3a 10+2a 10 30 15 30 B 丙
丙
13. 如图， E、 F 分别为线段 BC 和 CD 的中点， 三角形 ECG 和三角形 FCH 的面积都是 12， 矩形 ABCD 的面积是__________． A D F H B E G 【考点】几何、燕尾模型 【难度】☆☆☆ 【答案】144 【分析】解法一：连结 AC、BD 交于 O，连结 EF， 显然 S ABE S ACE S ACF S ADF
2n 和 m1g 相差一个 abc ， b 8 或 9，无法成立，所以 d 1 ，可得 b 是 2，可得 c 是 8 或 9，由
0 f 可确定 1e4 的 e 是 7， c 9 ，从而确定 abc 729 、 de4 174 ，所以 729 174 903 .
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
1 S ABCD ，令 S ABE x ；由于 E、F 都是中点，有 EF //BD ，另外，有 AO OC ， 4
C
S ACG S ACE S ECG S ACF S FCH S ACH CG CH ，又由于 S CEG SCFH ，这说明若分别以 CG 和 CH 为底，
如图，在公园内铺设道路，如果按照下左方案铺设，需要 360 万元，如果按照下中图方案铺设，需要 300 万元，
E 度 论 坛 ： bbs.eduu.com 010-62164116 培 优 网 ： www.speiyou.com
如果按照下右方案铺设，需要___________万元． （图中虚线表示水泥路，实线表示沥青路）
【考点】数学游戏 【难度】☆☆ 【答案】9 【分析】从（10.10）走到（1.1）需要走 9 步即可。最坏情况小偷由（4.4）到达（1.1） ，要确保抓住小偷，警察需 要走到（1.1）位置。 证明：警察要追上小偷（现在离 12 格） ，需要 12 2=6 （步） ，小偷往右走或者往下走只能减少小偷与警察之 间的距离，所以小偷只能往左走或上走，而警察每步都比小偷多走 1 格；当小偷走到（1.1）位置，警察与小 偷的距离是 12 6 1 6 格。若不动，警察只需要再走 3 步就可以追上小偷。若小偷再往右或下走，就会缩 短警察和小偷的距离。所以确保警察追上小偷，至少需要 6 3 9 步. 8.
1 1
1A1 ，答案
7.
如图，在 10×10 的棋盘内玩警察抓小偷的游戏．游戏开始时，小偷在第 4 行第 4 列，警察在第 10 行第 10 列．小 偷警察轮流走，小偷先行．小偷 1 步能走到与所在格子有公共边的格子中，轮到小偷时也可以选择不动．警察 1 步可走 2 次，每次能走到与所在格子有公共边的格子中．当警察和小偷在同一格子中时，警察就能抓住小偷．要 确保抓住小偷，警察至少要走__________步．
6 3<19 ，所以只能是中、小。 19 12 7 ，中+小=7 元。 讨论得中（6）小（1）.
迎迎： 25 12 6 6 1 ； 新新： 25 12 12 1 ； 年年： 7=6+1 所以三种红包的乘积： 12 6 1=72 . 10. 将一个正八面体的 8 个三角形表面涂上红、黄两种颜色，每种颜色各涂 4 个面，那么，一共有 种不同 的涂色方法． （经过旋转、翻转可以重合的均算作同一种涂色方法）