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一元二次方程复习课件

初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（）Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法基本方法有：（1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法。

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。

人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT

配方法公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
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例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解方程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或

人教版九年级数学上册《一元二次方程中考复习》PPT

一元二次方程根与系数之间的关系
1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1、x2，则x1＋x2 ＝－，x1·x2＝.
2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
4.列一元二次方程解应用题
(6)如图 2－1－4，某中学要在教学楼后面的空地上用 40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为 x，面积为 y.
1．用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原
方程应变形为( C )
A．(x＋1)2＝6
B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6
D．(x－2)2＝9
2．方程 x(x＋2)＝0 的解是( C )
A．x＝0
B．x＝－2
C．x1＝0，x2＝－2
D．x1＝0，x2＝2
3．西安园艺博览会的某纪念品原价为 168 元，连续两次降
（7）据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5 000 万人次，2011 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
价 a%后售价为 128 元．下列所列方程中正确的是( B )
A．168(1＋a%)2＝128
B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128
D．168(1－a2%)＝128
4．一元二次方程 3x2－12＝0 的解为___x_＝__±__2__．

中考复习：一元二次方程及解法复习(课件)

3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则（ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、判断下列方程是不是一元二次方程
1 （1）4x- x² + 2
3 =0
是
（3）ax² +ｂx+c=0
不一定
（2）3x² - y -1=0 不是 1 不是（4）x + =0 x
2 2 2
2
2
(×) (√ ) (×) (× ) (×) (√ )
(5) x 1 3
2
(6) y 0
y 4 2
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一 2 2x -3x-1=0 其二次项般形式是：___________, -3 常数系数是____, 2 一次项系数是____, -1 项是____.
3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
4 ± 100 2± 5 x = = ∴ 6 3 ∴x1= 4 x2 = -
先变为一般形式，代入时注意符号。
8 3
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
3x² -1=0 3x(x-2)=2(x-2)
例:解下列方程

１、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
右边开平方后，根号前取“±”。
∴ x1=1, x2=-5

2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
两边加上“一次项” 系数一半的平方。

一元二次方程复习全国优质课一等奖-课件

1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设这两位数的个位数字为 x,根据题意 ,得
x2 10x 3 x.
整理得 x2 11x 30 0.
解得 x1 5, x2 6 . x 3 5 3 2,或 x 3 6 3 3. 答 :这个两位数为 25,或 36.
解 :设小路的宽度 xm,根据题意 ,得 20+2x
( 2 0 2 x )1 5 2 x 2 5 1 5 2 4 6 .
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不 2
合题意,舍去 ).
第22章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 因为当 a≠0，b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根，即 k＋1≠0，b2－4ac＝22－4(k＋1)×(－1)＝8＋4k>0，
∴k≠－1，k>－2. ∴k 的取值范围是 k>－2 且 k≠－1.
方法技巧根的判别式主要应用：(1)不解方程，判别一元二次方程根的情况； (2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取值 (范围)．在解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为 0.
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
b
c
x1+x2=
a , x1x2=
a.
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.

初三数学中考专题复习一元二次方程课件(共22张PPT)

• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
• 5、若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42，则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0，则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章一元二次方程复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，

中考复习课件一元二次方程复习

★淄博市师德标兵 ★ 市学科带头人
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★淄博市优秀青年知识分子 ★县优秀校长 ★在国家级、省级、市级报刊杂志发表教育教学论文20余篇
一、考点分析
本章共有如下八大考点 1、一元二次方程的概念 2、一元二次方程的一般式 3、一元二次方程的根的意义 4、一元二次方程的解法 5、一元二次方程根的判别式 6、一元二次方程根与系数的关系 7、一元二次方程与几何、函数（一次函数、二次函数）的综合 8、一元二次方程解决实际问题
例6、已知方程2xa-xb-x2+4=0是关于x的一元二次方程，求 a、b的值。
考点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项（要求能正确找出a、b、c的值，特别注意符号不要错）例1指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项各是多少？（1）5x2+10x=22 （2）2x2+15=0 （3）x2=3x （4)（x+2）2=3 （5）x2-5x+1=p2 （6）x2-x-2=70 （7）4x2-5-6x=0 （8）x2+x+ 3=3-2 3 x 例2关于x的方程3x2-x-6=0中，a=（），b=（），c=（）
例2、已知p、q是方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不等的实根，且p q =-1，则m的值为（） A :3或-1 B :3 C :1 D：-3或1 例3、方程x2-3x=6与方程x2+3=6x的所有根的和是（）所有根的积是 ( )。
1

