高斯求积公式

例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
1 sin xdx
0x
令I=
1 sin xdx
0x
各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
二:用复化梯形公式
令h=1/8=0.125
1 sin
0 x
xdx
hf
2
(0) 2 f
(h)
f
(7h)
f
(1)
0.94569086
三：用复化抛物线
令h=1/8=0.125
1 sin
0 x
xdx
h 3
f
(0)
4 f
(h)
f
(7h)
2 f
(2h)
f
(6h)
f
(1)
0.946083305
四、 Romberg公式
Gauss- Legendre
n xk(n)
Ak(n)
1
0
2
2 -0.5773503
1
+0.5773503
1
3 -0.7745967 5/9=0.5555556
点
+0.7745967 5/9=0.5555556
及
0
8/9=0.8888889
系
4 -0.8611363 0.3478548
数
-0.3399810 0.6521452
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
Rn
f (2n) ()
(2n)!
b a
(
x
)wn2
(
x
)dx
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.
Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数Ak 都有表可以查询.
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
k 1
左右,故不成立等式,定理得证.
定义: 使求积公式
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
高斯求积公式
引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例
引言
n+1个节点的插值求积公式
b
n
f (x)dx
a
Fra Baidu bibliotek
Ak f ( xk )
k 0
的代数精确度不低于n求积公式,能不能在区间[a,b]上适当选
择n个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到
表
+0.3399810 0.6521452
+0.8611363 0.3478548
5 -0.9061799 0.2369269
-0.5384693 0.4786287
0
0.5688889
+0.5384693 0.4786287
Rn
1 f " ( )
3
1 f ( 4) ( )
135
1 f (6) ()
2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。
为考虑一般性,设求积公式为
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
(x) 0 是权函数
注意此时的代数精度最高为2n-1
（一）定理：
求积公式
超2n-1次。
b
(x) f (x)dx
a
n
Ak f ( xk )
的代数精度最高不
k 1
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
1
3
t(5)
2
A(5) 5
1
3
t(5)
5
0.69314719
积分精确值为
I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 1
f (xk )
(2)
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
常用的高斯求积公式
1.Gauss - Legendre 求积公式
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
(1)
k 1
其中高斯点为Legendre多项式的零点
Ln(x)=
1 2n n!
•
d
n
(
x2 dx n
1)n
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 为[-1,1]。
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos (2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
15750
f (8) ()
3472875
f (10) ()
1237732650
例题 利用高斯求积公式计算
1 dx 0 1 x
［解］令x=1/2 (1+t), 则
I 1 dx 1 dt
0 1 x 1 3 t
用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5
I
A(5) 1
1
3
t(5)
1
A(5) 2
K
Tn
Sn
Cn
Rn
0 0.9207355
1 0.9397933 0.9461459
2 0.9445135 0.9460869 0.9400830
3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
五、Gauss公式