2013-2014学年高二1-2导学案：3.2复数四则运算(2)
于
的最小正整
3 + 4i
{}3
N=．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为
的取值范围是
、已知
足条件的集合
3.2复数的四则运算教案2
3.2《复数的四则运算》教案（2） 教学目标 1、理解复数代数形式的四则运算法则。 2、能运用运算律进行复数的四则运算。 教学重难点 复数的除法运算 教学过程： 一、复习巩固： 1、复数加减法的运算法则： (1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 (2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2、复数的乘法： (1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算律： 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3、共轭复数的概念、性质： 定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。 复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即 设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律： 4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i - 【巩固练习】 1．计算:(1+2 i )2 _____=i 34-+ 2．计算i 3 (1)+_____=-2+2i
高三数学复习复数的概念与四则运算2018高考题汇总
复数的概念与四则运算 【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2 i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________. 【答案】 5 2 【解析】由题意可得2 2 234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1 a b ==，则225,2a b ab +==． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉 复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、 共轭为a bi -等． 【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部. 第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运
复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算同步练习题 一、选择题 1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋I C ．3 D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i 6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1 i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 9． 在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34 11． 若z ＝1＋2i i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 21 21- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1) 21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2 14. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i 15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 16.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝1 17.在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 18.设i 是虚数单位，_ z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A ) （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D ) (A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 20.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ） （A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 21.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )
北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2
高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2 一、数系的扩充和复数的概念 1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者． 我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-． 数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ． 2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式 叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -． 3．复数相等的充要条件 a bi c di a c +=+?=且() b d a b c d =∈R ，，， 注意事项： （1）复数a bi +(0)(0) (0)(0)a b bi a a bi b a bi a =??=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ???? R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义 1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是： 复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应． 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，． 3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有： 复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ． 在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便． 4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．
复数的四则运算教学设计
《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，
高一数学复数的四则运算知识点分析
高一数学复数的四则运算知识点分析 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复 数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫 做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原 点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合 是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距 离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时， z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 复数集与其它数集之间的关系： 复数的运算： 1、复数z1与z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b- d)i; 3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中 把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 4、复数的除法运算规则： 。 复数加法的几何意义： 设 为邻边画平行四边形
3.2《复数的四则运算》习题(最新整理)
3-2-1《数系的扩充与复数的引入》习题 第1课时 复数加、减法与乘法的运算法则 双基达标 限时15分钟 1．若z 1＝3－2i ，z 2＝1＋3i ，则z 1－2z 2＝________. 答案 1－8i 2．(－6＋4i )(－6－4i )＝________. 答案 52 3．如果复数(m 2＋i )·(1＋mi )是实数，则实数m ＝__________. 解析 ∵(m 2＋i )(1＋mi )＝(m 2－m )＋(1＋m 3)i ∈R ∴1＋m 3＝0 ∴m ＝－1. 答案 －1 4．已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，若z 1·z 2的实部与虚部相等，则实数m ＝________.解析 z 1·z 2＝(1＋2i )[m ＋(m －1)i ] ＝m ＋(m －1)i ＋2mi －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ， ∵2－m ＝3m －1，∴m ＝.34 答案 34 5．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )．若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝_______32 33___.解析 z 1－z 2＝ a ＋3 b ＋(a －b －1)i ＝4，3233∴Error! ∴a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.答案 3 6．计算： (1)(－＋i )－[(－)＋(＋i )]＋(－i ＋)； 23323223(2)(1－2i )(2＋i )(3－4i )； 解 (1)原式＝(－－＋＋)＋(－－－)i ＝－2i . 232333222(2)原式＝(2－2i 2－4i ＋i )(3－4i ) ＝(4－3i )(3－4i )＝12＋12i 2－9i －16i ＝－25i . 综合提高 限时30分钟 7．复数(3i －1)i 的共轭复数是__________． 解析 (3i －1)i ＝－3－i ，则共轭复数为－3＋i .
