高斯求积公式

知
q( xk ) f ( xk ) (k 0,1,,n),
从而有
a
b a
b
b f ( x ) ( x ) d x q (x x ) ((x x ) d x f ( x) ( x)dx q ( ) ) d x . Ak f ( xk ).
a
a
b
n
k 0
P( x) ( x) ( x)dx A P( x f ( x) ( x)dx A f ( x ),
b a
b
n
n 1
n
a
因 n 1 ( xk ) 0(k 0,1,, n), 故成立.
b 对于 充分性. P( x (x )1 H , )用 )f (x ) (1x dx n 0 .( x) 除 f ( x) ， 1 2n n a
2 A A ; 0 1 3 x0 A0 x0 A0 2 2 x0 A0 x1 A1 x3 A x3 A 0 0 1 1
2 ; 5 2 ; 7 2 . 9
6
由此解出
x0 x1
5 , 21
x0 x1
10 , 9
从而
n
m k
x m ( x)dx
a
b
对 m 0,1,, n成立，则得到一组关于求积系数 A0 , A1 ,, An
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b
a
f ( x) ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
定理5 插值型求积公式的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
与任何次数不超过 n 的多项式 P ( x ) 带权 ( x ) 正交，即
m 0,1, ,2n 1.
当给定权函数 ( x ) ，求出右端积分，则可解得
xk 及Ak (k 0,1, , n).
5
例5
试构造下列积分的高斯求积公式：
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A 1 f ( x1 ).

得
1
0
解 令公式(5.3)对于 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 准确成立，
k 0
kk 0
k
k
)n 1 ( xk ).
k
记商为 P ( x ), 余式为 q ( x), 即 f ( x) P( x)n1 ( x) q( x) ,
其中 P( x), q( x) H n.

b
a
b P( xb ) ( x ) ( x ) d x 0( . x) ( x)dx. fn ( x q 1) ( x)dx

a

a
10
由于求积公式是插值型的， 即
b a n 1
它对于q( x) H n 是精确的，
n
P( x) ( x) ( x)dx 0. q( x) ( x)dx A q( x
b a k 0 k
k
).
再注意到
n1 ( xk ) 0 (k 0,1,,n),
1.
求积公式
一般理论

b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk )
含有 2n 2个待定参数 xk , Ak (k 0,1,, n). 当 xk为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至 少为 n次.
1
为具有一般性，研究带权积分 I b f ( x) ( x)dx, a
I ( g ) ( x) g ( x)dx 0
a
b
I n Ak g ( xk ) 0( g ( xk ) 0)
k 0
n
对2n 2次多项式不精确成立。
3
定义 若n+1个互异节点的插值型求积公式 的代数精度达到2n+1次，则称此n+1个互 异节点为高斯点， 此求积公式为高斯型 求积公式。
x m ( x)dx,
0
x f ( x)dx 0.389111 f (0.821162)
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组较复杂， 故一般不通过解方程
通常 n 2就很难求解.
求xk 及Ak (k 0,1,, n) ，
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
11
可见求积公式对一切次数不超过
2n 1 的多项式均精
确成立. 因此， xk (k 0,1,, n)为高斯点. 定理表明在 [a, b]上带权 ( x ) 的 n 1次正交多项式的 零点就是求积公式的高斯点. 有了求积节点 xk (k 0,1,, n)，再利用
A x
k 0 k
4
根据定义要使求积公式具有 2n 1次代数精度，只要对
f ( x) x (m 0,1, ,2n 1),
m
令 a f ( x) ( x)dx Ak f ( xk ),
b k 0
n
精确成立，
m A x x k ( x)dx, k 0 m k b a n
7

1
0
x f ( x)dx A0 f ( x0 ) A 1 f ( x1 ).
x0 0.821162, A0 0.389111,
x1 0.289949; A1 0.277556.
m 0,1, ,2n 1.
这样，高斯公式是 A xm

k 0 1

n
k
k

b
a
这里 ( x ) 为权函数， 求积公式为
b

a
f ( x) ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
的求积系数. Ak (k 0,1,, n) 为不依赖于 f ( x ) 为求积节点， xk (k 0,1,, n) 适当选取 使其具有最高 次代数精度
xk 及Ak
2
定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 不超过2n+1. 证：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)2

b
a
P( x) n 1 ( x) ( x)dx 0.
证明 必要性. 设 P( x) H n , 则 P( x) n1 ( x) H 2 n1 ,
9
因此，如果 x0 , x1 ,, xn 是高斯点，则求积公式对于
f ( x) P( x)n 1 ( x) 精确成立，即有