线性代数典型例题
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
完整版)《线性代数》
完整版)《线性代数》一、单项选择题1.设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}$等于（B）A。
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$B。
$\begin{bmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{bmatrix}$C。
$\begin{bmatrix}-2&1.5\\1&-0.5\end{bmatrix}$D。
$\begin{bmatrix}-2&1\\1&0\end{bmatrix}$2.设$A$是方阵，如有矩阵关系式$AB=AC$，则必有（D）A。
$A=0$B。
$BC$时$A=0$C。
$A$时$B=C$D。
$|A|$时$B=C$3.设$Ax=b$是一非齐次线性方程组，$\eta_1$，$\eta_2$是其任意两个解，则下列结论错误的是（A）A。
$\eta_1+\eta_2$是$Ax=0$的一个解B。
$\eta_1+\eta_2$是$Ax=b$的一个解C。
$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的一个解D。
$2\eta_1-\eta_2$是$Ax=b$的一个解4.设$\lambda$是矩阵$A$的特征方程的3重根，$A$的属于$\lambda$的线性无关的特征向量的个数为$k$，则必有（A）A。
$k\leq3$B。
$k<3$XXXD。
$k>3$5.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）A。
$\begin{bmatrix}1&-2\\-2&4\end{bmatrix}$B。
$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$C。
$\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$D。
$\begin{bmatrix}-1&2\\2&4\end{bmatrix}$6.下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a= | i－j|得n阶行列式、ij解方法1 由题设知,=0,,,故其中第一步用得就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用得每列加第列.方法2=例2、设a, b, c就是互异得实数, 证明:得充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前得系数、于就是=所以得充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D=解: 方法1 递推法按第1列展开,有D= x D+(－1)a = x D+ a由于D= x + a,,于就是D= x D+ a=x(x D+a)+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a= 方法2 第2列得x倍,第3列得x倍,,第n列得x倍分别加到第1列上===方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.Dx k= x( + +++a+x)=方法4 ++++=(－1)(－1)a+(－1)(－1) ax++(－1)(－1)ax +(－1)( a+x) x=例4.计算n阶行列式:()解采用升阶(或加边)法.该行列式得各行含有共同得元素,可在保持原行列式值不变得情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)得元素,使得下一步化简后出现大量得零元素.=这个题得特殊情形就是=可作为公式记下来.例5.计算n阶“三对角”行列式D=解方法1 递推法.DD—D－D即有递推关系式D=D－D (n3)故＝递推得到＝＝＝＝而,＝＝,代入得(2、1)由递推公式得＝＝αD ＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式=β于就是得递推公式,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D= =-2= =于就是猜想,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当nk 时成立.当n=k+1就是,由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN,等式都成立例6.计算阶行列式:其中.解这道题有多种解法.方法1 化为上三角行列式其中,于就是.方法2 升阶(或加边)法方法3 递推法.将改写为+由于因此=为递推公式,而,于就是======。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数典型例题
线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式1．计算221123122313151319x D x -=-.2．设()x b c d bxc d f x b cx d b c dx=，则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1||2A =，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A4.设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1||________.B E --=2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+2.设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -2.已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出逆矩阵。
线性代数经典例题
（22）（本题满分11分）已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是1253102a A b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，求,a b 的值，并证明A 的任一特征向量均能由ξ线性表出. 解设ξ是λ所对应的特征向量，则A ξλξ=，即1211531110211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即12,53,1,2,312,a b a b λλλλ--=⎧⎪+-=⇒=-==-⎨⎪-+=⎩故211533102A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪--⎝⎭由323(2(3)(2))(162)(1)(1)E A λλλλλ-=-+-+-+-+---=-， 知1λ=-是A 的三重特征根.又因312()5232101r E A r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A 的特征向量均可由ξ线性表出.(23) （本题满分11分）已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化为标准型23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵.