职高数学基础知识点

职高数学基础知识点
一．集合：
1.集合的交、并、补运算。

练：已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集A={1,3,5,9},集B={2,5,7,9} 求A ∩B, C U (B ∪A) 答案：｛5，9｝，｛0，4，6，8｝
2.弄清集合的关系符号：⊇⊆∉∈
,,,以及常见数集：R 、Q 、Z ，N 练：用适当的符号填空
0___Φ, 0___{0}, a___{a,b,c}, {a}___{a,b,c}, 2____Z, {0}___N, 0___Q, {-2,3}___[-2,3], 0 {x<5}, 0 {x/x<5}, 0 (-2,5), 0 [-1,5].
答案：∈∈∈∉⊆∈⊆∈⊆∈∈∉;;;;;;;;;;;
3.充分与必要条件：q p ⇒则p 是q 的 条件；q p ⇐则p 是q 的 条件。

练：1、“集合A ∩B=A ”是“集合A 是B 的子集”的 条件。

2、“x 2
-4=0”是“x=2”的 条件。

答案（充要，必要） 二．不等式：
1.不等式的基本性质：c a c b b a >⇒>>, ；c b c a b a ±>±⇔> ；
d b c a d c b a +>+⇒>>{；0{0{>>⇔>>c bc ac c b a ；0{0{<<⇔<>c bc
ac c b a bd ac d c b a >⇒>>>>0
{
；n n b a b a >⇒>>0 2.解不等式：
一元一次不等式及不等式组：不等式1432
2411{->--+
<--x x x
x x 的解集为 答案：)54,1(- 一元二次不等式：变正（二次项系数化正）；求根（求对应一元二次方程的两根）；写解（不等式是大于0，解集为两根之外；不等式是小于0，解集为两根之间） 绝对值不等式：）
结果是两不等式的或并(m b ax m b ax m b ax -<+>+⇔>+ )(交结果是两不等式的m b ax m m b ax <+<-⇔<+（m 〉0） 练：求下列不等式的解：
022<-x x ； 092≤-x ； 0432>+-x x ；答案：)4,1(];3,3[);,2()0,(--+∞-∞ 25≥-x ； 412<+x ；
0)23)(2≥+-x x （；答案：]2,2
3
[);23,25();,7[]3,(--+∞-∞ 三．函数：
1.函数定义域（一看分母：分母不为零，二看根号，开偶次方被开方数非负，三看对数：真数大于零、底数大于零且底数不等于1）
2.求函数值：已知223)(x x x f --=，则=-)1(f 答案： 4
3.函数奇偶性：)()(x f x f =-则函数是偶函数，图象关于y 轴对称 )()(x f x f -=-则函数是奇函数，图象关于原点对称。

练：判断下列函数的奇偶性：
x x f x
x x f x x f x x f 2)(;531)(;)(;2)(2
2
=-==-= 答案：偶、非奇偶、奇、非奇偶
4.函数单调性：图象上升，函数在对应x 区间上是增函数，x 、y 的大小关系一致。

图象下降，函数在对应x 区间上是减函数，x 、y 的大小关系相反。

5.二次函数：一般式：c bx ax y ++=2
，其中顶点)44,
2(2
a
b a
c a b -- 顶点式：k h x a y +-=2)(，其中),(k h 为顶点坐标。

交点式：))((21x x x x a y --=，其中抛物线与x 轴交点为)0,(),0,(21x x 附：一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆（0>∆方程有二个不等实根；
0=∆方程有两个相等实根；0<∆方程没有实根）
一元二次方程求根公式a ac b b x 242-±-=；根系关系a
c
x x a b x x =-=+2121;
练：223x x y --=在区间 上是增函数，有最 值 。

答案)1,(--∞，大，4
6.指数运算性质：n n
n
m n m
mn n m n
m n m n
m m n a
a
a a
a a a
a a a
a a 1;;)(;,====÷=⨯--+ 注意：运算时同底是关键，小数先化成分数，负指数化成正指数，底数化为最简数幂的形式，根式化为指数式。

