3.3线性方程组的解 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
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组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.
2020/6/17
4．Baidu Nhomakorabea次线性方程组解空间S的基的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r个列向量线性无关．于是 A可化为
1 0 b11 b1,n r
0 A~
1 br1
br ,n r
0 0
11
x
21
1 M
n1
称为方程组(3.3)的解向量, 它也就是向量方程(3.4)
的解.
2020/6/17
关于齐次线性方程组
对齐次线性方程组Ax0的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
则Ax0变为
x11x22 Lxnn 0
显然齐次方程组总有解 x1x2xn0
所以齐次方程组总是相容的. 1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下存在非零解?
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1,x2,xn称为
方程组的解. 至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容. 具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
2020/6/17
解向量
若x1 11, x2 21,L , x n n1为(3.3)的解,则
特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)
2020/6/17
2.齐次线性方程组解的性质
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解
x r b r 1 b r 2
b r ,n r
从而求得原方程组的 nr个解：
b 11
b
r
1
1 1 ,
0
0
b 12
b 1 , n r
b
r
2
b
r
,n
r
2 0 , , n r 0 .
R(A)R(A,b) 推 论 3 . 6 若 R ( A ) R ( A , b ) , 则 A x b 无 解 . 推 论 3 .7 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是
R (A )R (A ,b ) n (未 知 量 的 个 数 ). 推 论 3 .8 设 A 为 n 阶 方 阵 ,则 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 惟 一 解 为 x A 1 b
2020/6/17
2.非齐次线性方程组解的性质
(1设 )x1及 x2都A 是 xb的,则 解 x1 2为对应的 A x0的 齐.解 次方程
证明 A 1 b , A 2 b
A 1 2 b b 0 .
即 x12满足 A 方 x 0. 程
2020/6/17
(2设 )x是方 A x b 程 的,x 解 是方程 A x 0的,则 解 x仍是 A 方 x b的 程 . 解
2020/6/17
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax0的解空间S．
则Axb变为
x11x22Lxnn b
则有, Axb有解b可由A的列向量组线性, 表示
即ran(k1,2,,n,b) ran(k1,2,,n)
2020/6/17
定 理 3.9 非 齐 次 线 性 方 程 组 Axb有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 系 数 矩 阵 A 与 增 广 矩 阵 B(AM b)的 秩 相 等 , 即
2020/6/17
因此,若可求出S的一个基 1,2,,t,
则方程组AX=0的通解可以表示为
x k 11 k22 kt t,
其中 k1,k2,,kt为任意常 . 数
2020/6/17
关于非齐次线性方程组的解
1.非齐次线性方程组有解的条件
对非齐次线性方程组Axb的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
0
0
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1 0 b11 b1,nr x1 x2
0 A x0
1
br1
br ,nr
0
0 0
0
0
xn
x1 b11xr1b1 ,nrxn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
现对xr1,,xn取下列 nr组数：
3.3.线性方程组的解
3.3.1 线性方程组解的结构
形如
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
（3.3）
称为 n个未知 x1,x数 2,xn的m个方程的线性
2020/6/17
2020/6/17
A 0 xx 11 x 22 x nn 0
则齐次方程组有非零解的充要条件是:
1,2,,n线性相. 关
即 R (A ) ra (1 ,n 2 , k ,n ) n
定理3.8 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.
推论3.5 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要 条件是R(A)=n=A的列数.
x r 1 1
x r2
0
,
x n 0
0
0
1
,
0
,
0
.
1
分别代 x 1入 b11x r1 b1 ,nr xn xr br1xr1br,nrxn
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x 1 b 11 b 12
b 1 ,n r
依次得 , , , .
证明 A A A 0bb,
所 x 以 是A 方 b x 的 程 . 解
证毕．
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3.非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.10 若非齐次线性方程组Ax=b有解,则 其通解为
x k 11 k n rn r .