解 变换前后二次型的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=500020001B ，由正交变换性质知，A 与B 相似，于是B E A E -=-λλ即)5)(2)(1()96)(2(22---=-+--λλλλλλa 将1=λ(或5=λ)代入上式，得2,042±==-a a因0>a ，故2=a ，这时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A 其特征值分别为5,2,1321===λλλ(与B 的特征值相同)当11=λ时，解方程0)(1=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ；当22=λ时，解方程0)(2=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ当53=λ时，解方程0)(3=-x A E λ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ将321,,ξξξ单位化，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21210111ξξη，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==001222ξξη，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21210333ξξη 故所用正交变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2102121021010Q . (22) （本题满分11分）设向量组1(,2,10)T a α=，2(2,1,5)T α-，3(1,1,4)T α=-，(1,,)T b c β=.试问：当,,a b c 满足什么条件时(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？(2) β不能由123,,ααα线性表出？(3) β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.解 设有一组数123,,x x x ，使得 112233x x x αααβ++=对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有2111211211021122210540015a a a ab A b c c b ⎛⎫--⎛⎫⎪⎪⎪=→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭线性表出，且表示唯一.(1)当202a --≠，即4a ≠-时，秩()A =秩()A =3，方程组有唯一解，β可由123,,ααα(2)当202a --=，即4a =-时，对A 作初等行变换，有21010011200013b A b b c --⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭当31b c -≠时，秩()A ≠秩()A ，方程组无解，β不能由123,,ααα线性表出. (3)当4a =-且31b c -=时，秩()A =秩()A =2<3，方程组有无穷多解，β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一.此时，解得123,21,21k t k t b k b ==---=+(t 为任意常数) 因此有123(21)(21)t t b b βααα=-++++(23)（本题满分11分）已知矩阵2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭有特征值5λ=，求a 的值；并当0a >时，正交矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ.解 因5λ=是矩阵A 的特征值，则由23005023(4)002E A a a a -=-=-=-.可得2a =±.当2a =时，则由矩阵A的特征多项式200032(2)(5)(1)0023E A λλλλλλλ--=--=---=--，知矩阵A 的特征值是1,2,5.由()0E A x -=得基础解系1(0,1,1)T α=- 由(2)0E A x -=得基础解系2(1,0,0)T α=由(5)0E A x -=得基础解系3(0,1,1)T α= 即矩阵A 属于特征值1,2,5的特征向量分别是123,,ααα.由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有101,1λ⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭2100γ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011γ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭那么，令123010()00Q γγγ⎛⎫⎪ ⎪ == ⎝，则有1125Q AQ -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）设A 为三阶矩阵，123,,ααα为3维列向量.若向量组123,,ααα线性无关，且112322A αααα=-++，212322A αααα=--，312322A αααα=--. (1)求矩阵A 的特征向量；（2）设2B A E *=-，求B .解 123123123122(,,)(,,)(,,)212221A A A A ααααααααα-⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭，因为123,,ααα线性无关，所以123(,,)ααα可逆，于是1123123122(,,)(,,)212221A αααααα--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，即122212221AC -⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭，则A 与C 有相同的特征值，由1222120221E C λλλλ+---=-+=-+，得1235,1λλλ=-== 于是A 的特征值为1235,1λλλ=-==（2）1235A λλλ==-，A *的特征值为11Aλ=，25Aλ=-，35Aλ=-，于是2B A E *=-的特征值为1,11,11--，故121B =-.（23）设实二次型123(,,)T f x x x x Ax =经过正交变换后得到的标准型为2221232f y y y =--，A *是A 的伴随矩阵，且向量(1,1,1)T α=-满足A αα*=，求二次型123(,,)f x x x .解 由于A 的特征值为2,1,1--，所以2(1)(1)2A =⨯-⨯-=.对A αα*=两边左乘A ，并利用AA A E *=得2A αα=，这表明α是A 对应于特征值2的特征相量.取2(0,1,1)T α=，3(2,1,1)α=--，则123,,ααα两两正交，将它们分别规范化为1T q =，2T q =，3(Tq =，令123(,,)Q q q q =，则Q 为正交矩阵，且011101110T A Q Q -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--.。
线性代数典型例题
x ai
i 1 n
x ai
i 1
a2
a3
x
提取第一列的公因子，得
1 Dn 1 ( x ai ) 1
i 1 n
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
an an an x
1
1
将第1列的( a1 )倍加到第2列，将第1列的 ( a2 )倍加到第3列， , 将第1列的( an )倍加到 最后一列，得
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
评注 从一般项入手，首先确定所有的非零项， 然后确定每一项的符号，最后给出代数和. 这是 用定义计算行列式的一般步骤.
a11
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann ,
a2 b2
2
(a 1)2 (b 1)2
2
(a 2)2 (b 2)2 (c 2) (d 2)2 6a 9 6b 9 6c 9 6d 9
2
(a 3)2 (b 3)2 (c 3) (d 3)2
2
解 D4
c2 c1 c3 c1 c4 c1
a2 a2 +b a2 a2
a3 a3 a3 +b a3
an an an an +b
1 a1 1 6(4) D 1 1
1 1 a2 1 1
1 1 1 a3 1
1 1 1
1 1 1 .
