第四章树与树的表示(一)

完全二叉树(Complete Binary Tree)：如果深度为k，由n个结点的二叉树， 当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应， 该二叉树称为完全二叉树。
或深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度为k的完 全二叉树。
其中 2k-1 ≦ n≦2k-1 。
11个元素的二分查找判定树
判定树上每个结点需要的查找次数刚好
6
为该结点所在的层数;
查找成功时查找次数不会超过判
3
9
定树的深度
1
4
7
10
n个结点的判定树的深度 为[log2n]+1.
ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3
2
5
8
11
二分查找的启示？
4.2树的定义
树（Tree）: n（n≥0）个结点构成的有限集合。 当n=0时，称为空树； 对于任一棵非空树（n> 0），它具备以下性质：
什么是树
客观世界中许多事物存在层次关系
人类社会家谱 社会组织结构 图书信息管理
什么是树
分层次组织在管理上具有更高的效率! 数据管理的基本操作之一：查找
如何实现有效率的查找？
查找（Searching）
查找：根据某个给定关键字K ，从集合R中找出关键字与K相同的记录
静态查找：集合中记录是固定的 没有插入和删除操作，只有查找
KL
M
B
E F
K L
A
C
G
H
M
D
I
J
儿子-兄弟表示法
Element FirstChild NextSibling
A BC D E F G HIJ
KL
M
A
N
B
C
D
N
E
F G HI J
NN NN
N
NN
K
L
M
N
NN
NN
A
N
45
B
C
D
N
E FG HI J
NN NN
N NN
KL
M
N
NN
NN
Element
树与非树?
A
B
C
D
E F GH
A
B
C
D
E F GH
A
B
C
D
E F GH
子树是不相交的； 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点； 一棵N个结点的树有N-1条边。
D IJ K M
树的一些基本术语
1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数 2. 树的度：树的所有结点中最大的度数 3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点 4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树
常用的遍历方法有： void PreOrderTraversal( BinTree BT )：先序----根、左子树、右子树； void InOrderTraversal( BinTree BT )： 中序---左子树、根、右子树； void PostOrderTraversal( BinTree BT )：后序---左子树、右子树、根 void LevelOrderTraversal( BinTree BT )：层次遍历，从上到下、从左到右
,
二叉树的抽象数据类型定义
类型名称：二叉树 数据对象集：一个有穷的结点集合。
若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。
操作集： BT BinTree, Item ElementType，重要操作有： 1、Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别BT是否为空； 2、void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每个结点； 3、BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树。
5 16 39 45 51 98 100 202 226 321 368 444 501 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1、left = 1, right = 13; mid = (1+13)/2 = 7: 2、left = mid+1=8, right = 13; mid = (8+13)/2 = 10: 3、left = mid+1=11, right = 13; mid = (11+13)/2 = 12:
1
A
2
3
B
4
5
C
6
7
D
E
F
G
8 9 10 11 12 13 14 15
H I J K L MN O
完全二叉树 (Complete Binary Tree)
有n个结点的二叉树，对树中结点按
从上至下、从左到右顺序进行编号， 编号为i（1 ≤ i ≤ n）结点与满二叉树 中编号为 i 结点在二叉树中位置相同
树的根结点。
结点（序号为 i ）的左孩子结点的序
Left
Right
Left
二叉树
Right
4.2 二叉树及存储结构
二叉树(Binary tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。 若n=0时称为空树，否则： ⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点； ⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相交的子集T1,T2， 分别称之为左、右子树，并且左、右子树又都是二叉树。
100 < 444; 321 < 444; 查找结束;
二分查找算法
int BinarySearch ( StaticTable * Tbl, ElementType K) { /*在表Tbl中查找关键字为K的数据元素*/
int left, right, mid, NoFound=-1;
left = 1; right = Tbl->Length;
树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用 r 表示；
其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1，T2，... ，Tm，其 中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”
A
B
C
D
E
B
C
D
E
FG
H
IJ K
F GH I J K
L
M
L
M
(a) 树T
(b) 子树TA1 (c) 子树TA2 (d) 子树TA3 (e)子树TA4
/*初始左边界*/ /*初始右边界*/
while ( left <= right )
{
mid = (left+right)/2; /*计算中间元素坐标*/
if( K < Tbl->Element[mid])
Baidu Nhomakorabea
right = mid-1; /*调整右边界*/
else if( K > Tbl->Element[mid]) left = mid+1;
/*调整左边界*/
else return mid; /*查找成功，返回数据元素的下标*/
} return NotFound;
/*查找不成功，返回-1*/
}
二分查找算法具有对数的时间复杂度O(logN)
