高斯求积公式
4。4高斯型求积公式
=
A
1
=1
于是得到求积公式
华长生制作
∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
4.3高斯型求积公式
有
I=
b a
f ( x )dx 0,
n
而数值积分
In
Ak f ( x k )
k0
n
Ak n 1 ( x k ) 0
2
k0
故 最 高 可 能 代 数 精 度 为 2n + 1.
高斯求积公式
定 义 7- 1： 如 果 求 积 公 式
b
f ( x )d x
a
k=0
1 1
f ( x )d x
k=0
n
Ak f ( x k )
称 为 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 ， 具 有 2n 1 次 代 数 精 度 。 其 中 G a u ss 点 x k , 及 求 积 系 数 A k 可 查 表 求 得 .
点 数 1 2
xk
Ak
点 数 6
xk
Ak
0
n
Ak f ( x k ) 对 于
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定 义 7- 2： 若 插 值 求 积 公 式
b a
f ( x )d x
k =0
n
Ak f ( x k )
具 有 2n 1 次 代 数 精 度 ， 则 称 该 插 值 求 积 公 式 为 高 斯 求 积 公 式 ， 其 中 结 点 xk 称 为 高 斯 点 ； 求 积 系 数 Ak 称 为 高 斯 求 积 系 数 。
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。
下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。
高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。
2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。
节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。
权重则反映了在积分计算中节点的重要性。
3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。
4.使用勒让德多项式进行重写。
勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。
即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。
6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。
积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。
7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。
一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。
需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。
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x m ( x)dx,
0
x f ( x)dx 0.389111 f (0.821162)
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组较复杂， 故一般不通过解方程
通常 n 2就很难求解.
求xk 及Ak (k 0,1,, n) ，
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
7
1
0
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A 1 f ( x1 ).
x0 0.821162, A0 0.389111,
x1 0.289949; A1 0.277556.
m 0,1, ,2n 1.
这样，高斯公式是 A xm
k 0 1
n
k
b
a
4
根据定义要使求积公式具有 2n 1次代数精度，只要对
f ( x) x (m 0,1, ,2n 1),
m
令 a f ( x) ( x)dx Ak f ( xk ),
b k 0
n
精确成立，
m A x x k ( x)dx, k 0 m k b a n
a
a
10
由于求积公式是插值型的， 即
b a n 1
它对于q( x) H n 是精确的，
n
P( x) ( x) ( x)dx 0. q( x) ( x)dx A q( x
b a k 0 k
k
).
再注意到
n1 ( xk ) 0 (k 0,1,,n),
知
q( xk ) f ( xk ) (k 0,1,,n),
从而有
a
b a
b
b f ( x ) ( x ) d x q (x x ) ((x x ) d x f ( x) ( x)dx q ( ) ) d x . Ak f ( xk ).
a
a
b
n
k 0
11
可见求积公式对一切次数不超过
2n 1 的多项式均精
确成立. 因此， xk (k 0,1,, n)为高斯点. 定理表明在 [a, b]上带权 ( x ) 的 n 1次正交多项式的 零点就是求积公式的高斯点. 有了求积节点 xk (k 0,1,, n)，再利用
A x
k 0 k
P( x) ( x) ( x)dx A P( x f ( x) ( x)dx A f ( x ),
b a
b
n
n 1
n
a
因 n 1 ( xk ) 0(k 0,1,, n), 故成立.
b 对于 充分性. P( x (x )1 H , )用 )f (x ) (1x dx n 0 .( x) 除 f ( x) ， 1 2n n a
I ( g ) ( x) g ( x)dx 0
a
b
I n Ak g ( xk ) 0( g ( xk ) 0)
k 0
n
对2n 2次多项式不精确成立。
3
定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式 的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互 异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型 求积公式。
这里 ( x ) 为权函数， 求积公式为
b
a
f ( x) ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
的求积系数. Ak (k 0,1,, n) 为不依赖于 f ( x ) 为求积节点， xk (k 0,1,, n) 适当选取 使其具有最高 次代数精度
xk 及Ak
2
定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 不超过2n+1. 证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)2
n
m k
x m ( x)dx
a
b
对 m 0,1,, n成立，则得到一组关于求积系数 A0 , A1 ,, An
m 0,1, ,2n 1.
当给定权函数 ( x ) ，求出右端积分，则可解得
xk 及Ak (k 0,1, , n).
5
例5
试构造下列积分的高斯求积公式：
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A 1 f ( x1 ).
得
1
0
解 令公式(5.3)对于 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 准确成立，
2 A A ; 0 1 3 x0 A0 x0 A0 2 2 x0 A0 x1 A1 x3 A x3 A 0 0 1 1
2 ; 5 2 ; 7 2 . 9
6
由此解出
x0 x1
5 , 21
x0 x1
10 , 9
从而
k 0
kk 0
k
k
)n 1 ( xk ).
k
记商为 P ( x ), 余式为 q ( x), 即 f ( x) P( x)n1 ( x) q( x) ,
其中 P( x), q( x) H n.
b
a
b P( xb ) ( x ) ( x ) d x 0( . x) ( x)dx. fn ( x q 1) ( x)dx
1.
求积公式
一般理论
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk )
含有 2n 2个待定参数 xk , Ak (k 0,1,, n). 当 xk为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至 少为 n次.
1
为具有一般性，研究带权积分 I b f ( x) ( x)dx, a
b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.
证明 必要性. 设 P( x) H n , 则 P( x) n1 ( x) H 2 n1 ,
9
因此，如果 x0 , x1 ,, xn 是高斯点，则求积公式对于
f ( x) P( x)n 1 ( x) 精确成立，即有
8
b
a
f ( x) ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
定理5 插值型求积公式的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
与任何次数不超过 n 的多项式 P ( x ) 带权 ( x ) 正交，即