7.对数及运算：对数、指数式互化 b N N a a b
=⇔=log 常见结论：11
log ;1log ;01log ;;1;1log 10-=====
=-a
a N a a a a a a a N a 对数运算公式：N
M
N M MN M N a
a a a a a log log log ;log log log =-=+ a
b
b N n N a a n a lg lg log ;log log ==换底公式：
练：计算：2)31(--； 31
)125.0(--； 8log 2； 4
1
log 5log 31lg 24510--+-
答案：9 ； －2 ； 1.5 ； 4 8.指数、对数函数：
指数函数：)1,0(≠>=a a a y x 定义域R ，值域R +，过点P （0，1）
1>a 时，函数在R 上是增函数；10<<a 时，函数在R 上是减函数。

图象：
对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 定义域R +，值域R ，过点P （1，0）。

a
+0+上是减函数。

图象：
练：解不等式：0421<-+x x ；0)1(log )1(log 5.05.0≥-++x x 答案),2(+∞-；]2,1( 四．三角函数： 1. 角的象限的判断：
πππ--,5
7
,75的象限分别是多少？答案：2；2；x 轴 2.三角函数的定义：α角终边上一点P （x,y ），得到三个量x,y,r 确定六个比（重点注
意前三个）：x
y
r x r y ===
αααtan ;cos ;sin 3.三角函数符号：
在一三象限时为正）（在一四象限时为正）；（在一二象限时为正）；（ααααααtan cos sin 特殊角的三角函数值：
4.诱导公式：（第一类）ααααααtan )tan(..........cos )cos(..........sin )sin(-=-=--=-
αππαααπαααπtan )tan((cos (cos )cos(.(sin (sin )sin(=+⎩
⎨⎧-=+⎩⎨⎧-=+n n n n n n n 为奇数）为偶数）为奇数）为偶数）
（第二类）： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-x x x x x x o o o cot )90tan(sin )90cos(cos )90sin( ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+-=+=+x x x x x x o o o cot )90tan(sin )90cos(cos )90sin(
口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
练： 1、已知角x 终边过点P （-2，1），求sinx,cos(1800-x),tan(x-1800)的值。

2、求值：)240sin(0-；)323cos(π-
；)6
19
tan(π- 答案：,552,55-21；;21;23-33
5.同角公式：x x
x
x x tan cos sin ..;1cos sin 22==+商数关系：平方关系：
6.和角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
7.倍角公式： ααααα2
2
2
2
sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= αααcos sin 22sin ⋅=
8.常见结论： x x x 2sin 1)cos (sin 2±=±；x x 2cos 22cos 1=+；x x 2sin 22cos 1=- 练：1.已知2
3,33cos παπα<<-
=，求)45cos(,2sin ;tan o -ααα的值。

答案：6
3
26;3
2
2;
2+-
2、已知x x cos -sin =
36
，求x x 4cos ,2sin 的值。

答案（9
7,31） 3.已知2
1
)4sin(=-x π，x 为锐角，则=+x x cos sin 答案：26
4、已知tanx=-2,求sin2x 值。

答案：（-,5
4
）
9.三角函数的图象和性质： )sin(ϕω+=x A y 的最值A ； 周期ω
π
2=T
10.解三角形： 面积公式：A bc B ac C ab S sin 21
sin 21sin 21===
正弦定理：C c
B b A a sin sin sin ==或
C B A c b a sin :sin :sin ::= 余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos cos 22
222
2
2
-+=⇒-+=
练：1、函数y=-)5
-3sin(5π
x 的最大值和周期是多少？ 答案（32,5π）
2、三角形ABC 中，三边a=3,b=5,c=7，求角C 和三角形的面积。

答案（1200，34
15
）
3、三角形ABC 中，sinA=
2
2
,求角A 的度数。

答案（450或1350） 五．数列：
1.等差数列：定义：d a a a a ==-=-......2312（常数） ；d a a n n =-+1（常数） 通项公式：d n a a n )1(1-+= ⇒-+=d m n a a m n )(d m n a a m n )(-=- 求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2.等比数列：定义：
q a a a a a a === (34)
2312（常数） q a a n
n =+1（常数） 注意：0;0≠≠q a n
通项公式：11-⋅=n n q a a ⇒
=-m n m n q a a m n m
n
q a a -= 求和公式：)1(1)11(11≠--=--=
q q
q a a q q a S n n
n 3.等比、等差中项：ab D b a b
a D
b a ±+＝的等比中项，；＝
的等差中项2
,（ab>0） 主要思想：1.列方程或方程组 2.等差注意式子的和、差；等比注意式子的积、商。