[例] 仍然以上面13个数据元素构成的有序线性表为例 二分查找关健字为 43 的数据元素如下：
5 16 39 45 51 98 100 202 226 321 368 444 501 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1、left = 1, right = 13; mid = (1+13)/2 = 7:
100 > 43;
2、 left = 1, right = mid-1= 6; mid = (1+6)/2 = 3: 39 < 43;
A
B
C
D
F GH IJ K
L
M
12.有序树和无序树：对于一棵树，若其中每一个结点的子树 （若有）具有一定的次序，则该树称为有序树，否则称为无序树。
13.森林(forest)：是m(m≧0)棵互不相交的树的集合。 显然，若将一棵树的根结点删除，剩余的子树就构成了森林。
树的表示
A
BC D
E F G HIJ
的根结点的父结点 5. 子结点（Child）：若A结点是B结点的父结
点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也 称孩子结点。 6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各 结点彼此是兄弟结点。
A
B
C
D
F GH IJ K
L
M
树的一些基本术语
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一 个结点序列n1 , n2 ,… , nk , ni是 ni+1的父结 点。路径所包含边的个数为路径的长度。
顺序查找算法的时间复杂度为O(n)。
0K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
方法2：二分查找（Binary Search) 假设n个数据元素的关键字满足有序（比如：小到大）
并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。
[例] 假设有13个数据元素，按关键字由小到大顺序存放. 二分查找关健字为444的数据元素过程如下：
5/25
二叉树的存储结构
1. 顺序存储结构
用一组地址连续的存储单元依次“自上而下、自左至右”存储完全二叉树
的数据元素。对于完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一维数组的下标
值为i的分 量中。
n个结点的完全二叉树的结点父子关系：
非根结点（序号i ≥1）的父结点的序
号是 i / 2;当 i / 2=0时，该结点是
8. 祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路 径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。
9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树 中的所有结点是这个结点的子孙。
10. 结点的层次（Level）：规定根结点在1层， 其它任一结点的层数是其父结点的层数加1。 11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最 大层次是这棵树的深度。
4.1树与树的表示
树型结构是一类非常重要的非线性结构。直观地，树型结构是以分支关 系定义的层次结构。
树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示 源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为 时，可用树来描述其执行过程等等。
本章将详细讨论树和二叉树数据结构，主要介绍树和二叉树的概念、术 语，二叉树的遍历算法。树和二叉树的各种存储结构以及建立在各种存储结构 上的操作及应用等。
性质2： 深度为k的二叉树上至多含2k-1个结点。(k≥1)
性质3：
对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为2的结点， A 则必存在关系式：n0 = n2+1。
B
C
D
E
F
JK
H
n0 = 4，n1 = 2 n2 = 3； n0 = n2 +1
满二叉树的特点： ◆ 基本特点是每一层上的结点数总是最大结点数。 ◆ 满二叉树的所有的支结点都有左、右子树。 ◆ 可对满二叉树的结点进行连续编号，若规定从根结点开始，按“自上而 下、自左至右”的原则进行。
由此可知，二叉树的定义是递归的。
二叉树具体五种基本形态
空树 只含根结点 右子树为空树
Ф TL
(a) (b)
(c)
TR
TL
TR
(d)
(e)
二叉树的子树有左右顺序之分
左子树为空树
左右子树均不 为空树
特殊二叉树
斜二叉树(Skewed Binary Tree)
A
B
C
D
完美二叉树(Perfect Binary Tree) 满二叉树(Full Binary Tree）
3、left = mid+1=4, right = 6; mid = (4+6)/2 = 5: 51 > 43; 4、left = 4, right = mid-1= 4; mid = (4+4)/2 = 4: 45 > 43; 5、left = 4, right = mid-1= 3; left > right ? 查找失败，结束;
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特例。
完全二叉树的特点： 若完全二叉树的深度为k ，则所有的叶子结点都出现在第k层或k-1层。
对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左子树的最大层次为l 或l+1。
性质4：n个结点的完全二叉树深度为：㏒2n +1。 其中符号： x表示不大于x的最大整数。 x 表示不小于x的最小整数。
1
A
2
3
B
4
5
D
E
C
6
7
F
G
8
9 10
H
JK
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
4
5
67
8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12
(a) 满二叉树
(b) 完全二叉树
1
1
2
3
45
6
2
3
4
5
67
(c) 非完全二叉树 图6-4 特殊形态的二叉树
二叉树几个重要性质 性质1：
在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。(i≥1)
动态查找：集合中记录是动态变化的 除查找，还可能发生插入和删除
静态查找
方法1：顺序查找(数组存储）
Tbl 10
int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K) { /*在表Tbl[1]~Tbl[n]中查找关键字为K的数据元素*/
int i; Tbl->Element[0] = K; /*建立哨兵*/ for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i]!= K; i--); } return i; /*查找成功返回所在单元下标；不成功返回0*/