线性代数典型例题

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式

已知行列式412343

344

615671

12

2

D =

=-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式

1.计算221

1231223131

5

1319x D x -=

-、

2.设()x b

c d b x

c d f x b c

x d b c d

x

=

,则方程()0f x =有根_______.x =

四、抽象行列式的计算或证明

1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +

2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1

||2

A =

,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A

4、设矩阵210120001A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵

123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++

如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式

1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为

1111

,,,2345

,则行列式1||________.B E --=

2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +

第二章 矩阵

典型例题

一、求逆矩阵

1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+

2、设0

0021000531

23004580034600A ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,求1.A -

二、讨论抽象矩阵的可逆性

1、设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆,并求1.A -

2、已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆,并求出逆矩阵。

3、设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量,且2T x y =,求A 的逆矩阵。

4、设,A B 为n 阶矩阵,且E AB -可逆,证明E BA -也可逆。 三、解矩阵方程

1、设矩阵111111111A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦,矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X 、 2、已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

,且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++,求X 、 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1、证明下列等式

(1)**()()T T A A =; (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=; (3)||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=;

(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）; (5)若,A B 为同阶可逆矩阵,则***()AB B A =、

2、设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数,则11_______.a = 五、关于初等矩阵与矩阵的秩(瞧教材)

第三章 矩阵

典型例题

一、判断向量组的线性相关性

1、设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==

111122121122221122000

n n n n

r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩L L L L L 的非零解向量,试判断向量组12,,,,r αααβL 的线性相关性。

2、设12,,,n αααL 就是n 个n 维的线性无关向量,11122n n n k k k αααα+=+++L ,其中

12,,,n k k k L 全不为零,证明121,,,n ααα+L 中任意n 个向量均无关。

3、设A 为43⨯矩阵,B 为33⨯矩阵,且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

,证明B 的列向量组线性相关。

4、设121,,,n ααα-L 为1n -个线性无关的n 维列向量,1ξ与2ξ就是与121,,,n ααα-L 均正交的n 维非零列向量,证明(1)1ξ、2ξ线性相关;(2)121,,,n ααα-L ,1ξ线性相关。

二、把一个向量用一组向量线性表示

证明线性方程组1111221211222211220

00

n n n n

m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩L L L L L 的解都就是