六．排列组合：
排列数公式：)!
(!
)1)......(2)(1(m n n m n n n n P m n -=
+---=
123)......3)(2)(1(!⨯⨯---==n n n n n P n n
组合数公式：)!
(!!
!m n m n m P C m n m n
-== 组合数性质：m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+ 常见组合值：n C C C n n n n
====1
0;....1;....1!0 说明：1.解应用题时注意弄清是排列还是组合问题。

2.正确分类、分步。

3.有条件件限
制的应先安排条件限制的元素或位置。

练：计算：11021033332525!0!5C C C P C P +--+-+- 答案：99
七．解析几何：
1.直线倾角α：直线向上的方向和x 轴正向的夹角；),0[πα∈
2.直线的斜率k: )90(tan o k ≠=αα 倾角为90o 的直线斜率不存在。

3.斜率公式：已知),(),,(2211y x B y x A ，则直线AB 斜率1
21
2x x y y k --=
4.直线方程： 点斜式：)(00x x k y y -=- 斜截式：b kx y += 一般式：0=++C By Ax ，其中斜率B A k -
=,截距B
C
b -=. 6.两直线位置关系：直线0:;0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
则：
重合平行；相交；⇒==⇒≠=⇒=2
121212*********..........C C
B B A A
C C B B A A B B A A 7.点）（00,y x P 到直线0=++C By Ax 的距离2
2
00B
A C
By Ax d +++=
8.圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-其中),(b a 为圆心坐标，r 为圆半径。

9.圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x
其中圆心坐标为)2
,2(E
D -- 半径2
422F
E D r -+=
10.直线和圆的位置关系：圆心到直线的距离d 和半径r d>r 时相离； d=r 时相切；d<r 时相交
11.过点)(00y x P 且和圆2
2
2
r y x =+相切的直线方程为：2
00r y y x x =+ 12.椭圆：
定义：到两定点（焦点）的距离之和为常数（2a ）的点的轨迹。

方程：)0(122
22>>=+b a b
y a x 焦点在x 轴上，焦点)0,(c F ±，顶点),0(),0,(b a ±±
)0(122
22>>=+b a a
y b x 焦点在y 轴上，焦点),0(c F ±，顶点)0,(),,0(b a ±± 离心率)10(<<=e a
c
e 其中222c b a += 焦点位置看分母大小 13.双曲线：
定义：到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数（2a ）的点的轨迹。

方程：12222=-b y a x 焦点在x 轴上，焦点)0,(c F ±，顶点)0,(a ±，渐近线x a b
y ±=
12222=-a
y b x 焦点在y 轴上，焦点),0(c F ±，顶点),0(a ±，渐近线x b a
y ±=
离心率)1(>=
e a
c
e 其中222a b c += 焦点位置看符号 14.抛物线：2
),0,2(x 0p 22p
x p px y -==准线方程为：轴正向，坐标为）焦点在〉（
2),0,2(x 0p 22p
x p px y ==准线方程为：－轴负向，坐标为）焦点在〉（－
2),2,0(y 0p 22p
y p py x -==准线方程为：轴正向，坐标为）焦点在〉（
2
),2,0(y 0p 22p
y p py x =--=准线方程为：轴负向，坐标为）焦点在〉（
练：1.已知)4,6(),0,2(--B A ，则AB 的中垂线方程为 答案：2x-y-6=0
2.直线x+2=0的倾斜角为 ；直线x+y －6=0的倾斜角为 .答案：00135;90
3.过点P （－1，2）且和直线L ：x+2y=0平行的直线方程为 ；过点P 且和L 垂直的直线方程为 答案：x+2y-3=0；2x-y+4=0
4.圆心为P （1，0）且过点Q （－2，1）的圆方程为 答案：10)1(22=+-y x
5.过圆4222=-+y y x 上一点)2,2(-P 的圆的切线方程为 答案：062=+-y x
6.双曲线4422=-y x 的焦点为 实轴长为 ，渐近线为 离心率为 答案：5;2;2);0,5(=
±=±e x y
7.准线为y=-2的抛物线方程为 答案： y x 82= 9.圆心在y 轴，半径为4，且和直线3x －4y=0相切的圆方程为 答案：16)5(22=±+y x。