[物理]第七章 均匀设计

为点集{ x1 , x2 ,, xn }在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。
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偏差(D)的缺点 用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏， 有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差； 缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。 为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的 偏差度量方法。 其它的偏差 CD2——中心化L2偏差 WD2——可卷的L2偏差 MD2——修正的L2偏差 SD2——对称化L2偏差 其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后来方开泰 教授新研制的均匀设计表大都基于最小的CD2偏差。
第七章 均匀设计
§7.1 均匀设计表 §7.2 均匀设计的使用表
§7.3 均匀设计的数据分析
§7.4 均匀混料设计
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前言
均匀设计(Uniform Design)是由中国数学家王 元和方开泰于1978年首次提出的,采用均匀设计 表来安排试验的方法。其最初在我国导弹设计中 应用，经过20多年的发展和推广，均匀设计已在 我国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、 航天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得 了显著的经济和社会效益。 与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。

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§7.2 均匀设计的使用表
7.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不 同的，用哪些列是有讲究的。
* 譬如用 U 6 (66 ) 安排两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀 性是不同的，试验点在平面上的分布见图7.2.1。前者分布比 较均匀。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
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（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
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7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
7.2.1
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7.2.2 “均匀性”的度量
通常用“偏差”来度量均匀性，偏差愈小均匀性愈好。 （1）把均匀设计表Un(n m)中每一行看成m维空间中的一 1,2,, n 中的某个数。 个点，其m个坐标必是集合 （2）用线性变换将 1,2,, n 均匀地变换到区间[0，1]中 的某个数。 此线性变换为： 2i 1
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7.1.2 均匀设计表
均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论
方法编制的。
1. 均匀设计表Un(qm)
均匀设计表用代号Un(qm)表示，U表示均匀设计 表，它有n行，m列，每列的水平数为q。
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均匀设计表U7(76)
1,2,3,4,5,6,7的一个特定排列。 该表的每一列都是
1 2 k
1 1 1 n 1 p 1 p 1 p 1 2 k
1 譬如n=9，由于9=32，所以列数为 9 1 6 列。 3
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* m 2.另一类均匀设计表 U n (q )
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均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归 分析进行数据分析的一种试验设计方法。 基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好 的均匀分散性。 均匀设计同正交设计一样，也是部分因子设计 的只要方法之一，是一种稳健试验设计。
适用范围：试验因子多、因子取值范围大、因 子水平多（一般不少于5），而试验次数相对较 少的情况。
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§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
因子，每一因子取17个水平。试验如何设计？
如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。 如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行26-1+2×6 +1=45次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？ 均匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。
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该表的特点是： （1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n与 水平数q相同，因此试验次数少； （2）列数可按下面规则给出： 当n为素数时，列数最多等于n-1； 譬如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列； l l l p2 pk 当n是合数时，设 n p1 ，其中 p1 , p2 ,, pk 为素 l1 , l 2 ,, l k 为正整数，那么列数为 数，
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。 譬如n=6时，由于n=2×3，经计算 6 1 2 1 3 2 ，所 以列数只有2列。 因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划 去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去
* 最后一行的方法得到，为区别起见，记为 U6 (66 )