复数的基本概念与基本运算
复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i
苏教版数学高二-选修2-2导学案 3.2《复数的四则运算》(1)
3.2 复数的四则运算 导学案（1） 教学目标 1、理解复数代数形式的四则运算法则。 2、能运用运算律进行复数的四则运算。 教学习重难点 重点 复数的加、减、乘法运算 难点 复数的加、减、乘法运算 教学过程 一、复习回顾 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。 实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈ 纯虚数：0 0a b =??≠? 复数相等a bi c di +=+?a c b d =??=? 特别地，a+bi=0?a=b=0。 问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件 问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。虚数不可以比较大小。 二、问题引入 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a b b a +=+ ab ba =
()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？ 注意到i =-2 1，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 三、知识新授 1、复数加减法的运算法则 (1) 运算法则： 设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。 (2)复数的加法满足交换律、结合律 即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2、复数的乘法 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部合并。即：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3. 共轭复数的概念、性质 (1)定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。复数z=a+bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即。 (2)共轭复数的性质： 思考：设z=a+bi (a,b ∈R ),那么?+=z z ?-=z z 2-2.z z a z z bi +==； 另外不难证明: 12121212,z z z z z z z z +=+-=- 四、例题应用 例1、计算 (56)(2)(34)i i i -+---+
高二数学 复数的四则运算 (2)
复数的四则运算 ?复数的运算： 1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i； 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i； 3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的 积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 4、复数的除法运算规则：。 复数加法的几何意义： 设 为邻边画平行四边形 就是复数对应的向量。 复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设 ，则这两个复数的差 对应，这就是复数减法的几何意义。 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。 ?复数的运算律： 1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1； 结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）； 2、减法同加法一样满足交换律、结合律。 3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3） =z1z2+z1z3 ?共轭复数的性质：
复数运算教案 【学习目标】 1. 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算； 2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【重点难点】 重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】 复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i 2换成-1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 文
第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算 1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 知识梳理 一、复数的有关概念 1．复数的概念． 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数． 2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?________(a ，b ，c ，d ∈R ). 3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面． 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________． 5．复数的模． 向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________. 6．复数的几何意义． (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 二、复数代数形式的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
复数的概念与运算
复数的概念与运算 【知识点精讲】 1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）. 2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类： ()?? ??????+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),( NZQRC 3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ?a=c,b=d ；a+bi=0?a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）； 5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )= 2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）. 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）i i 3232-+. 解：（1）i 5 452+- ；（2）i 56251+-. 例2 已知z 是复数，z+2i 、 i z -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1，解答略。
复数的概念及复数的四则运算
第一节复数一、复数 例1：求 X2 + 1 = 0的根
