数值分析4。4高斯型求积公式
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Gauss型求积公式
Gauss型求积公式 一、Gauss型求积公式 定义： 个节点的具有2 定义 ： 把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式， 称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式 （ =0， 称为高斯点 高斯点， 高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 个高斯点构造基函数， 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。 系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性 ： 设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余 项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549
4。4高斯型求积公式
=
A
1
=1
于是得到求积公式
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∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析(高斯求积公式)
2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
数值分析-高斯求积分
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
4.3高斯型求积公式
k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
高斯求积公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
gauss型求积公式系数和
高斯（Gauss）求积公式的系数和确定方法如下：确定节点：首先确定求积公式所使用的节点，这些节点通常选择为高斯点。
构造高斯型求积公式：根据所选的节点，构造高斯型求积公式。
高斯型求积公式的一般形式为：∫f(x)dx≈∑(A*f(x_i))，其中A是求积系数，x_i是高斯点。
确定求积系数：通过求解线性方程组来确定求积系数。
具体地，根据高斯型求积公式的构造原理，可以建立一个线性方程组，该方程组由节点处的函数值和高斯型求积公式中的求积系数组成。
解这个线性方程组可以得到求积系数。
验证求积公式的精度：通过数值试验来验证求积公式的精度。
例如，可以选择一些已知的函数进行测试，比较使用高斯型求积公式计算的结果与真实值之间的误差。
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
高斯(Gauss)求积公式
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
计算物理
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )
a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
0
计算物理
计算物理
以 2 ( x )的零点x0
2 5
, x1
2 5
作为高斯点。
两点高斯公式 n 1, 应 有3次 代 数 精 度 ， 求 积 公 形 式如
1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
将f ( x ) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 ， 其 令成 为 等 式 。
计算物理计算物理例 Nhomakorabea对积分 f ( x )dx， 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
计算物理
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )
a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
0
计算物理
计算物理
以 2 ( x )的零点x0
2 5
, x1
2 5
作为高斯点。
两点高斯公式 n 1, 应 有3次 代 数 精 度 ， 求 积 公 形 式如
1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
将f ( x ) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 ， 其 令成 为 等 式 。
计算物理计算物理例 Nhomakorabea对积分 f ( x )dx， 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使
四点高斯勒让德积分公式的节点与系数
一、概述高斯勒让德积分（Gauss-Legendre integration）是数值分析中常用的一种数值积分方法，其基本思想是利用插值多项式近似被积函数，通过求解多项式的根和系数来计算积分值。
在本文中，我们将重点讨论四点高斯勒让德积分公式中的节点与系数。
二、四点高斯勒让德积分公式四点高斯勒让德积分公式是指利用4个节点来进行数值积分的方法，在区间[-1, 1]上的积分公式可以表示为：\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{4} w_if(x_i) \]其中，\(h\)为步长，\(w_i\)为各节点处的权重，\(x_i\)为各节点的值。
三、节点的选择在四点高斯勒让德积分公式中，节点的选择需要满足Legendre多项式的根的要求，通常可以通过求解Legendre多项式的根来确定节点的值。
Legendre多项式的根可以通过高斯求积公式来确定，根据高斯求积的性质，可知取得高斯求积最高准确度的3次多项式的根为：\[ x_1 = -0.xxx \]\[ x_2 = -0.xxx \]\[ x_3 = 0.xxx \]\[ x_4 = 0.xxx \]四、系数的计算系数的计算是通过数值积分公式中的权重来确定的。
在四点高斯勒让德积分公式中，系数的计算可以通过一定的数值方法来求解，通常可以利用数值积分的加权残差来确定。
在四点高斯勒让德积分中，对于权重的计算有一定的推导方法，最终可以得到四个权重的值为：\[ w_1 = 0.xxx \]\[ w_2 = 0.xxx \]\[ w_3 = 0.xxx \]\[ w_4 = 0.xxx \]五、总结四点高斯勒让德积分公式的节点与系数的选择对于数值积分的精度和稳定性具有重要影响。
通过合适的节点选择和权重计算，可以有效地提高数值积分的准确性，适用于更广泛的数值计算领域。
希望本文对于四点高斯勒让德积分公式的节点与系数有一定的参考价值。
高斯求积公式.ppt
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos
(2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x
2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
高斯Gauss求积公式.ppt
i0
1
2
ti 0.861136 0.339981 0.339981
Ai 0.347855
0.652145 0.652145
xi 0.069432
0.330009
0.669991
Ai 0.173927
0.326073 0.326073
于是
1
f ( x)dx 0.173927 f (0.069432)
(r+1)
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk)
这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是
次数≤n的多项式。
b
b
b
(x) f (x)dx a
a ( x)q( x)Pn1( x)dx
( x)r( x)dx
a
数值分析
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低
k0
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d
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1 n ik
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。
b
a
x lk x dx, k 0,1,n
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
1
1 x
2
f x dx
f 2
f 2
2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4 x3 3x ，三点 Gauss-Chebyshev求积公式为 3 1 1 3
1
1 x
2
f x dx
f 0 f f , 3 2 2
华长生制作
12
由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同
的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数
x 1,
，取正交多项式为Legendre多
