数值分析课件_高斯求积公式

，使得
Def 1如果一组节点 x0 , x1 ,, xn [a, b]
上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组 节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。 例题： •五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度？ 例1：构造下列积分的Gauss求积公式：

1
1
f ( x ) xdx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
2n+2个未知数， 2n+2个方程的非线性方程组
n { A } 问题：如何计算Gauss点 xk k 及求积系数 k k 0 ？ 0
n
方法二：两步走
1. 先确定Gauss求积节点{ x 2. 计算求积系数{ A
n k k 0
n k k 0
}
}
①从代数精度的定义出发，求解线性方程组； 或②用系数的表达式直接计算。
分析：因为n=1,所以Guass求积公式具有3次代数精度。分别 2 3 取 f ( x) 1, x, x , x, 得到关于A0 , A1 , x0 , x1 的方程组，求解非线性 方程组得到求积系数和求积节点。
n { A } x 问题：如何计算Gauss点 k k 及求积系数 k k 0 ？ 0
一、 Gauss积分问题的提法 积分公式的一般形式： I n (
f ) Ak f ( xk )
k 0
n
为了提高代数精度，需要适当选择求积节点: ①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1 ②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
( x) 1

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
n
其中求积节点 多项式的零点
xk k 0 [a, b] 是n+1次Legendre
n
k 0
求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式
( x xi ) Ak dx 1 i 0 ( xk xi )

b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx Ak p( xk ) n1 ( xk )
充分性
0 对于 f ( x ) H 2 n1
其中
f ( x) p( x )n1( x ) q( x )
p, q H n

b a
f ( x ) ( x )dx p( x )n1 ( x ) q( x ) ( x )dx a
n 1 个求积系数，共2n 2 个未知量， n 1 个求积节点， 2 n1 , 使公 需要2n 2 个方程，因此可以取 f ( x) 1, x, x
式精确成立，从而求出求积节点和系数。
Th5.5.1形如
证明：

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
或

1
1
f ( x )dx A0 f (
1 3
) A1 f (
1 3
)
A0 l0 ( x )dx 1, A1 l1 ( x )dx 1
a a
b
k 0 b
f ( x ) H 2n1 ( x ) ( x )dx a ( 2 n 2 ) b f ( ) 2 n1 ( x ) ( x )dx a ( 2n 2)! ( 2 n 2 ) f ( ) b 2 n1( x ) ( x )dx
§5 Gauss求积公式
积分公式的一般形式： I
/*Gauss Quadrature Formula */
n
( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
插值型的求积公式至少有n次代数精度，至多有多少 次的代数精度？ Newton—Cotes求积公式中的求积节点是等距选取 的，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制； 如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到 最高的代数精度？
(b a ) (b a ) x t , t [1,1] 2 2
Legendre正交多项式
P0 ( x ) 1
1 d n1 2 n 1 Pn1 ( x ) ( x 1) n 1 n 1 ( n 1)! 2 dx n 0,1, 2,
(2n)! 是首系数为 的n 1 次正交多项式，权 Pn1 ( x) n 2 2 (n!) 函数为 ( x) 1
Gauss求积公式中求积系数的求法 设已知Gauss点
n
x k k 0 [ a , b ]
b a
由代数精度定义，得到n+1阶线性方程组：
A x
k 0 k j k
n
( x ) x dx
j
j 0,1, , n
或者
Ak ( x )lk ( x )dx ( x )
k 0 ( 2 n 2 )
H 2 n1 ( xk ) f ( xk ) n1 ( xk ) f ( xk ) H2
k 0,1, 2, , n
( 2 n 2 )
f ( ) 2 f ( x ) H 2n1 ( x ) n1 ( x ) (2n 2)!
a n
2 n1
( x )dx 0
故求积公式不能精确成立。
k 0
k
k
下面讨论一般积分形式：

b a
f ( x ) ( x )dx
其中 ( x )
0为权函数
n
构造积分公式（*）

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
具有2n+1次代数精度。 求积节点 求积系数
b
其中
a x0 x1 xn1 xn b
Ak
a
k 0,1,, n
b a
与被积函数无关
n
Ak ( x )lk ( x )dx ( x )
j 0 jk
x xj xk x j
dx
求积系数的特征：
A
k 0 k
n
b
a
( x )dx
1 n ik
k 0,1, 2, , n
P n 0 时， 1 ( x ) x 零点x0 0 ，构造求积公式：