例2：求 X 2 + 9 = 0的根 例3：求 X 2 - 2X + 5 = 0的根 结论结论：j =1-称为虚数的单位，j b 称为虚数。 由实数和虚数的代数和组成的数称为复数A = a + j b 二、复数的表示形式 1．代数形式 A = a + j b 2．极坐标形式 A = r ∠ α 式中，r －复数A 的模；α－复数A 的辐角。 3．指数形式 A = r e j α 4．三角形式 A = r cos α + j r sin α 三、各种表示形式之间的相互转换 1．代数形式→其它形式 r =22b a +；α = arctan a b 2．其它形式→代数形式 a = r cos α ； b = r sin α 例：例3、例4 四、共轭复数和复数的相等 1．若A = a + j b = r ∠ α，则它的共轭复数A * = a - j b = r ∠ -α。 2．若两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等（在代数表示式中）或两复数的模和辐角分别都相等（在极坐标或指数表示式中）则两个复数就相等。 第二节 复数的四则运算 一、加减法 1． 原则：一定要用代数形式进行加减，其它形式不能进行加减运算。 2． 方法：先将复数化成代数表示式，然后实部和实部相加或相减，虚部和虚部相加或 相减。 例：例1 二、乘除法 1．原则：一定要在同一表示形式中才能进行运算，用极坐标形式进 行运算比较简单。 2．方法： 乘法：将两复数的模相乘作为乘积的模，两辐角相加作为乘积的辐角； 除法：将两复数的模相除作为商的模，两辐角相减作为商的辐角。 三、举例 例：例2、例3、例4、例5、例6 练习：（1）将下列复数分别化成另一种形式 3 + j 3；3 - j 3；-3 + j 3；- 3 - j 3；6∠30?；6∠120?； 6∠- 120? 小结：1、虚数、复数的概念。 2、复数的几种表示方法。
高一数学复数的四则运算测试题
3.2复数的四则运算测试题 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．复数3(1i)-的虚部为（ ） Ａ．3 Ｂ．—3 Ｃ．2 Ｄ．—2 答案 ：Ｄ 2．i 是虚数单位i 1i =+， （ ） Ａ．11 i 22+ Ｂ．1 1 i 22-+ Ｃ．11 i 22- Ｄ．1 1 i 22-- 答案：Ａ 3．已知z ∈C ，满足不等式i 0zz z +≤的点Z 的集合用阴影表示为（ ） 答案：Ｃ 4．设复数z 满足1i 1z z -=+，则1z +=（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｄ．2 答案：Ｃ 二、填空题（每小题5分，共10分）
5．3 12i 3i ++的值是 ． 答案：17i 10+ 6．已知复数032i z =+，复数z 满足003z z z z =+， 则复数 ． 答案：3 1i 2- 三、解答题（每小 题10分，共20分） 7．已知复数1z 满足1(1i)15i z +=-+，22i z a =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围． 解：由题意，得115i 23i 1i z -+= =++， 于是 1242i z z a -=-+=1z = < 即2870a a -+<，解得17a <<． 8．已知复数1z 、2z 满足2212121052z z z z +=， 且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数． 证明：由题意可设122i z z k +=（k 为实数，且0k ≠）， 则12i 2z k z =-，代入2212121052z z z z +=，得22222210(i 2)52(i 2)k z z k z z -+=-， 化简，得222224942i 10i 0z k z k -+=， 解得221i 749k k z +=，1i 27 k k z -=，123z z k -=-， 或221i 749k k z -=，1i 27k k z +=，123z z k -=． 即证123z z -为实数．
3.2 复数的四则运算(2)
教学内容 3.2 复数的四则运算（2） 教学目标要求 1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义． 2．理解并掌握复数进行四则运算的规律 教学重点 复数乘方运算 教学难点 复数运算法则在计算中的熟练应用 教学方法和教具 类比探究法 教师主导活动 学生主体活动 一、 复习回顾 1．复数的加法，减法和乘法． 2．共轭复数：共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数； 实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a - ＋＝； 2i z z b -－＝；22z z a b -?＝＋． 二、建构数学 乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *． （1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n n z z z z ＝． 除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0， 2222 i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 三、数学应用 例1 计算 2i 34i －－． 解 解法一 设2i 34i －－＝x ＋y i ，即(3－4i)( x ＋y i)＝2－i ； 所以342341x y y x ???＋＝－＝－ 所以2515x y ??????? ＝＝ 所以2i 34i －－＝25＋15 i 解法二 2i 34i －－＝(2i)(34i)(34i)(34i)－＋－＋＝105i 25＋＝25＋15 i
例2 计算． 2(1i)_______＋＝；2(1i)_______－＝； 1i _______1i ＋＝－；1i _______1i －＝＋； 20111i _______1i ?? ???－＝＋． 例3 求值i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2010． 例4 设13i 22 ω＝－＋，求证：（1）210ωω＋＋＝（2）31ω＝． 证明 （1）221313(i)i 2222 ω＝－＋＝－－ 所以2131311i i 02222 ωω＋＋＝－＋－－＝ （2）221313(i)i 2222 ω＝－＋＝－－ 所以321313(i)(i)12222 ωωω＝＝－＋－－＝ 思考 写出13=x 在复数范围内的三个根？ 结论4 23213i 22101 ωωωωωω ＝－＋＋＋＝＝＝ ， 23 213i 22101ωωωωωω＝－－＋＋＝＝＝ 四、巩固练习 课本P117练习第2，3题． 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．复数的乘方法则和运算律． 2．复数的除法法则和运算律． 3．几个常用的结论．
第10课时 复数的四则运算及模
第10课时 复数的四则运算及模 一、复习引入 已知：111222,z a b i z a b i =+=+ 1212(,,,)a a b b R ∈ 则12z z +=________;12z z -=________;12z z ?=________; 二、新授内容 1.复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数记为z ，z a bi =-我们把实部相等、虚部相反的两个复数称为共轭复数。,,z a bi z a bi =+=-_______z z ?=。 2.模的代数定义：||z = ，共轭复数具有相同的模 3.复数除法的定义： 把满足(c +di )(x +yi ) =a +bi (c +di ≠0) 的复数x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数 c +di 的商, (其中a,b,c ,d,x,y 都是实数) 记为()()或 a bi a bi c di c di ++÷++ a bi c di +=+_____________.称为复数的实数化。 三、例题讲解 例1：(1) 123i i +=+___________ （2）2,(,)32x y i x y R i i + =+∈+-，则x=___________,y=____________. 归纳:___________________________. 例2：(1) 复数z 满足：(2)13i z i +=+，则z=__________. (2) 复数z 满足：2 34z i =+,则z=__________. 归纳：______________________________.