1 1 an
可化为“箭”型行列 式
a1 +b a1 6(3) D a1 a1
a2 a2 +b a2 a2
线性代数习题及解答
线性代数习题及解答 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数典型例题
June 5, 2005
Example 1 设 f (x) = x5 + 2x4 − 3x2 − x + 1，g (x) = x3 + 2x2 − x − 2， 则 (f (x), g (x)) = ，且有 u(x) = ，及 v (x) = ，使 得 u(x)f (x) + v (x)g (x) = (f (x), g (x)). 解 q2 (x) 1+2 1 1 +2 +0 2 2 g (x) f (x) −1 −2 1 +2 +0 −1 1 +2 −1 +0 −2 1 +0 −2 1 0 −3 −2 −1 +2 −3 1 −1 +1 −1 +1 −1 −2 +0 +3 +0 −1 q1 (x) 1+0+1
1 0 W2 = L 0 0 0 0 1 0 W1 + W2 = L 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 = L 1 0 0 , 0 0 0
dimW1 0 0 0 , 0 0 0
0 0 0 , 0 0 0
0 0 1
4
x2 2x1 + x3 −2x2 2x4
= 0 = 0 = 0 = 0
x2 = 0, x4 = 0, 2x1 = −x3 . 1 0 α = (α1 , α2 , α3 , α4 ) −2 = α1 − 2α3 . 0 kerσ = L(α1 − 2α3 ). 注：也可以解齐次线性方程组 Ax = 0 求出核的向量的坐标. (2) 由于 σα4 = 2α4 ，α4 是 σ 的特征向量，所以它生成的子空间 L(α4 ) 是 σ 的一维不变子空间. 此外，由 (1) 知 kerσ 是一维的，因此，kerσ 也是 σ 的一维不变子空间. (3) 由于 σα2 = α1 − 2α3 ∈ / L(α1 , α2 ) 所以，L(α1 , α2 ) 不是 σ 的不变子空间. (4) 由矩阵 A 是准对角矩阵可知 L(α1 , α2 , α3 ) 是包含 α1 的 σ 的不变子空间. 设 W 是包含 α1 的 σ 的最小不变子空间，则 L(α1 , α2 , α3 ) ⊇ W . 又 α1 ∈ W ，⇒ σα1 = 2α2 ∈ W ，⇒ σα2 = α1 − 2α3 ∈ W ， 即 α1 , α2 , α3 ∈ W ，于是 W ⊇ L(α1 , α2 , α3 ). 所以， L(α1 , α2 , α3 ) = W. L(α1 , α2 , α3 ) 是包含 α1 的 σ 的最小不变子空间. Example 6 设 n 阶矩阵 A, B, C, D 两两可交换，且满足 AC + BD = I . 记 ABx = 0 的解空间为 W ，Bx = 0 的解空间为 W1 ，Ax = 0 的解空间 为 W2 ，证明：W = W1 ⊕ W2 . 证 ∀α ∈ W ，有 ABα = 0，且 α = Iα = (AC + BD)α = ACα + BDα = α1 + α2 . 其中，α1 = ACα，α2 = BDα. 由题设，A, B, C, D 两两可交换， Bα1 = BACα = C (ABα) = 0, Aα2 = ABDα = D(ABα) = 0. 即 α1 ∈ W1 ，α2 ∈ W2 ，所以 W = W1 + W2 . ∀β ∈ W1 ∩ W2 ，即 β ∈ W1 且 β ∈ W2 ，也即 Bβ = Aβ = 0，则 β = Iβ = (AC + BD)β = ACβ + BDβ = C (Aβ ) + D(Bβ ) = 0. 即 W1 ∩ W2 = {0}. 所以 W = W1 ⊕ W2 . 5
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式、解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故011102120n n n D n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)021n n n n n n ------=----LL L L M O O L M L其中第一步用的就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2011102120n n n D n n --=--L L MOL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ---- 例2、 设a , b , c 就是互异的实数, 证明: 的充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数、 于就是=所以的充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D n =121100010n n n x xa a a x a ----+K KM M M M K解: 方法1 递推法 按第1列展开,有D n = x D 1-n +(－1)1+n a n11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1,2211x D a x a -=+,于就是D n = x D 1-n + a n =x(x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x1-n D 1+ a 2x2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a +K+x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M ML=(－1)1+n (－1)1-n a n +(－1)2+n (－1)2-n a 1-n x +K +(－1)12-n (－1)a 2x 2-n +(－1)n 2( a 1+x) x 1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4. 计算n 阶行列式:11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形就是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来.例5.计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法.D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+,2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++,代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ (2、1)由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ,而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于就是得递推公式1nn n D D αβ-=+,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于就是猜想11n n n D αβαβ++-=-,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当n ≤k 时成立. 