项式
n 1 1 d n1 2 Pn1 x x 1 n 1!2n1 dxn1
零点为 x0
15 , x1 0, x2 5
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式
1
1
f x dx
5 f 9
15 8 5 15 f 0 f . 5 9 9 5
式对于 Px n1 x 是准确成立的，即有
b
a
x P x n 1 x dx Ak P xk n 1 xk
k 0
n
但 n1 xk 0, k 0,1,2n 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f ( x) P x n1 x Q( x) 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
A x
1 1
2
1 3
A x 由第二式和第四式可得 x
取
3 0
2 0
A x 0. x ，结合第一式和第三式得 x
1
1
x
2
1
1 . 3
x0
1 1 , x1 3 3
得
A
1 1
0
A
1
1
于是得到求积公式
华长生制作
1 1 f x dx f f 3 3
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
华长生制作 5
由插值余项
R[ f ]
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,
, n 为Gauss点的求积公式为
1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
华长生制作
13
系数
x xi Ak dx , 1 i 0 xk xi
华长生制作
20
3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 x x e 间[0， ，取节点xk k 0,1, , n ]，权函数取为 为n+1次拉盖尔多项式
d n 1 n 1 x Ln 1 x e x e n 1 dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 2 1 1 1 2 x I x e dx (t 1) e 1t / 2 dt 0 8 1 2 令 f t 1 t e1t / 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
1 P x (5 x 2 3 x), 当n=2时，三次Legendre多项式 3 2
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
1 5 I 8 9 15 8 5 f 0 f 5 9 9 15 f 5 0.718251799
，从而有
b
a
x f x dx
A
k 0
n
k
f xk
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。
x k
k
0, 1 ,n
华长生制作
9
由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
Tn1 x cos[(n 1) arccosx]
的零点为 xk cos
2k 1 , k 0,1, , n. 2n 2
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
Ak
1
1 1 x
2
1
lk x dx
n 1
, k 0,1, n.
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有
1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
华长生制作
4
定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 称该公式高斯型求积公式，称 其 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
其中 lk
x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss18
Chebyshev求积公式如下
华长生制作
1
1 1 x
2
1
f x dx
f x , n 1
k 0 k
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。
b
a
x lk x dx, k 0,1,n
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
1
1 x
2
f x dx
f 2
f 2
2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4 x3 3x ，三点 Gauss-Chebyshev求积公式为 3 1 1 3
1
1 x
2
f x dx
f 0 f f , 3 2 2
华长生制作
12
由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同
的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数
x 1,
，取正交多项式为Legendre多
项式
n 1 1 d n1 2 Pn1 x x 1 n 1!2n1 dxn1
零点为 x0
15 , x1 0, x2 5
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式
1
1
f x dx
5 f 9
15 8 5 15 f 0 f . 5 9 9 5
式对于 Px n1 x 是准确成立的，即有
b
a
x P x n 1 x dx Ak P xk n 1 xk
k 0
n
但 n1 xk 0, k 0,1,2n 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f ( x) P x n1 x Q( x) 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
A x
1 1
2
1 3
A x 由第二式和第四式可得 x
取
3 0
2 0
A x 0. x ，结合第一式和第三式得 x
1
1
x
2
1
1 . 3
x0
1 1 , x1 3 3
得
A
1 1
0
A
1
1
于是得到求积公式
华长生制作
1 1 f x dx f f 3 3
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
华长生制作 5
由插值余项
R[ f ]
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,
, n 为Gauss点的求积公式为
1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
华长生制作
13
系数
x xi Ak dx , 1 i 0 xk xi
华长生制作
20
3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 x x e 间[0， ，取节点xk k 0,1, , n ]，权函数取为 为n+1次拉盖尔多项式
d n 1 n 1 x Ln 1 x e x e n 1 dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 2 1 1 1 2 x I x e dx (t 1) e 1t / 2 dt 0 8 1 2 令 f t 1 t e1t / 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
1 P x (5 x 2 3 x), 当n=2时，三次Legendre多项式 3 2
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
1 5 I 8 9 15 8 5 f 0 f 5 9 9 15 f 5 0.718251799
，从而有
b
a
x f x dx
A
k 0
n
k
f xk
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。
x k
k
0, 1 ,n
华长生制作
9
由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
Tn1 x cos[(n 1) arccosx]
的零点为 xk cos
2k 1 , k 0,1, , n. 2n 2
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
Ak
1
1 1 x
2
1
lk x dx
n 1
, k 0,1, n.
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有
1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
华长生制作
4
定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 称该公式高斯型求积公式，称 其 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
其中 lk
x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss18
Chebyshev求积公式如下
华长生制作
1
1 1 x
2
1
f x dx
f x , n 1
k 0 k