求 A0 ：
或
1
1
f ( x )dx A0 f (0)
2
令 f ( x) 1 ，代入公式精确成立，得到： A0
A0 l0 ( x )dx 2
1
1
( 2n 2)!
a
b
积分第一 中值定理
Gauss求积公式的稳定性
A
k 0 k
n
b a
( x )dx
Th5.5.3 Gauss型求积公式（*）总是稳定的。
证明： 只需证明： A
k
0 k 0,1,, n
因为Gauss型求积公式（*）对所有不超过2n+1次的多 项式都精确成立： 取
k 0 k 0
n

三、 Gauss求积公式的构造
根据前面的讨论，只需要取n+1次正交多项式的n+1个 零点为求积节点，构造的求积公式即为Gauss求积公式
下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例 区间的转化问题 任意区间 [a , b] 经过下列变换可变为区间
[ 1, 1]
正交性
递推关 系
1 2 P2 ( x ) (3 x 1) 2
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
0 i j 1 1 Pi ( x ) Pj ( x )dx 2 2 j 1 i j
奇偶性
Pn ( x) (1) P( x)
n
Gauss-Legendre求积公式
Ak ( x )lk ( x )dx
a
b
二、 Gauss求积公式的性质
Th5.5.2插值型求积公式（*）的节点 xk k 0 [a , b]
n
Gauss求积公式存在的条件
是Gauss点的充要条件是以这些节点为零点的多项式
n1 ( x ) ( x xk )
b
n n
b
q( x ) ( x )dx Ak q( xk ) Ak f ( xk )
a
k 0 k 0
即求积公式（*）对一切不超过2n+1次的多项式精确成立
所以节点
xk k 0 [a, b] 是Gauss点
n
[a , b] 上带权的n+1次正交多项式 上述定理表明： 的零点就是求积公式（*）的Gauss点
a a j 0 jk
b
b
n
x xj xk x j
dx
Gauss求积公式的余项
Rn [ f ] I Ak f ( xk )
n
证明： 设 H ( x ) 是满足下列条件的Hermite插值 2 n1
f ( ) b 2 n1 ( x ) ( x )dx (2n 2)! a
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:

b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
则
因为
x0 , x1,, xn [a, b] 是Gauss点
n k 0
p( x )n1 ( x ) H 2n1


b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n


2

a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a



b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
Rn [ f ] I Ak f ( xk )
k 0
n
H2n1( xk ) f ( xk )
公式有 2n+1次代 数精度
f ( x ) ( x )dx Ak H 2n1 ( xk )
b a
n
f ( x ) ( x)dx H 2n1( x ) ( x )dx

1
1
Pn1 ( x )q( x )dx 0 q( x ) 为不超过 n 次的多项式
Pn1( x) 在 [1,1]有n 1 个不同的实零点，且关于原点对
称
(n 1) Pn1( x) (2n 1) xPn ( x) nPn1( x), n 1, 2,
P 1( x) x
n
方法一：从代数精度的定义出发，求解非线性方程组； 由代数精度定义，当
f ( x ) 1, x,, x , x
2n
n k 0
2 n1
时，
求积公式
n
I n ( f ) Ak f ( xk )精确成立：
j k b a
A x
k 0 k
( x ) x dx
j
j 0,1,, 2n 1
f ( x) l ( x) lk ( x ) 是n次的Lagrange插值基函数
2 k

2 a k
b
Байду номын сангаас
l ( x ) ( x )dx A l ( x j )
j 0 2 j k
n
k 0,1, 2, , n
Ak 0
Gauss求积公式的收敛性
Th5.5.4 设 f C [a , b]
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n

N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
一点Gauss-Legendre求积公式

1
1次代数精度
1
f ( x )dx 2 f (0)
构造求积公式：
1 1 1 2 , x1 n 1 时， P1 ( x ) (3 x 1) ，零点 x0 3 3 2
求 A0 , A1 ： 令 f ( x ) 1, x ，代入公式精确成立，得到： A0 A1 1