其中 k 11 k n rn r为对应齐次线性方程
2020/6/17
4．Baidu Nhomakorabea次线性方程组解空间S的基的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r个列向量线性无关．于是 A可化为
1 0 b11 b1,n r
0 A~
1 br1
br ,n r
0 0
11
x
21
1 M
n1
称为方程组(3.3)的解向量, 它也就是向量方程(3.4)
的解.
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关于齐次线性方程组
对齐次线性方程组Ax0的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
则Ax0变为
x11x22 Lxnn 0
显然齐次方程组总有解 x1x2xn0
所以齐次方程组总是相容的. 1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下存在非零解?
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1,x2,xn称为
方程组的解. 至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容. 具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
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解向量
若x1 11, x2 21,L , x n n1为(3.3)的解,则
特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)
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2.齐次线性方程组解的性质
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解
x r b r 1 b r 2
b r ,n r
从而求得原方程组的 nr个解：
b 11
b
r
1
1 1 ,
0
0
b 12
b 1 , n r
b
r
2
b
r
,n
r
2 0 , , n r 0 .
R(A)R(A,b) 推 论 3 . 6 若 R ( A ) R ( A , b ) , 则 A x b 无 解 . 推 论 3 .7 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是
R (A )R (A ,b ) n (未 知 量 的 个 数 ). 推 论 3 .8 设 A 为 n 阶 方 阵 ,则 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 惟 一 解 为 x A 1 b
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2.非齐次线性方程组解的性质
(1设 )x1及 x2都A 是 xb的,则 解 x1 2为对应的 A x0的 齐.解 次方程
证明 A 1 b , A 2 b
A 1 2 b b 0 .
即 x12满足 A 方 x 0. 程
2020/6/17
(2设 )x是方 A x b 程 的,x 解 是方程 A x 0的,则 解 x仍是 A 方 x b的 程 . 解
2020/6/17
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax0的解空间S．
则Axb变为
x11x22Lxnn b
则有, Axb有解b可由A的列向量组线性, 表示
即ran(k1,2,,n,b) ran(k1,2,,n)
2020/6/17
定 理 3.9 非 齐 次 线 性 方 程 组 Axb有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 系 数 矩 阵 A 与 增 广 矩 阵 B(AM b)的 秩 相 等 , 即
2020/6/17
因此,若可求出S的一个基 1,2,,t,
则方程组AX=0的通解可以表示为
x k 11 k22 kt t,
其中 k1,k2,,kt为任意常 . 数
2020/6/17
关于非齐次线性方程组的解
1.非齐次线性方程组有解的条件
对非齐次线性方程组Axb的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
0
0
2020/6/17
1 0 b11 b1,nr x1 x2
0 A x0
1
br1
br ,nr
0
0 0
0
0
xn
x1 b11xr1b1 ,nrxn xr br1xr1br,nrxn
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现对xr1,,xn取下列 nr组数：
3.3.线性方程组的解
3.3.1 线性方程组解的结构
形如
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
（3.3）
称为 n个未知 x1,x数 2,xn的m个方程的线性
2020/6/17
2020/6/17
A 0 xx 11 x 22 x nn 0
则齐次方程组有非零解的充要条件是:
1,2,,n线性相. 关
即 R (A ) ra (1 ,n 2 , k ,n ) n
定理3.8 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.
推论3.5 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要 条件是R(A)=n=A的列数.
x r 1 1
x r2
0
,
x n 0
0
0
1
,
0
,
0
.
1
分别代 x 1入 b11x r1 b1 ,nr xn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
x 1 b 11 b 12
b 1 ,n r
依次得 , , , .
证明 A A A 0bb,
所 x 以 是A 方 b x 的 程 . 解
证毕．
2020/6/17
3.非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.10 若非齐次线性方程组Ax=b有解,则 其通解为
x k 11 k n rn r .
其中 k 11 k n rn r为对应齐次线性方程