人教版数学中考复习《一元二次方程》精品教学课件ppt优秀课件

别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，
即以 x1、x2 为根的一元二次方程为 x 2 x1 x2 x x1 x2 0 ；求字母
系数的值时，需使二次项系数 a 0 ，同时满足 0 ；求代数式的
值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和 x1 x2 、两根之
b 2 4ac 72 4 112 1 0，即原方程有解。
所以，当 k＝2时， ABC 是以 BC为斜边的直角三角形。
本节课主要学习了有关一元二次方程的知识，一定要牢牢掌握一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系，其中重点一元二次方程的解法，难点是一元二次方程的应用。在解一元二次方程时，一般经常用公式法（万能法）和因式分解法，配方法是很少用的，但很重要，一定要牢牢掌握，直接开平方法一般是用于解特殊形式（（x+m）2=n（n≥0））的一元二次方程，解一元二次方程的循序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。列一元二次方程解应用题的关键是找出题中的等量关系。
的
形式，当 b 2 4 ac 0 .时，用直接开平方法求解。
⑶公式法：ax2 bx c 0a 0的求根公式为 x b b 2 4ac b 2 4ac 0 2a ⑷因式分解法：将方程右边化为零左边化为两个一次因式的积，令每个因
式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解。
解：设这两次降价的平均降价率为解这个方程得
xx，1 根0据.1，题x意2 得1.910不00合1题意x2，舍81去0。
答：这两次降价的平均降价率为10% 。
巩固训练
拐实基础
考点1 一元二次方程的解法
1、若关于 x 的一元二次方程 x 2 k 3x k 0 的一个根是－2，则另一个

中考数学一元二次方程专题复习课件

04 一元二次方程的根与系数的关系
【例题】 1.
04 一元二次方程的根与系数的关系
【例题】 2.
x
05 实际问题与一元二次方程
未知数相等解x
式子有意义实际背景
05 实际问题与一元二次方程【例题】
传播率问题
05 实际问题与一元二次方程【例题】
1.
增长率问题
05 实际问题与一元二次方程【例题】
3x2 x 3 0
x 1 112 23
3 39 6
k 0,解为x1
3 6
39 ，x2
3 39 . 6
专题练习
专题1：一元二次方程定义的应用
专题练习
专题2：根的判别式的应用
专题练习
专题2：根的判别式的应用
解： 2m 12 4m2 且m2 0
4m 1
m 0
方程有两个不等的实数根
【例题】解下列关于 x 的方程：
（1） x 1x 3 2x 32 3x 3x 3 0
解： x 3[ x 1) 2(x 3) 3(x 3] 0 x 3 x 1 2x 6 3x 9 0 x 32x 16 0
x1 3, x2 8
03 一元二次方程的解法 4. 因式分解法
x1 5, x2 8
8 7 舍去
x 5 , 另一边为
13 - 5 4 2
答：这个矩形场地长为5米，宽为4米.
课堂总结
定义要理解计算要准确熟练掌握，灵活运用在实际生活中应用所学知识
谢谢观看！
225
1 x 18 15
x1
1, 5
x2
33 15
x2 0舍去
x 1 20% 5
答：五、六月份营业额的月平均增长率为20%.

一元二次方程复习课课件(公开课)

练习1：（2013重庆A卷）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程。其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。问：甲乙单独完成这项工程各需几个月？
1.(2013沈阳)若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ a<4．
分析：根据题意得：△=42-4a＞0，即16-4a＞0. 解得：a＜4 2.（2013•张家界）若关于x的一元二次方程 kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是 1 ．分析：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0.
一元二次方程的解法配方法：适应于任何一个一元二次方程
一元二次方程
公式法：适应于任何一个一元二次方程
Hale Waihona Puke 因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程列一元二次方程解应用题步骤：审、设、列、解、检、答
※ 根与系数的关系：
x1+x2 = -b/a , x1x2 =c/a
解：设甲队单独完成需要x天，则乙队单独完成需要x﹣5天，由题意得，x(x﹣5)=6(x+x﹣5)，解得：x=15或x=2(不合题意，舍去)，则 x﹣5=10，答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；
练习2：（2010重庆改编）今年9月第1周的蔬菜销售价格为2.4元/千克，若第1周共销售100吨此种蔬菜．从9月份的第2周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第1周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第1周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第 2周的总销售额与第1周刚好持平. 则根据题意可列方程为 ____________ [100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100

中考复习《2.3一元二次方程》课件ppt

为_____-_6_5_/8_____.
7. (2011•黔西南州)已知一元二次方程x2-2x-2010=0的两根分别是x1和x2，则 (1-x1)(1-x2)= ______-_2_0_1.1
8. (2013•六盘水)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm 都有意义，则m 的取值范围为_____m_≥_9_____.
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
步骤归纳
① 先化为一般形式；
②再确定a、b、c,求b2-4ac；
③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
b± b 2 4ac
2a
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
步骤归纳
解: (1)∵原方程有两个实数根， ∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0， ∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0 ∴1-4k≥0， ∴k≤1/4． ∴当k≤1/4时, 原方程有两个实数根. (2)假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立. ∵x1, x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝2k+1, x1•x2＝k2+2k．由x1•x2−x12−x22≥0,得 3x1•x2−(x1+x2)2≥0. ∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0, 整理得: -(k-1)2≥0， ∴只有当k=1时, 上式才能成立．又∵由(1)知k≤1/4， ∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立．
则 x1,2＝－b± 2ba2－4ac； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－2ba； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)没有实数根；