当n=k+1就是,由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +,等式都成立例6. 计算n 阶行列式:12111111111n na a D a ++=+L L M M M L其中120n a a a ≠L .解 这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑,于就是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L .方法2 升阶(或加边)法121111*********111n na D a a +=++L L LMM M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法.将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L +1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式,而111D a =+,于就是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
线性代数第一章典型习题
0
0 0 x an
(x ai )( x aj )
i 1 j 1
i n
j n
3. 行列式按某一行(列)展开(降阶法)： 例 3：计算 n 阶行列式
2 2 3 D
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 n 1 2 2 2 2 2 n
2 2 1 1 3
3 2 2 1 1
4 1 4 2 5
5 1 5 27 2 0
求 A41+ A42+ A43 ;
A44+ A45
解：由条件得 A 41 + A42 + A43 +2( A44 + A45 ) 27
2( A 41 + A42 + A43 ) + A44 + A45 0 解得 A41+ A42+ A43= -9 , A44+ A45=18
以下用归纳法：
，结论成立； 当 n=1 时， D1 假设对 k<n 的自然数成立，则
Dn ( ) Dn Dn 1 2
n n n 1 n 1 n 1 n 1 ( )
x a1 D a1 a1
x a i x a i D x a i
i 1 i 1 i n i 1 i n i n
a1 a2 x a2 a2 x a2
a3
an an an x
解：将各列加到第一列得
a1 x a2 a2 a3 a2 a2 x x an an an
7.加边法(升阶法)： 例 7：证明
1 a1 1 Dn 1 1
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线性代数第一章 行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式412343344615671122D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式1.计算221123122313151319x D x -=-、2.设()x bc d b xc d f x b cx d b c dx=,则方程()0f x =有根_______.x =四、抽象行列式的计算或证明1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B +2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A4、设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345,则行列式1||________.B E --=2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +第二章 矩阵典型例题一、求逆矩阵1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+2、设0002100053123004580034600A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1.A -二、讨论抽象矩阵的可逆性1、设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆,并求1.A -2、已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆,并求出逆矩阵。
3、设T A E xy =+,其中,x y 均为n 维列向量,且2T x y =,求A 的逆矩阵。
4、设,A B 为n 阶矩阵,且E AB -可逆,证明E BA -也可逆。
三、解矩阵方程1、设矩阵111111111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,矩阵X 满足*12A X A X -=+,求矩阵X 、 2、已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++,求X 、 四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1、证明下列等式(1)**()()T T A A =; (2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=; (3)||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=;(4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）; (5)若,A B 为同阶可逆矩阵,则***()AB B A =、2、设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =,若111213,,a a a 为三个相等正数,则11_______.a = 五、关于初等矩阵与矩阵的秩(瞧教材)第三章 矩阵典型例题一、判断向量组的线性相关性1、设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==<L L 就是n 维实向量,且12,,,r αααL 线性无关,已知12(,,,)T n b b b β=L 就是线性方程组111122121122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的非零解向量,试判断向量组12,,,,r αααβL 的线性相关性。