复数的乘方：实数集R 中正整数指数幂的运算律, 在复数集C 中仍然成立.即对任意的12,,z z z 及m,n ∈N*， （1）m n m n z z z +?=；（2）()m n m n z z ?=；（3）1212()n n n z z z z =? 探究i 的指数变化规律 ①234________;________;________;i i i === 你能发现规律吗？有怎样的规律？ ②4414243________;________;________;________;n n n n i i i i +++==== 例3：（1）222013(1)(1)i i i +--+ （2）2012 1() 1i i +- 例4：设1,2 2 i ω=-+ 求证：（1）210;ωω++=（2）3 1.ω= 归纳：_______________ 四、课外作业 班级____________姓名____________
2015届高考数学总复习 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算课时精练试题 文(含解析)
1．(2013·福建卷)已知复数z 的共轭复数z － ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 的共轭复数z － ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，对应点的坐标为(1，－2)，故答案为D. 答案：D 2．(2012·湛江二中月考)设i 为虚数单位，复数a ＋i 1＋i 是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 2 D ．－ 2 解析：a ＋i 1＋i ＝a ＋－2＝a ＋12＋－a 2，当复数为纯虚数时，a ＝－1.故选 A. 答案：A 3．(2013·揭阳一模)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1 ＝( ) A ．－1＋3i B ．－3－i C ．3＋i D ．3－i 解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.∴z 2z 1＝－1＋3i i ＝ － －1＋ －i 2＝i ＋3.故选 C. 答案：C 4．(2013·揭阳二模)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ， b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.12 B. 5 C.52 D.54 解析：∵(1＋2a i)i ＝1－b i ，∴i－2a ＝1－b i ，∴－2a ＝1，b ＝－1，∴a ＝－1 2，b ＝－ 1，∴|a ＋b i|＝ 5 2 ，故选C. 答案：C 5．(2013·韶关二模)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋5 2－i ，则a ＋b ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
北师大版数学高二-选修2试题 5-2复数的四则运算
一、选择题 1．(2013·济宁高二检测)设a ，b ∈R ，(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0，那么复数a ＋b i 的模为( ) A ．0 B ．6 C ．3 5 D ．2 3 【解析】 ∵a ，b ∈R ，且(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝(5＋b －2)＋(b －3－a )i ＝0， ∴????? 5＋b －2＝0，b －3－a ＝0. ∴a ＝－6，b ＝－3. ∴|a ＋b i|＝(－6)2＋(－3)2＝3 5. 【答案】 C 2．复数z 1＝a 2－2－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．1或－2 【解析】 z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2＋2－3a )i ，由z 1＋z 2是纯虚数得????? a 2－2＋a ＝0a 2＋2－3a ≠0，解得a ＝－2. 【答案】 C 3．(2012·辽宁高考)复数 2－i 2＋i ＝( ) A.35－45 i B.35＋45i C ．1－45i D ．1＋35i
【解析】 2－i 2＋i ＝(2－i )25＝35－45i. 【答案】 A 4．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】 i 1＋i ＋(1＋3i)2 ＝i ＋12＋(－2＋23i)＝－32＋1＋432i 对应的点位于第二象限． 【答案】 B 5．若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i 【解析】 由题意z 2＝－2，故z ＝±2i ， ∴z 3＝±22i 3＝±22i. 【答案】 D 6．i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2 011＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 【解析】 (1＋i 1－i )2 011＝i 2 011＝i 502×4＋3＝i 3＝－i. 【答案】 A 二、填空题 6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于第________象限． 【解析】 z 2－z 1＝1－2i －(2＋i)＝(1－2)＋(－2－1)i ＝－1－3i ，对应的点为
复数的四则运算(含答案解析)
复数的四则运算 1.复数z=的虚部为（） A.-1 B.-3 C.1 D.2 2.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（） A.i B.1 C.-i D.-1 3.已知a∈R，i为虚数单位，若（1-i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（） A.2 B.1 C.-2 D.-1 4.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位， 则a+b=（） A.0 B.1 C.-1 D.2 5.计算=（） A.-1 B.i C.-i D.1 6.已知i是虚数单位，，则|z|=（） A. B.2 C. D.4 7.复数z满足z（2-i）=2+i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若a=i+i2+…+i2013（i是虚数单位），则的值 为（） A.i B.1-i C.-1+i D.-1-i 9.设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（） A. B. C.3 D.-3 10.复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（） A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i 11.已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，是z的共轭复数，则的值为（） A. B.--i C.-+i D.- 12.设x，m均为复数，若x2=m，则称复数x是复数m 的平方根，那么复数3-4i（i是虚数单位）的平方根为（） A.2-i或-2+i B.2+i或-2-i C.2-i或2+i D.-2-i或-2+i 13.设i为虚数单位，则（）2014等于（） A.21007i B.-21007i C.22014 D.-22014 14.已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ______ ． 15.复数z=，i是虚数单位，则z2015= ______ ．