数值分析4。4高斯型求积公式

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Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
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由插值余项
R[ f ]
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 2 1 1 1 2 x I x e dx (t 1) e 1t / 2 dt 0 8 1 2 令 f t 1 t e1t / 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
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2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
式对于 Px n1 x 是准确成立的，即有

b
a
x P x n 1 x dx Ak P xk n 1 xk
k 0
n
但 n1 xk 0, k 0,1,2n 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f ( x) P x n1 x Q( x) 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
，从而有

b
a
x f x dx
A
k 0
n
k
f xk
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。
x k
k
0, 1 ,n
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由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
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当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
1 P x (5 x 2 3 x), 当n=2时，三次Legendre多项式 3 2
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例 计算积分

1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2

1
1
2
其中 lk
x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss18
Chebyshev求积公式如下
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1
1 1 x
2
1
f x dx
f x , n 1
k 0 k

n
对于n=1, 二次Chebyshev多项式为 2 x 2 1 ，二点 Gauss-Chebyshev求积公式为 1 1 1 1
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。

1
1 x
2
f x dx
f 2
f 2
2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4 x3 3x ，三点 Gauss-Chebyshev求积公式为 3 1 1 3

1
1 x
2
f x dx
f 0 f f , 3 2 2
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定理2 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 2 f ( x ) l 确成立，若取 k ( x), 其中lk ( x) 是n次拉格 朗日插值基函数，有

b
a
2 x lk2 x dx Al i k xi Ak 0 i 0
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为

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0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
n
(k 0,1,
, n)
即高斯系数全为正，从而算法是稳定的。
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定理3 设 f x C[a, b] ,则高斯型求积公式是 收敛的。 2 n2 f x C [a, b] ，则高斯型求积公 定理4 设 式的截断误差为
f (2n2) b 2 R[ f ] x n 1 x dx , (a, b) a (2n 2)!
b a
f ( n1) ( ) x n1 ( x)dx (n 1)!
知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方 面，若取 n
2 f x n 1 x x xi i 0 2
则有截断误差
R[ f ] 0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高 斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。
1 n ik
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
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b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
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即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
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定理 1 对于插值求值公式 其节点 是Gauss点的充分必要条件是多项式
与任意不超过n次多项式 P(x)带权正交,即
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证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 P( x)
x
n1
的次数不超过 2n+1。因此,如果 x0 , x1 , xn 是Gauss点，则求积公
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由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同
的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数
x 1,
，取正交多项式为Legendre多
项式
n 1 1 d n1 2 Pn1 x x 1 n 1!2n1 dxn1
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有
1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
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定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则 称该公式高斯型求积公式，称 其 节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
零点为 x0
15 , x1 0, x2 5
15 5
，以此为Gauss点，可构造出具有
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式

1
1
f x dx
5 f 9
15 8 5 15 f 0 f . 5 9 9 5
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
1 5 I 8 9 15 8 5 f 0 f 5 9 9 15 f 5 0.718251799
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3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 x x e 间[0， ，取节点xk k 0,1, , n ]，权函数取为 为n+1次拉盖尔多项式
d n 1 n 1 x Ln 1 x e x e n 1 dx
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,
, n 为Gauss点的求积公式为

1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
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系数
x xi Ak dx , 1 i 0 xk xi
Tn1 x cos[(n 1) arccosx]
的零点为 xk cos
2k 1 , k 0,1, , n. 2n 2
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
Ak
1
1 1 x
2
1
lk x dx

n 1
, k 0,1, n.
1
f ( x)dx A
0
f ( x0 ) A1 f ( x1 )
解 按代数精度的概念，分别令 f x 1, x, x 2 , x3 时 上式左边与右边分别相等，有
A A 2, A x A x
0 0 1 0 1
1 2
0, 2 , 3
2 0
A x
0 0
2 0

A x
1 1
2
1 3
A x 由第二式和第四式可得 x
取
3 0
2 0
A x 0. x ，结合第一式和第三式得 x
1
1

x
2
1

1 . 3
x0
1 1 , x1 3 3
得
A
1 1
0

A
1
1
于是得到求积公式
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1 1 f x dx f f 3 3
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
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其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。

b
a
x lk x dx, k 0,1,n

b
a
ba 1 f x dx 2 1
1 1 f a b a b t dt 2 2
对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。
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例
用Gauss-Legendre求积公式(n=1,2)计算积分
I

1
0
x 2 e x dx
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
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4. 高斯-埃尔米特求积公式