2、设12,,,n αααL 就是n 个n 维的线性无关向量,11122n n n k k k αααα+=+++L ,其中12,,,n k k k L 全不为零,证明121,,,n ααα+L 中任意n 个向量均无关。
3、设A 为43⨯矩阵,B 为33⨯矩阵,且0AB =,其中111121230012A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,证明B 的列向量组线性相关。
4、设121,,,n ααα-L 为1n -个线性无关的n 维列向量,1ξ与2ξ就是与121,,,n ααα-L 均正交的n 维非零列向量,证明(1)1ξ、2ξ线性相关;(2)121,,,n ααα-L ,1ξ线性相关。
二、把一个向量用一组向量线性表示证明线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的解都就是11220n n b x b x b x +++=L 的解的充要条件就是β就是12,,,m αααL 的线性组合,其中12(,,,)n b b b β=L ,12(,,,)(1,2,,)i i i in i m αααα==L L 、 三、求向量组的秩1、给定一个向量组,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
2、已知向量组(1)123,,ααα;(2)1234,,,αααα;(3)1235,,,αααα、如果各向量组的秩分别就是3、3、4,证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4、 四、有关矩阵秩的命题1、设A 为m n ⨯实矩阵,证明:()().T R A R A A =2、设A 为n 阶方阵,且满足22A A E =+,证明:(2)()R A E R A E n -++=、 综合题1、 设A 为m n ⨯矩阵,B 为()n n m ⨯-矩阵,且已知0AB =,(),()R A m R B n m ==-,设α就是满足0Ax =的一个n 维向量,证明:存在唯一的一个()n m -维列向量β,使B αβ=、2、已知随机变量01~0.250.75X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,{}0.51P Y =-=,又n 维向量123,,ααα线性无关,求向量122331,2,X Y αααααα+++线性相关的概率。
第四章 线性方程组典型例题一、基本概念题(解的判定、性质、结构) 二、含有参数的线性方程组的求解三、抽象线性方程组求解1、已知线性方程组:1111221,222112222,221122,2200()0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪I ⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方程组:1111221,222112222,221122,2200()0n n n nn n n n n b y b y b y b y b y b y b y b x b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 的通解,并说明理由。
2、已知4阶方阵12341234(,,,),,,,A αααααααα=均为4维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232ααα=-,如果1234βαααα=+++,求线性方程组Ax β=的通解。
四、讨论两个方程组的公共解1、设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解。
2、已知下列非齐次线性方程组124123412326()4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩,1234234345()21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩(1)求解方程组()I ,用其导出组的基础解系表示通解;(2)当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时,方程组()I 与()II 同解。
3、设,A B 都就是n 阶级矩阵,且()()r A r B n +<,证明齐次方程组0Ax =与0Bx =有非零公共解。
五、讨论两个方程组解之间的关系 1、 0Ax =与0T A Ax =的解的关系。
2、设有齐次线性方程组0Ax =与0Bx =,其中,A B 都就是m n ⨯矩阵,现有4个命题:①若0Ax =的解均就是0Bx =的解,则()()r A r B ≥; ②若()()r A r B ≥,则0Ax =的解均就是0Bx =的解; ③若0Ax =与0Bx =同解,则()()r A r B =; ④若()()r A r B =,则0Ax =与0Bx =同解。
以上命题中正确的就是:(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④ 六、已知方程组的解,反求系数矩阵或系数矩阵中的参数1、设121201101A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且方程组0Ax =的基础解系含有2个线性无关的解向量,求0Ax =的通解。
2、设12112010131,1,11101A b a c η⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦,如果η就是Ax b =的一个解,试求Ax b=的通解。
七、有关基础解系的讨论1、设12,,,s αααL 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+L其中12,t t 为实常数,试问12,t t 满足什么关系时,12,,,s βββL 也为0Ax =的一个基础解系？2、若矩阵A 的秩为r ,其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系,B 为r 阶非奇异矩阵,证明:AB 的r 个列向量也就是该齐次线性方程组的一个基础解系。
3、设*ξ就是非齐次线性方程组Ax b =的一个解,12,,,n r ηηη-L 就是其导出组的一个基础解系,证明:(1)*12,,,,n r ξηηη-L 线性无关;(2)****12,,,,n r ξξηξηξη-+++L 就是方程组Ax b =的1n r -+个线性无关的解; (3)方程组Ax b =的任一解x ,都可以表示为这1n r -+个解的线性组合,而且组合系数之与为1、 八、有关0AB =的应用1、已知方阵12221311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,三阶方阵0B ≠满足0AB =,试求λ的值。